高中数学必修一 第4章 4.4 第1课时　对数函数的概念、图象及性质

1、1 / 8 4.4 对数函数对数函数 第第 1 课时课时 对数函数的概念、图象及性质对数函数的概念、图象及性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域(重点、难点) 2能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质(重点) 1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养 2借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养. 1对数函数的概念 函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，) 思考 1：函数 y2log3x，ylog3(2x)是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式 2对数函

2、数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 r 性质 定点 (1,0)，即 x1时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 2 / 8 思考 2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？ 提示：底数 a 与 1 的关系决定了对数函数的升降 当 a1时，对数函数的图象“上升”；当 0a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0且 a1)互为反函数 1函数 ylogax的图象如图所示，则实数 a的可能取值为( ) a5 b.15 c.1e d.12 a 由图可知，a1，故选 a. 2若对数函数过点(4,2)，则其解析式为_ f(x)log2x 设对数函数的解

3、析式为 f(x)logax(a0且 a1)由 f(4)2得loga42，a2，即 f(x)log2x. 3函数 f(x)log2(x1)的定义域为_ (1，) 由 x10得 x1，故 f(x)的定义域为(1，) 对数函数的概念及应用 【例 1】 (1)下列给出的函数：ylog5x1； ylogax2(a0，且 a1)；ylog(31)x； y13log3x；ylogx3(x0，且 x1)； ylog2x.其中是对数函数的为( ) 3 / 8 a b c d (2)若函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数，则 a_. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则 f12_. (1)d

4、 (2)4 (3)1 (1)由对数函数定义知，是对数函数，故选 d. (2)因为函数 ylog(2a1)x(a25a4)是对数函数， 所以 2a10，2a11，a25a40， 解得 a4. (3)设对数函数为 f(x)logax(a0 且 a1)， 由 f(16)4可知 loga164，a2， f(x)log2x， f12log2121. 判断一个函数是对数函数的方法 1若函数 f(x)(a2a5)logax是对数函数，则 a_. 2 由 a2a51得 a3 或 a2. 又 a0且 a1，所以 a2. 对数函数的定义域 【例 2】 求下列函数的定义域： 4 / 8 (1)f(x)1log12x

5、1； (2)f(x)12xln(x1)； (3)f(x)log(2x1)(4x8) 解 (1)要使函数 f(x)有意义，则 log12x10，即 log12x1，解得 0 x0，2x0，即 x1，x2，解得1x0，2x10，2x11，解得 x12，x1.故函数 ylog(2x1)(4x8)的定义域为x 12x0，x30， 5 / 8 解得 x2且 x3， 所以函数定义域为(2,3)(3，) (2)要使函数有意义，需满足 164x0，x10，x11， 解得1x0或 0 xa31a2a10. 2函数 yax与 ylogax(a0且 a1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 yx对称 【例

6、 3】 (1)当 a1时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax的图象为( ) a b c d (2)已知 f(x)loga|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象 思路点拨 (1)结合 a1 时 yax1ax及 ylogax的图象求解 (2)由 f(5)1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图 (1)c a1，01a1”去掉，函数“ylogax”改为“yloga(x)”，则函数 yax与 yloga(x)的图象可能是( ) c 在 yloga(x)中，x0，x0， 图象只能在 y轴的左侧，故排除 a，d； 当 a1时，yloga(x)是减函数， yax1ax是减函数，故排除

7、b； 当 0a1时，yloga(x)是增函数， yax1ax是增函数，c 满足条件，故选 c. 2把本例(2)改为 f(x)|log2(x1) 2，试作出其图象 解 第一步：作 ylog2x的图象，如图(1)所示 (1) (2) 第二步：将 ylog2x的图象沿 x轴向左平移 1 个单位长度，得 ylog2(x1)的图象，如图(2)所示 第三步：将 ylog2(x1)的图象在 x轴下方的部分作关于 x轴的对称变换，得 y|log2(x1)|的图象，如图(3)所示 第四步：将 y|log2(x1)|的图象沿 y轴向上平移 2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示 7 / 8 (3) (

8、4) 函数图象的变换规律 (1)一般地，函数 yf(x a)b(a，b 为实数)的图象是由函数 yf(x)的图象沿 x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿 y 轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，yf(|xa|)的图象是关于直线 xa 对称的轴对称图形；函数 y|f(x)|的图象与 yf(x)的图象在 f(x)0的部分相同，在 f(x)0 且 a1)这种形式 2在对数函数 ylogax中，底数 a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质 3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析. 1

9、思考辨析 (1)对数函数的定义域为 r.( ) (2)函数 yloga(x2)恒过定点(1,0)( ) (3)对数函数的图象一定在 y轴右侧( ) (4)函数 ylog2x与 yx2互为反函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2下列函数是对数函数的是( ) ay2log3x byloga(2a)(a0，且 a1) 8 / 8 cylogax2(a0，且 a1) dyln x d 结合对数函数的形式 ylogax(a0 且 a1)可知 d正确 3函数 f(x) lg xlg(53x)的定义域是( ) a.0，53 b.0，53 c.1，53 d.1，53 c 由 lg x0，53x0，得 x1，x53， 即 1x53. 4已知 f(x)log3x.