高中数学必修一第四章　§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5　信息技术支持的函数研究

1、1 / 5 第四章对数运算与对数函数 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 * 5 信息技术支持的函数研究 课后篇巩固提升 基础达标练 1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用( ) a.一次函数 b.幂函数 c.指数型函数 d.对数型函数 解析初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系. 答案 d 2.(多选题)有一组实验数据如表所示: x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模

2、型较不适合的有( ) a.y=logax(a1) b.y=ax+b(a1) c.y=ax2+b(a0) d.y=logax+b(a1) 解析由所给数据可知 y随 x 的增大而增大,且增长速度越来越快,而 a,d中的函数增长速度越来越慢,b 中的函数增长速度保持不变. 答案 abd 3.如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好( ) a.指数函数:y=2t b.对数函数:y=log2t c.幂函数:y=t3 d.二次函数:y=2t2 2 / 5 解析由图可知函数在第一象限内单调递增,并且增长速度较快,且图象过点(2,4),(

3、4,16),因此利用指数函数模型拟合较好. 答案 a 4.函数 y1=log3x与函数 y2=3x,当 x 从 1 增加到 m 时,函数的增量分别是 y1与 y2,则 y1 y2(填“”“=”或“”). 解析由这两个函数的图象可知,指数函数增长的快些,所以 y1y2. 答案 5.某电脑公司六年来电脑总产量 y(台)与生产时间 x(年)的函数关系如图.有下列说法:前三年产量增长速度越来越快;前三年产量增长速度越来越慢;后三年这种产品停止生产;后三年产量保持不变.其中说法正确的是 .(填序号) 解析结合图象的增长趋势易得出正确. 答案 6.四个变量 y1,y2,y3,y4随变量 x变化的数据如下表

4、: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05106 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 x 呈指数函数变化的变量是 . 解析从表格观察函数值 y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于 x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化. 从表格中可以看出,四个变量 y1,y2,y3,y4均是从 2 开始变化,变量 y1,y2,y3,y

5、4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2的增长速度最快,可知变量 y2关于 x 呈指数函数变化.故填 y2. 答案 y2 7. 函数 f(x)=2x和 g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点 a(x1,y1),b(x2,y2),且 x1g(1),f(2)g(2),f(9)g(10), 1x12,9x210.x16x2. 从图象上可以看出,当 x1xx2时,f(x)g(x), f(6)x2时,f(x)g(x), f(2019)g(2019). 又 g(2019)g(6), f(2019)g(2019)g(6)f(6). 能力提升练 1.当 0 x1 时,f(x)=x2,g

6、(x)=12,h(x)=-2的大小关系是( ) a.h(x)g(x)f(x) b.h(x)f(x)g(x) c.g(x)h(x)f(x) d.f(x)g(x)h(x) 解析在同一坐标下作出函数 f(x)=x2,g(x)=12,h(x)=x-2的图象,由图象知,d正确. 答案 d 2.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有( ) (1)这几年人民生活水平逐年得到提高; (2)人民生活费收入增长最快的一年是 2016年; (3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是 2017年; (4)虽然 2018 年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大

7、的改善. a.1 项 b.2项 c.3项 d.4 项 4 / 5 解析由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故(1)正确;“生活费收入指数”在 20162017 年最陡,故(2)正确;“生活费价格指数”在 20172018年最平缓,故(3)不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故(4)正确. 答案 c 3.某商场为了实现 100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到 5万元时,按利润进行奖励,且奖金 y随利润 x的增加而增加,但奖金总数不超过 3万元,同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型:

8、y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求? 解在同一平面直角坐标系中作出函数 y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略). 观察图象可知,在区间5,100内,函数 y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线 y=3 的上方, 只有函数 y=log5x 的图象始终在直线 y=3和 y=0.2x 的下方,这说明只有按模型 y=log5x 进行奖励才符合商场的要求. 4.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入 21 世纪以来,该产品的产量平稳增长.记 2014年为第 1 年,且前 4年中,第 x年与年产量 f(x)(万件)之间的关系如

9、下表所示: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log12x+a. (1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求 a 或 b 的值保留 1 位小数); (2)受某些因素影响,预测 2020 年的年产量比预计减少 30%,试根据所选择的函数模型,确定 2020 年的年产量. 解(1)符合条件的是 f(x)=ax+b. 理由如下: 若模型为 f(x)=log12x+a,则 f(x)是减函数,与已知不符. 若模型为 f(x)=2x+a,则由 f

10、(1)=21+a=4,得 a=2,即 f(x)=2x+2,此时 f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知数据相差太大,不符合. 则近似符合的模型为 f(x)=ax+b. 由已知得 + = 4,3 + = 7,解得 = 1.5, = 2.5, 所以 f(x)=1.5x+2.5,xn+. (2)2020年的预计年产量为 f(7)=1.57+2.5=13(万件),所以 13(1-30%)=9.1(万件),即预测 2020年的年产量为 9.1万件. 5.若不等式 3x2-logax0在 x 0,13内恒成立,求实数 a的取值范围. 解由题意,知 3x21,则函数 y=logax的图象显然在

11、函数 y=3x2图象的下方,a1不成立; 当 0a1 时,y=logax的图象必过点 a13,13或在这个点的上方,则 loga1313. a127,127a0,a1)与 y=p12+q(p0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式; (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的 10倍以上的最小月份(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1). 解(1)两个函数 y=kax(k0,a1),y=p12+q(p0)在(0,+)上都是增函数,随着 x的增加,函数y=kax(k0,a1)的值增加的越来越快,而函数 y=p12+q(p0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型 y=kax(k0,a1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3 时,y=36.所以2= 24,3= 36,解得 =323, =32,所以该函数模型的关系式是 y=323 (32)(