高中数学必修一第三章 3.2.2 第2课时 (2)

1、1 / 17 第第 2 课时课时 奇偶性的应用奇偶性的应用 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式 知识点一 用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设 (2)要利用已知区间的解析式进行代入 (3)利用 f(x)的奇偶性写出f(x)或 f(x)，从而解出 f(x) 知识点二 奇偶性与单调性 若函数 f(x)为奇函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若

2、函数 f(x)为偶函数，则 f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性 预习小测 自我检验 1若 f(x)的定义域为 r，且 f(x)为奇函数，则 f(0)_. 答案 0 2若 f(x)为 r 上的奇函数，且在0，)上单调递减，则 f(1)_f(1)(填“”“”或“ 解析 f(x)为 r 上的奇函数，且在0，)上单调递减， f(x)在 r 上单调递减， 2 / 17 f(1)f(1) 3如果奇函数 f(x)在区间7，3上是减函数，那么函数 f(x)在区间3,7上是_函数 答案 减 解析 f(x)为奇函数，f(x)在3,7上的单调性与7，3上一致，f(x)在3,7上是减函数

3、 4函数 f(x)为偶函数，若 x0 时，f(x)x，则 x0时，f(x)_. 答案 x 解析 方法一 令 x0， f(x)x， 又f(x)为偶函数，f(x)f(x)， f(x)x(x0) 方法二 利用图象(图略)可得 x0 时，f(x)x1，求当 x0 时，f(x)的解析式 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数的解析式 解 设 x0， 3 / 17 f(x)(x)1x1， 又函数 f(x)是定义域为 r 的奇函数， 当 x0 时，f(x)f(x)x1. 反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化为x，此时x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应

4、用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式 跟踪训练 1 已知 f(x)是 r 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)x(1x)，求 f(x)的解析式 解 因为 x(，0)时，x(0，)， 所以 f(x)x1(x)x(x1) 因为 f(x)是 r 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)x(x1)，x(，0) f(0)0. 所以 f(x) x(1x)，x0，x(x1)，xf(3)f(2) bf()f(2)f(3) cf()f(3)f(2) df()f(2)32， 所以 f()f(3)f(2)，故 f()f(3)f(2) 反思感悟 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)自变量在同

5、一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小 跟踪训练 3 (1)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递减，则 f(1)和 f(10)的大小关系为( ) af(1)f(10) bf(1)f(10) cf(1)f(10) df(1)和 f(10)关系不定 答案 a 解析 f(x)是偶函数，且在0，)上单调递减， f(10)f(10)b0，下列不等式中成立的有_(填序号) f(a)f(b)； f(a)f(b)； g(a)g(b)； g(a)f(a) 6 / 17 答案 解析 f(x)为 r 上奇函

6、数，增函数，且 ab0， f(a)f(b)f(0)0， 又ab0，f(a)f(b)f(b)0f(b)f(a)， 正确，错误 x0，)时，g(x)f(x)， g(x)在0，)上单调递增， g(a)g(a)g(b)g(b)，正确，错误 又 g(a)g(a)f(a)f(a)，正确 三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式 例 4 (1)已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数若 f(3)0，则f(x)x0 的解集为_ 答案 x|3x3 解析 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且在区间(，0)上是增函数， f(x)在区间(0，)上是减函数 f(3)f(3)0. 当 x0时，由 f

7、(x)3； 当 x0，解得3x0. 故所求解集为x|3x3 (2)已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f 13的 x 的取值范围为( ) a.13，23 b.13，23 7 / 17 c.12，23 d.12，23 答案 a 解析 由于 f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式 f(2x1)f 13， 即132x113， 解得13x23. 反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为 f(x1)f(x2)的形式； 根据奇函数在对称区间上的单调性一

8、致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解 跟踪训练 4 设定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上是减函数，若 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围 解 因为 f(x)是奇函数且 f(x)在0,2上是减函数， 所以 f(x)在2,2上是减函数 所以不等式 f(1m)m，2m2，21m2， 解得1mf(0)f(1) bf(3)f(1)f(0) cf(1)f(0)f(3) df(1)f(3)f(0) 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 b 解析 f(3)f(3)，且 f(x)在区间0，)上是增函数，f(3)

9、f(1)f(0) 2定义在 r 上的偶函数 f(x)在0，)上是增函数，若 f(a)f(b)，则一定可得( ) aab c|a|b| d0ab0 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 c 3已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)_. 答案 x1 解析 当 x0 时，x0，则 x 的取值范围是_ 答案 (1,3) 解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x1)f(|x1|) 又因为 f(2)0， 所以 f(x1)0 可化为 f(|x1|)f(2) 又因为 f(x)在0，)上单调递减， 所以|x1|2，解得2x12， 所以1x3. 1知识清单： (

10、1)利用奇偶性，求函数的解析式 (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式 2方法归纳： 利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养 3常见误区：解不等式易忽视函数的定义域 1设函数 f(x) x2x，x0，g(x)，x0，且 f(x)为偶函数，则 g(2)等于( ) 10 / 17 a6 b6 c2 d2 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数的解析式 答案 a 解析 g(2)f(2)f(2)2226. 2如果奇函数 f(x)在区间3，1上是增函数且有最大值 5，那么函数 f(x)在区间1,3上是( ) a增函数且最小值为

11、5 b增函数且最大值为5 c减函数且最小值为5 d减函数且最大值为5 答案 a 解析 f(x)为奇函数，f(x)在1,3上的单调性与3，1上一致且 f(1)为最小值， 又已知 f(1)5，f(1)f(1)5， f(1)5，故选 a. 3已知函数 yf(x)是 r 上的偶函数，且 f(x)在0，)上是减函数，若 f(a)f(2)，则 a的取值范围是( ) aa2 ba2 ca2或 a2 d2a2 答案 d 解析 由 f(a)f(2)得 f(|a|)f(2)， |a|2，2a2. 4已知函数 yf(x)是偶函数，其图象与 x轴有 4 个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是( ) 11 / 1

12、7 a4 b2 c1 d0 答案 d 解析 yf(x)是偶函数，所以 yf(x)的图象关于 y轴对称，所以 f(x)0 的所有实根之和为 0. 5设 f(x)是 r 上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若 x10，则( ) af(x1)f(x2) bf(x1)f(x2) cf(x1)f(x2) df(x1)与 f(x2)的大小不确定 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 a 解析 x10， x2x10， 又 f(x)在(0，)上是减函数， f(x2)f(x1)， f(x)是偶函数， f(x2)f(x2)0时，f(x)x21，则 f(2)f(0)_. 答案 5

13、 解析 由题意知 f(2)f(2)(221)5，f(0)0， f(2)f(0)5. 7已知奇函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(x)f(1)的 x 的取值范围是_ 12 / 17 考点 抽象函数单调性与奇偶性 题点 抽象函数单调性与不等式结合问题 答案 (，1) 解析 由于 f(x)在0，)上单调递增，且是奇函数， 所以 f(x)在 r 上单调递增， f(x)f(1)等价于 x1. 8若 f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则 f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_ 答案 f(2)f(1)f(0) 解析 f(x)是偶函数， f(x)f(x)恒成立， 即(m1)x26mx

14、2(m1)x26mx2恒成立， m0，即 f(x)x22. f(x)的图象开口向下，对称轴为 y轴，在0，)上单调递减， f(2)f(1)f(0)， 即 f(2)f(1)0时，f(x)x22x3. (1)试求 f(x)在 r 上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 求奇偶函数的单调区间 解 (1)因为函数 f(x)的图象关于原点对称， 所以 f(x)为奇函数，则 f(0)0. 设 x0， 13 / 17 因为当 x0时，f(x)x22x3. 所以当 x0，0，x0，x22x3，x0. (2)先画出函数在 y 轴右侧的图象，再根据对称性

15、画出 y轴左侧的图象，如图 由图象可知函数 f(x)的单调递增区间是(，1，1，)，单调递减区间是(1,0)，(0,1) 10已知函数 f(x)axbxc(a，b，c是常数)是奇函数，且满足 f(1)52，f(2)174. (1)求 a，b，c 的值； (2)试判断函数 f(x)在区间0，12上的单调性并证明 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性 解 (1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)， axbxcaxbxc， c0，f(x)axbx. 又f(1)52，f(2)174， 14 / 17 ab52，2ab2174. a2，b12. 综上，a2，b12，

16、c0. (2)由(1)可知 f(x)2x12x. 函数 f(x)在区间0，12上为减函数 证明如下： 任取 0 x1x212， 则 f(x1)f(x2)2x112x12x212x2 (x1x2)212x1x2 (x1x2)4x1x212x1x2. 0 x1x212， x1x20,4x1x210，即 f(x1)f(x2) f(x)在0，12上为减函数 11设奇函数 f(x)在(0，)上为减函数，且 f(1)0，则不等式f(x)f(x)x0 的解集为( ) 15 / 17 a(1,0)(1，) b(，1)(0,1) c(，1)(1，) d(1,0)(0,1) 答案 c 解析 f(x)为奇函数，f(

17、x)f(x)x0， 即f(x)x1 时，f(x)0. 奇函数图象关于原点对称， 在(，0)上 f(x)为减函数且 f(1)0， 即 x0. 综上使f(x)x0 的解集为(，1)(1，) 12已知 f(xy)f(x)f(y)对任意实数 x，y 都成立，则函数 f(x)是( ) a奇函数 b偶函数 c既是奇函数，也是偶函数 d既不是奇函数，也不是偶函数 答案 a 解析 令 xy0，所以 f(0)f(0)f(0)， 所以 f(0)0. 又因为 f(xx)f(x)f(x)0， 16 / 17 所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)是奇函数，故选 a. 13已知 yf(x)x2是奇函数且 f(1)1，

18、若 g(x)f(x)2，则 g(1)_. 考点 函数奇偶性的应用 题点 利用奇偶性求函数值 答案 1 解析 yf(x)x2是奇函数， f(x)(x)2f(x)x2， f(x)f(x)2x20，f(1)f(1)20. f(1)1，f(1)3. g(x)f(x)2，g(1)f(1)2321. 14已知定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(1x)f(1x)，且 f(x)在1，)上为单调减函数，则当 x_时，f(x)取得最大值；若不等式 f(0)f(m)成立，则 m 的取值范围是_ 答案 1 (0,2) 解析 由 f(1x)f(1x)知，f(x)的图象关于直线 x1 对称，又 f(x)在(1，)上单调递减，则 f(x)在(，1上单调递增，所以当 x1 时 f(x)取到最大值由对称性可知 f(0)f(2)，所以