高中数学讲义微专题64空间向量解立体几何（含综合题习题）

1、- 1 - / 25 微专题 64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6 ,3,0,2ab，则直线ab的方向向量为()1, 4, 4ab = 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面的法向量为(), ,nx y z=，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()11122

2、2,ax y zbxy z=，则可列出方程组： 11122200 xyzxyxyzxyz z+=+= 解出, ,x y z的比值即可 例如：()()1,2,0 ,2,1,3ab=，求, a b所在平面的法向量 解：设(), ,nx y z=，则有20230 xyxyz+=+= ，解得：2xyzy= = :2:1:1x y z= ()2,1,1n= （二）空间向量可解决的立体几何问题（用, a b表示直线, a b的方向向量，用,m n表示平面, 的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：abab （2）线面垂直：abab （3）面面平行：mn （4）面面垂直：mn 2、计算类： （1）两直线所成

3、角：coscos,a ba ba b= - 2 - / 25 （2）线面角：cos,sina ma ma m= （3）二面角：coscos,m nm nm n=或coscos,m nm nm n= = （视平面角与法向量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设a为平面外一点，p为平面上任意一点，则a到平面的距离为aap ndn=，即ap在法向量n上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧 1、理念：先设再求先设再求先设出所求点的坐标(), ,x y z，再

4、想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量减少变量数量(), ,x y z可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度维度= =所用变量个数所用变量个数 3、如何减少变量： （1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若,abr 使得ab= 例：已知()()1,3,4 ,0,2,1ap，那么直线ap上的某点(),

5、,m x y z坐标可用一个变量表示，方法如下：()()1,3,4 ,1, 1, 3amxyzap= 三点中取两点构成两个向量 因为m在ap上，所以amapamap= 共线定理的应用（关键） 11334343xxyyzz = = = = =，即()1,3,43m仅用一个变量表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理若, a b不共线，则平面上任意一个向量c，均存在,r ，使得：cab=+ 例：已知()()()1,3,4 ,0,2,1 ,2,4,0apq，则平面apq上的某点(), ,m x y z坐标可用两个- 3 - / 25 变量表示，方法如下：()()()1,3,4 ,1, 1, 3 ,2

6、,2, 1amxyzappq= =，故amappq=+，即121232324343xxyyzz = += += +=+= = 二、典型例题 例 1：（2010 天津）在长方体1111abcdabc d中，,e f分别是棱1,bc cc上的点，2cfabce=，1:1:2:4ab ad aa = （1）求异面直线1,ef ad所成角的余弦值 （2）证明：af 平面1aed （3）求二面角1aedf正弦值 解：由长方体1111abcdabc d得：1,aa ab ad两两垂直 以1,aa ab ad为轴建立空间直角坐标系 （1）()()()131,0 ,1,2,1 ,0,0,4 ,0,2,02ef

7、ad ()110,1 ,0,2, 42efad= 11133cos,55204ef adef adefad= 3cos5= （2）()1,2,1af =，设平面1aed的法向量为(), ,nx y z= ()110,2, 4 ,1,02adde= 240:1:2:1102yzx y zxy= ()1,2,1n= afn af平面1aed b1c1bcdad1a1ef- 4 - / 25 （3）设平面edf的法向量(), ,mx y z= ()11,0 ,1,0,12dedf= ()10:1:2:120 xyx y zxz=+= ()1,2, 1m= ()1,2,1n =42cos,63m nm

8、 nm n= 5sin3= 例 2：如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa 平面abcd，4paad=，2ab =， 若mn分 别 为 棱,pd pc上 的 点 ，o为ac中 点 ， 且22acomon= （1）求证：平面abm 平面pcd （2）求直线cd与平面acm所成角的正弦值 （3）求点n到平面acm的距离 解：pa 平面abcd ,paab paad 矩形abcd abad 故,pa ab ad两两垂直 以,pa ab ad为轴建立空间直角坐标系 ()()()()()0,0,4 ,2,0,0 ,2,4,0 ,0,4,0 ,1,2,0pbcdo 22acomon=，且,o

9、m on分别为,amcanc的中线 ,anpc ampd 设点(), ,m x y z，因为,p m d三点共线 pmpd= 而()(), ,4 ,0,4, 4pmx y zpd= ()0,4 , 4pd= 0444xyz= ()0,4 ,44m 而0ampdam pd= ()1164 4402= ()0,2,2m oadbcpmnoadbcpmn- 5 - / 25 同理，设点(), ,n x y z，因为,p n c三点共线 pnpc= 而()(), ,4 ,2,4, 4pnx y zpc= ()2 ,4 , 4pd= 2444xyz= ()2 ,4 ,44n 而0anpcan pc= (

10、)44 +164 4409= 8 16 20,9 99n （1）设平面abm的法向量为()1, ,nx y z= ()()2,0,0 ,0,2,2abam= ()1200,1, 1220 xnyz=+= 设平面pcd的法向量为()2, ,nx y z= ()()2,4, 4 ,2,0,0pcdc= ()224400,1,120 xyznx+= 120nn= 12nn 平面abm 平面pcd （2）设平面acm的法向量为(), ,n x y z ()()2,4,0 ,0,2,2acam= ()2402, 1,1220 xynyz+=+= 而()2,0,0cd = 设直线cd与平面acm所成角为，

11、则46sincos,326cd ncd ncdn= - 6 - / 25 （3） ()8162021109996276nacman ndn+ +=平面 例 3：已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且2,1,adabpa=平面 abcd，,e f分别是线段,ab bc的中点 （1）求证：pffd （2）在线段pa上是否存在点g，使得eg平面pfd，若存在，确定点g的位置；若不存在，请说明理由 （3）若pb与平面abcd所成的角为45，求二面角apdf的余弦值 解：因为pa 平面abcd，且四边形abcd是矩形 以,pa ad ab为轴建立空间直角坐标系 ，设pah= ()()()()(

12、)10,0,1,0,0 ,0,2,0 ,1,2,0 ,1,1,0 ,0,02phbdcfe （1）()()1,1,1,1,0pfhfd= 0pf fd= pffd （2）设()0,0,ga 1,0,2ega= 设平面pfd的法向量为(), ,nx y z= ()()1,1,1,1,0pfhfd= 002xhxyzhyhxyz=+= += (), ,2nh h= eg平面pfd egn 1202eg nha= +=解得14ah= 存在点g，为ap的四等分点（靠近a） （3）pa 底面abcd pb在底面abcd的投影为ba pba为pb与平面abcd所成的角，即45pba= pba为等腰直角三角

13、形 1apab=即1h = 平面pfd的法向量为()1,1,2n = feadbcp- 7 - / 25 平面apd为yoz平面，所以平面apd的法向量为()0,1,0m = 设二面角apdf的平面角为，可知为锐角 16coscos,66m n= 例4：四棱锥pabcd中，平面pab 平面abcd，,90 ,3,adbcabcpapb=1,2,3,bcabado=是ab中点 （1）求证：cd 平面poc （2）求二面角cpdo的平面角的余弦值 （3）在侧棱pc上是否存在点m，使得bm平面pod，若存在，求出cmpc的值；若不存在，请说明理由 解：过o在平面abcd作ab的垂线交cd于q ,pa

14、pb o=为ab中点 poab 平面pab 平面abcd po平面abcd ,poob pooq oqab 以,po ob oq为轴建立空间直角坐标系 222 2popaoa= ()()()()()0,0,2 2 ,1,0,0 ,1,0,0 ,1,1,0 ,1,3,0pbacd （1）()2,2,0cd = 设平面poc的法向量为(), ,nx y z= ()()0,0,2 2 ,1,1,0opoc= 02 2000op nzxyoc n=+= ()1,1,0n= cdn cd 平面poc （2）设平面pcd的法向量为()1, ,nx y z= oadbcp- 8 - / 25 ()()1,1

15、, 2 2 ,2,2,0pccd= 1102 202200pc nxyzxycd n=+=+= ()12, 2,1n= 设平面pdo的法向量为()2, ,nx y z= ()()0,0,2 2 ,1,3,0opod= 2202 20300op nzxyod n= += ()23,1,0n= 1212124cos,5nnn nnn= 所以二面角cpdo的平面角的余弦值为45 （3）设(), ,m x y z cmcp= ()()1,1,1, 1,2 2cmxyzcp= ()111,1,2 22 2xymz = = = (),1,2 2bm= 而平面pdo的法向量为()23,1,0n = bm平面

16、pod 20310bm n= + = 14= 14cmpc= 例 5：已知四棱锥pabcd中，pa 平面abcd，底面abcd是边长为a的菱形，120bad=，pab= （1）求证：平面pbd 平面pac （2）设ac与bd交于点o，m为oc中点，若二面角 opmd的正切值是2 6，求:a b的值 建系思路一：由pa与底面垂直，从而以pa作为z轴，以ab为x轴，由120的菱形性质可得取cd中点t，连结at则有atab，从而建立空间直角坐标系 解：取cd中点t，连结at，可得atcd abat pa 平面abcd tabdcoadbcpm- 9 - / 25 以,pa ab at为轴建立空间直角

17、坐标系 可得：()()1313,0,0 ,0 ,0 ,0,0,2222b acaadaapb （1）设平面pbd的法向量为(), ,mx y z= ()33,0,022pbabbdaa= 0333022xbaxbzybaxayza=+= (), 3 ,mbb a= 设平面pac的法向量为(), ,nx y z= ()130,0,022apbacaa= 301130022xzyaxayz= =+= ()3,1,0n= 0m n= 平面pbd 平面pac （2）1333 3,0 ,04488oaamaa 设平面opm的法向量为()1, ,nx y z= 1313,04488opaa bomaa=

18、= 1330441130088xaxaybzyzaxay= +=+= ()13,1,0n= 设平面pmd的法向量为()2, ,nx y z=1373,02288pdaabmdaa= =388xbaxaybzybaxayza=+=+= ()23 ,7 ,3 3nbba= 设二面角opmd的平面角为，则tan2 6=，可得1cos5= 122241coscos,52 5227bn nba=+ - 10 - / 25 222221052271005227bbabba=+=+ 224816279ab= 4:3ab= 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的

19、坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对角线垂直的特点，以o为坐标原点。过o作pa的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使得底面上的点均在轴上；另一方面，可考虑以oc为单位长度，可得2a =，避免了坐标中出现过多的字母 解：过o作otpa，pa 平面abcd at平面abcd 因为abcd为菱形，所以ocod 以,ot oc od为轴建立空间直角坐标系，以oc为单位长度 ()()()()()1,0,0 ,1,0,0 ,0,3,0 ,0, 3,0 ,1,0,acbdpb （1）设平面pbd的法向量为(), ,mx y z= ()

20、()1,3,0,2 3,0pbbbd= 3002 301xbxybzyyz= (),0,1mb= 设平面pac的法向量为(), ,nx y z= 因为平面pac即为xoz平面 ()0,1,0n= 0m n= 平面pbd 平面pac （2）1,0,02m 设平面opm的法向量为()1, ,nx y z= ()11,0,0,02opb om= = 0011002xxbzyxz= += ()10,1,0n= oadbcpm - 11 - / 25 设平面pmd的法向量为()2, ,nx y z=()11, 3, 3,02pdbmd= 2 33013023 3xbxybzybxyz=+=+= ()22

21、 3 , ,3 3nb b= 设二面角opmd的平面角为，则tan2 6=，可得1cos5= 1221coscos,51327bn nb=+ 222227951327251327124bbbbb=+=+= 3,22bacd= 4:3ab= 例 6：如图，在边长为 4 的菱形abcd中，60 ,baddeab=于点e，将ade沿de折起到1ade的位置，使得1addc （1）求证：1ae 平面bcde （2）求二面角1eabc的余弦值 （3）判断在线段eb上是否存在一点p，使平面1adp 平面1abc，若存在，求出eppb的值，若不存在，请说明理由 解：（1）1,cded cdad cd 平面1

22、aed 1cdae 1aede 1ae 平面bcde （2）11,aeed aebe dceba1dabce - 12 - / 25 debe 1,ae ed be两两垂直 以1,ae ed be为坐标轴建立坐标系 计算可得：2,2 3aede= ()()() ()10,0,2 ,2,0,0 ,0,2 3,04,2 3,0abdc （2）平面1eab的法向量为()0,1,0m 设平面1abc的法向量为(), ,nx y z= ()()12,2 3,0 ,4,2 3, 2bcac= 1022 303042 320bc nxyxzyac nxyz=+= =+= ()3, 1, 3n= 设二面角1e

23、abc的平面角为 17coscos,717m nm nmn= （3）设(),0,0p 设平面1adp的法向量为()1, ,nx y z= ()10,2 3, 2ad = ()1,0, 2ap= 11112032 3203200 xad nyzyxzap nz= 132,3n = 平面1adp 平面1abc 1302 3303n n =+= 解得：3= ()3,0,0p不在线段be上，故不存在该点 - 13 - / 25 小炼有话说：（1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。 （2）在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法

24、向量的过程中会遇到所解方程含参的情况，此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。 例 7：如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，pa 平面abcd，点,m n分别为,bc pa的中点，且1,2abacad= （1）证明：mn平面pcd； （2）设直线ac与平面pbc所成角为，当在0,6内变化时，求二面角pbca的取值范围 解：222abacad+= abac pa 平面abcd ,paab paac 以,pa ab ac为轴建立直角坐标系，设pah= ()()()()1 11,0,0 ,0,1,0 ,1,1,0 ,0,0,0,0,022 2hb

25、cdphnm （1）11,22 2hmn= ，设平面pcd的法向量为(), ,nx y z= ()()1,0,0 ,0,1,cdpch= = 0000cd nxyzhpc n= = ()0, ,1nh= 11022mn nhh= += mn平面pcd （2）设平面pbc的法向量为(), ,mx y z= ()()1,1,0 ,1,0,bcpbh= = nmdcbap- 14 - / 25 0000bc mxyxzhpb m= += (), ,1mh h= ()0,1,0ac = 2sincos,21hac mh=+ 0,6 1sin0,2 即210221hh+ 22120,2142hhh+ 平

26、面bca的法向量为()10,0,1n = (), ,1mh h= 11211cos,21m nm nmnh=+ 由20,2h可得()2211,2h + 12cos,12m n 设二面角pbca的平面角为 则2cos,12 0,4 例 8：在如图所示的多面体中，ea 平面,abc db 平面abc，acbc，且22acbcbdae=，m是ab中点 （1）求证：cmem （2）求平面emc与平面bcd所成的锐二面角的余弦值 （3）在棱dc上是否存在一点n，使得直线mn与平面emc所成的角为60？若存在，指出点n的位置，若不存在，请说明理由 解：过a在平面abc上作bc的平行线an acbc ana

27、c ea 平面abc ,aean aeac ,ae ac an两两垂直 如图建系： ()()()()()2,2,0 ,0,2,0 ,2,2,2 ,1,1,0 ,0,0,1bcdme （1）()()1, 1,0 ,1,1, 1cmem= 0cm em= cmem macbedmacbedn- 15 - / 25 cmem （2）设平面emc的法向量为()1, ,nx y z= ()()1, 1,0 ,1,1, 1cmem= ()101,1,20 xynxyz=+= 设平面bcd的法向量为()2, ,nx y z= ()()0,0,2 ,2,0,0bdcb= ()1200,1,020znx= 设平

28、面emc与平面bcd所成的锐二面角的余弦值为 则12121216coscos,66nnn nnn= （3）设(), ,n x y z n在cd上 cncd= ()2,0,2cd = (),2,cnx yz= ()2 ,0,2cd= 2220222xxyyzz= ()2 ,2,2n ()21,1,2mn= ()()1122163sincos,262112mn nmn nmnn=+ + 26326842=+ 解得：12= 12cncd= 存在点n，当n为cd中点时，直线mn与平面emc所成的角为60 - 16 - / 25 例 9：如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，/abdc

29、，2addcap，1ab，点e为棱pc的中点 （1）证明：bedc （2）求直线be与平面pbd所成角的正弦值 （3）若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值 解：pa 底面abcd ,paad paab ,pa ad ab两两垂直，如图建系： ()()()()()0,0,2 ,1,0,0 ,0,2,0 ,2,2,0 ,1,1,1pbdce （1）()()0,1,1 ,2,0,0bedc= 0be dcbedc= bedc （2）设平面pbd的法向量为(), ,nx y z= ()()1,0, 2 ,1,2,0pbbd= ()202,1,120 xznxy= += 设直线be

30、与平面pbd所成角为 23sincos,326be nbe nben= （3）设(), ,f x y z ()(), ,2 ,2,2, 2pfx y zpc= ,p f c三点共线 ()2 ,2 , 2pfpc= 2222xyz= ()2 ,2 ,22f ()21,2 ,22bf= ()2,2,0ac = bfac ()2 212 20bf ac=+=解得：14= 1 1 3,2 2 2f 设平面fab的法向量为(), ,mx y z= zyxpedcba- 17 - / 25 ()1 1 31,0,0 ,2 2 2abaf= ()00,3, 11130222xmxyz=+= 平面abp的法向

31、量为()0,1,0n = 33cos,101010m nm nmn= 二面角fabp的余弦值为31010 例 10：如图，在三棱柱111abcabc，h是正方形11aab b的中心，12 2aa =，1c h 平面11aab b，且15c h = （1）求异面直线ac与11ab所成角的余弦值 （2）求二面角111aacb的正弦值 （3）设n为棱11bc的中点，点m在平面11aab b内，且mn 平面11abc，求线段bm的长 解：连结11,ab ab，因为h是正方形11aab b的中心 11,ab ab交于h，且11hahb 1c h 平面11aab b 如图建系：()()()()()1112

32、,0,0 ,0,2,0 ,0, 2,0 ,2,0,0 ,0,0, 5ababc 设(), ,c x y z ()112, 2,0cca a= 2250 xyz= = = ()2, 2, 5c （1）()()112,0, 5 ,2,2,0acab= = - 18 - / 25 1142cos,33 2 2ac ab= （2）设平面11aac的法向量为(), ,nx y z= ()()1112, 2,0 ,2,0, 5a aac= = 22025025xyxyxzxz= += ()5,5,2n= 设平面111ac b的法向量为(), ,mx y z= ()()11112,0, 5 ,0, 2, 5

33、acbc= = 2502525025xzxzyzyz+=+= ()5, 5,2m= 42cos,147m nm nmn= 设二面角111aacb的平面角为，则2cos7= 23 5sin1cos7= （3）50,1,2n，因为m在底面11aab b上，所以设(), ,0m x y 5,1,2nmx y= 平面111abc的法向量为()5, 5,2m = mn 平面11abc mnm 512255xy=，可解得：5414xy= = 51,044m 2251102444bm=+ = 三、历年好题精选 - 19 - / 25 1、如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是直角梯形，侧棱sa 底面ab

34、cd，ab垂直于ad和bc，2,1,saabbcadm=是棱sb的中点. （1）求证：am平面scd （2）求平面scd与平面sab所成的二面角的余弦值 （3）设点n是直线cd上的动点，mn与平面sab所成的角为，求sin的最大值 2、（2015，北京）如图，在四棱锥aefcb中，aef为等边三角形，平面aef 平面efcb，ef,4,2 ,60 ,bc bcefaebcfcbo= =为ef的中点 （1）求证：aobe （2）求二面角faeb的余弦值 （3）若be 平面aoc，求a的值 3 、 （ 2015 ， 山 东 ） 如 图 ， 在 三 棱 台defabc中 ，2,abde g h=分别

35、为,ac bc的中点. （1）求证：/bd平面fgh； （2）若cf 平面abc,45 ,abbc cfdebac=求平面fgh与平面acfd所成角（锐角）的大小. 4、（2014，北京）如图，正方形amde的边长为 2，,b c分别为,am md的中点，在五棱锥pabcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱,pd pc分别交于点,g h （1）求证：abfg （2）若pa 底面abcde，且paae=，求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长 5、（2014，江西）如图，四棱锥pabcd中，abcd为矩形，平面pad 平面abcd （1）求证：abpd （2）若90 ,2,2b

36、pcpbpc=，问ab为何值ofecbat f d e a g b h c - 20 - / 25 时，四棱锥pabcd的体积最大？并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值 习题答案：习题答案： 1、解析：（1）以点a为坐标原点，如图建系： 则()()()()()()0,0,0 ,0,2,0 ,2,2,0 ,1,0,0 ,0,0,2 ,0,1,1abcdsm ()()()0,0,1 ,1,0, 2 ,1, 2,0amsdcd= 设平面scd的法向量为(), ,nx y z= 020200sd nxzxycd n= =，可得：()2, 1,1n = 0am n= amn am平面scd （2）

37、可知平面sab的法向量为()11,0,0n =， - 21 - / 25 设平面scd与平面sab所成的二面角为，可得0,2 1126cos316n nnn= 所成的二面角余弦值为63 （3）设(),22,0n xx ，则(),23, 1mnxx=，平面sab的法向量为()11,0,0n = 22211sin5121011137101251055xxxxxx=+ 当135x=即53x =时，sin取得最大值，即()max35sin7= 2、解析：（1） aef为等边三角形且o为ef的中点 aoef 平面aef 平面efcb ao平面efcb aobe （2）取bc中点d，连结od，分别以,oe

38、 od oa为轴如图建系 可得：()()()0,0, 3,0,0 ,2,2 33 ,0aae aba 设平面aeb的法向量为()1, ,nx y z= 由()(),0,3,2,2 33 ,0aeaaebaa=可得： ()()1130022 3300axazae na xa yeb n=+= ，可得：()13, 1,1n = 平面aef的法向量()20,1,0n = 1212125cos,5nnn nnn= ofecba- 22 - / 25 由二面角faeb为钝二面角可知5cos5= （3）()2,2 33 ,0ca，设平面aoc的法向量为(), ,mx y z= ()()0,0, 3,2,2

39、 33 ,0oaa oca= ()30022 3300azoa mxa yoc m=+= 解得()2 33 ,2,0ma= be 平面aoc bem，因为()2, 32 3,0beaa= ()()()222 3332 3aaa=，解得：2a =（舍），43a = 3、解析：（1）证明：连结,dg dc，设,dc gf交于点t 在三棱台defabc中，由2abde=可得2acdf= g为ac中点 dfac，即dfag且dfag= 四边形dgcf是平行四边形 t为dc中点且dgfc 在bdc中，可得th为中位线 thdb 又bd平面fgh，th 平面fgh，故/bd平面fgh； （2）由cf 平面abc,可得dg 平面abc而,45 ,abbcbac= 则gbac,于是,gb ga gc两两垂直，