高考数学二轮复习专题01函数的图像与性质（解析版）

1、1 / 25 专题 01 函数的图像与基本性质 1、（2019 年江苏卷）.函数276yxx=+的定义域是_. 【答案】1,7. 【解析】由已知得2760 xx+, 即2670 xx 解得17x ， 故函数的定义域为 1,7. 2、（2019 年江苏卷）.设( ), ( )f x g x是定义在r上的两个周期函数，( )f x的周期为 4，( )g x的周期为2，且( )f x是奇函数.当2(0,x时，2( )1 (1)f xx=，(2),01( )1,122k xxg xx+=，其中0k .若在区间(0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x=有 8个不同的实数根，则k 的取值范围是_

2、. 【答案】12,34. 【解析】当(0,2x时，()2( )11 ,f xx=即()2211,0.xyy+= 又( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数( )f x与( )g x的图象，要使( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可. 2 / 25 当1g( )2x = 时，函数( )f x与( )g x的图象有2个交点； 当g( )(2)xk x=+时，( )g x的图象为恒过点()2,0的直线，只需函数( )f x与( )g x的图象有6个交点.当( )f x与( )g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kxyk+=的距离为1

3、，即2211kkk+=+，得24k =，函数( )f x与( )g x的图象有3个交点；当g( )(2)xk x=+过点1,1（ ）时，函数( )f x与( )g x的图象有6个交点，此时13k=，得13k =. 综上可知，满足( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根的k的取值范围为1234，. 3【2019 年高考全国卷理数】若( )f x是定义域为r的偶函数，且在(0,)+单调递减，则（ ） a. 233231(log)(2)(2)4fff b. 233231(log)(2)(2)4fff c. 233231(2)(2)(log)4fff d.233231(2)(2)(log)4f

4、ff 答案：c 解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+单调递减，则函数在(,0)上单调递增；因为3331(log)( log 4)(log 4)4fff=；又因为233230221log 4 ；所以233231(2)(2)(log)4fff； 故选 c. 4【2019 年高考全国卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc=，则（ ） a b c d abcacbcabbca3 / 25 【答案】b 【解析】22log 0.2log 10,a =0.20221,b = 0.3000.20.21,c=即01,c 则acb 故选 b 5、【2019 年高考全国卷文数】设 f(x

5、)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e1x，则当 x0，且 a1)的图象可能是（ ） 【答案】d 6 / 25 【解析】当01a时，函数xya=的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1xya=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log2ayx=+的图象过定点1( ,0)2且单调递减，d选项符合； 当1a 时，函数xya=的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xya=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log2ayx=+的图象过定点1( ,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选 d. 12、【2019 年高考全国卷文数】设( )f x是定义域为 r 的偶函数，且在()0,+

6、单调递减，则（ ） af（log314）f（322）f（232） bf（log314）f（232）f（322） cf（322）f（232）f（log314） df（232）f（322）f（log314） 【答案】c 【解析】( )f x是定义域为r的偶函数，331(log)(log 4)4ff= 223303322333log 4log 31,1222,log 422=， 又( )f x在(0，+)上单调递减， 23323(log 4)22fff， 即23323122log4fff. 故选 c 7 / 25 13 、 【 2019年 高 考 天 津 文 数 】 已 知 函 数2,01,( )1

7、,1.xxf xxx=若 关 于x的 方 程1( )()4f xxa a= +r恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为（ ） a5 9,4 4 b5 9,4 4 c5 9,14 4 d5 9,14 4 【答案】d 【解析】作出函数2,01,( )1,1xxf xxx=的图象， 以及直线14yx= ，如图， 关于x的方程1( )()4f xxa a= +r恰有两个互异的实数解， 即为( )yf x=和1()4yxa a= +r的图象有两个交点， 平移直线14yx= ，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4yxa a= +r与1yx=

8、在1x 时相切，2114axx=， 由210a= =，解得1a =（1舍去）， 所以a的取值范围是 5 9,14 9. 故选 d. 8 / 25 一、函数的性质 1、求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 2、复合函数的单调性 对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数

9、；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数.简称：同增异减. 3、正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式. 4、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性. 5、判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 6、判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(

10、x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 7、分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 二、抽象函数的问题： 我们把没有给出具体 解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域， 单调性， 奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现； 1、抽象函数的常见模型 特殊模型 抽象函数 正比例函数 f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=xn f(xy)=f(x)f

11、(y) 或( )( )( )xf xfyf y 指数函数 f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) 或( )()( )f xf xyf y 9 / 25 对数函数 f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y)或 ( )( )( )xff xf yy 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+t)=f(x)来源:zxxk 正切函数 f(x)=tanx ( )( )()1( ) ( )f xf yf xyf x f y 2、.周期性与对称性问题 编号 周 期 性 对 称 性 1 ()()axfaxf=+ t=2a ()()a

12、xfaxf+=+对称轴ax =()yf x a=+是偶函数； ()()axfaxf+=+对称中心（a,0）()yf x a=+是奇函数 2 ()()xbfxaf+=+ t=ab ()()xbfxaf+=对称轴2bax+=； ()()xbfxaf+=对称中心)0 ,2(ba+； 3 f(x)= -f(x+a)t=2a f(x)= -f(-x+a)对称中心0 ,2a 4 ()()xbfxaf+=+ t=2ab ()()xbfxaf=+对称中心+0 ,2ba 5 f(x)=( )xf1t=2a f(x)= b-f(-x+a)对称中心2,2ba 三、指对数函数以及幂函数中的比较大小的问题 比较数式的大

13、小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。 （1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计， 四、一元二次函数有关的问题 1、二次函数的三种表示形式。 10 /

14、 25 表达形式有：（1）一般式： （2）顶点式：若为抛物线的顶点坐标， （3）截距式：设为抛物线与轴交点的横坐标，则 2、 一元二次方程20axbxc+=实根分布的分布 一般地对于含有字母的一元二次方程20axbxc+=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论： 令( )f x =2axbxc+（0a ） (1) x1, x2, x2,则0/(2 )( )0baf (3) x1, x2,则)2/(0)(0)(0abff (4) x1 (),则( )0( )0ff (5)若 f(x)=0在区间( ,)内只有一个实根，则有0)(ff 3、 二次函数()02+=acbxaxy在闭区间qp,上的最值

15、二次函数()02+=acbxaxy在闭区间qp,上的最值一般分为三种情况讨论： （1）若对称轴2bxa= 在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较( ),( )f pf q的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值） （2）若对称轴2bxa= 在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较( ),( )f pf q的大小即可决定函数的最大（小）值； （3）若对称轴2bxa= 在区间内，则()2bfa是函数的最小值（0a ）或最大值（0a ），再比较( ),( )f pf q的大小决定函数的最大（小）值。 五、函数图象的变换 1、平移变换 2f(x

16、)=ax +bx+c(0)a ( , )m n2( )()f xa xmn=+12,x xx12( )()()f xa xxxx=11 / 25 2、对称变换 yf(x)关于x轴对称yf(x)； yf(x)关于y轴对称yf(x)； yf(x)关于原点对称yf(x)； yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|. yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|). 3、伸缩变换 yf(x)yf(ax). 六、.函数零点的定义 1、 一般地，对于函数( )yf x=，我们把方程( )0f x =的实数根x称为函数( )yf x=的零点； (2) 明确三个等价关

17、系(三者相互转化) 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化 2、函数零点存在性定理：设函数( )fx在闭区间, a b上连续，且( )( )0f a f b ，那么在开区间(), a b内至少有函数( )fx的一个零点，即至少有一点()0,xa b，使得()00f x=。 （1）( )fx在, a b上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设( )fx连续） 12 / 25 若( )( )0f a f b ，则( )fx的零点不一定只有一个，可以有

18、多个 若( )( )0f a f b ，那么( )fx在, a b不一定有零点 若( )fx在, a b有零点，则( )( )f a f b不一定必须异号 3、断函数零点个数的常见方法 （1）直接法：解方程( )0f x =，方程有几个解，函数( )fx就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且 f(a) f(b)f(a1)，则实数 a的取值范围为_ 13 / 25 【答案】 (1，) 【解析】 函数 f(x)2x44x2为偶函数，因为 f(x)8x38x8x(x21)，所以当 x0，)时，函数f(x)为增函数，当 x(，0)时，函数 f(x)

19、为减函数，由 f(a3)f(a1)，得 f(|a3|)f(|a1|)，即(a3)2(a1)2，解得 a1，所以实数 a 的取值范围为(1，) 解后反思 本题考查了函数的奇偶性和单调性，易得当 x0，)时，函数 f(x)为增函数，而偶函数的性质 f(x)f(|x|)，可以实现把自变量转化到0，)上，这一转化是解题的关键，同学们要熟练掌握偶函数这一性质，并能灵活地运用 所以有所以有()()231 2log1 3loggtgt，2312log1 3logtt ，解得，解得1t 考点二 函数周期性、奇偶性与单调性的综合应用 知识点拨：综合考查函数的性质，单调性、周期性和奇偶性，对于这类问题要善于挖掘隐

20、含的条件，如给出函数周期性可以运用周期性做出函数的图像，也可以得出某些数对应的函数值相等，或者运用周期性把不在给定的范围转化为给定的范围，进而求解。 例例 3、（、（2016 江苏江苏高考题高考题）设( )f x是定义在 r 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上，, 10,( )2,01,5xaxf xxx+= 其中ra，若59()( )22ff= ，则(5 )fa的值是 . 【答案】52 【解析】 5191()()( )( )2222ffff=，则112225a+=，得35a =， 因此32(5 )(3)(1)( 1)155fafff= += 考点三 判断函数零点个数问题 运用函数的图像

21、判断零点的个数是近几年江苏高考的热点也是难点，2018、2019 年江苏高考的填空题的压轴题均考查了。运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。 例例 4 4、(2019(2019 苏州三市、苏北四市二调）苏州三市、苏北四市二调）定义在 r r 上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上=43 , 432 ,2)(xxxxxf则函数xxfylog5)(=的零点的个数为 【答案】5 14 / 25 【解析】因为

22、 f(x4)f(x)，可得 f(x)是周期为 4 的奇函数，先画出函数 f(x)在区间2，4)上的图像，根据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x)在 r r 上的图像，由yf(x)log5| x|0，得f(x)log5| x|，分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而 log551，f(3)f(1)1，log5|3|1，可以得到两个图像有 5 个交点，所以零点的个数为 5. 解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能

23、灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点 考点四 通过函数的图像判断参数的零点问题 通过图像研究函数中的参数范围问题，是体现数形结合思想的主要体现，也是运用数形结合解决含参问题的主要方法，因此对于这类问题要把参数独立出来，然后运用函数的图像解决。为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是不含参数的函数，另一个是含有参数的函数，即转化为“一静一动”两个函数，这样，通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题。 例例 5 5、(201(2019 9 宿迁期末）宿迁期末）已知函数 f(x)x1，1x0 时，当且仅当点(16，8)在直线 yk(x3)的上方且点(32，1

24、6)在直线 yk(x3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出1629k813；当 k0 时，当且仅当15 / 25 点(2，1)在直线 yk(x3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出1k0，若 f(a1)12，则实数 a_ 【答案】 log23 【解析】当 a10，即 a1 时，f(a1)log2(4a)12，解得 a4 2(舍)；当 a10，即 a1时，f(a16 / 25 1)2a1112，解得 alog23. 4、(2019 南通、泰州、扬州一调）已知函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，且 f(x2)f(x)当 00 时，f(x)ex1，则 f(ln2)的值为_ 6、(

25、2018 苏州期末） 已知 4a2，logax2a，则正实数 x 的值为_ 【答案】 12 【解析】由 4a2，得 22a21，所以 2a1，即 a12.由 log12x1，得 x12112. 7、(2018 苏州暑假测试）已知函数 f(x)xax(a0)，当 x1，3时，函数 f(x)的值域为 a，若 a8，16，则 a的值是_ 【答案】15 【解析】思路分析 题设“当 x1，3时，函数 f(x)的值域为 a，若 a8，16”等价于“对于任意的x1，3，不等式 8xax16恒成立 解法 1(分离变量法) 由题意，对于任意的 x1，3，不等式 8xax16 恒成立，也就是说，不等式x(8x)a

26、x(16x)恒成立，故x(8x)maxax(16x)min，即 15a15，所以 a15. 解法 2(特值法) 由题意，当 x1，3 时，8f（1）1a16，8f（3）3a316，即7a15，15a39，所以 a15. 8、(2019 镇江期末）设253( )5a =，352( )5b =，252( )5c =，则a，b，c的大小关系是 【答案】acb 【解析】先比较a与c，构造函数25( )f xx，205，25( )f xx为增函数， 17 / 25 3255，ac，再比较b与c，由解法一可得cb，综上acb， 9、(2019 镇江期末）已知函数 f(x)12x2x，则满足 f(x25x)

27、f(6)0 的实数 x的取值范围是_ 【答案】 (2，3) 【解析】思路分析 用函数的单调性和奇偶性解答 函数 f(x)的定义域为 r，且 f(x)12x2x12x2xf(x)，故 f(x)在 r 上是奇函数又12x与2x在 r上都是单调递减的，从而 f(x)在 r 上单调递减，从而由题意可得 f(x25x)f(6)f(6)，故 x25x6，解得 2x3. 10、(2019 宿迁期末）已知函数 f(x)x1，1x0 时，当且仅当点(16，8)在直线 yk(x3)的上方且点(32，16)在直线 yk(x3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出1629k813；当 k0 时，当且仅当点

28、(2，1)在直线 yk(x3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出1k3，若函数 yf(x)m有四个不同的零点，则实数 m的取值范围是_ 【答案】 1，94 【解析】先画出 x0 时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到 xb0，且 f(a)f(b)，则 a2b的最大值是_ 【答案】16 【解析】思路分析 作出函数 f(x)的图像，结合函数图像分析出 a，b的取值范围，根据 f (a)f (b)，寻找到 a，b 之间的关系，消去 a2，转化为关于 b 的三次函数，运用导数法求得最大值 作出函数 f(x)图像，如下图： 则 0b 6a，由 f (a)f (b)，所以|a26|b26|，则 a266

29、b2，所以 a212b2，则 b(12b2)b，设函数 g(b)(12b2)bb312b(0b0，g(b)递增，当 b(2， 6)时，g(b)0，g(b)递减，所以 g(b) 的最大值为 16，则 a2b的最大值是 16. 13、(2018 苏锡常镇调研（一）已知函数 f(x)aex，x1，x4x，x1(e 是自然对数的底)若函数 yf(x)的19 / 25 最小值是 4，则实数 a的取值范围为_ 【答案】 e4，) 【解析】解法 1 在 x1时，f(x)minf(2)4.所以当 x1时，aex4恒成立转化为 aex4对 x1 恒成立因为 ex4在(，1)上的值域为(4，e4)，所以 ae4.

30、 解法 2 当 xae，当 x1 时，f(x)x4x4，当且仅当 x4x，即 x2 时，取“”，故函数 f(x)的值域是e4，) . 14、(2019 南通、泰州、扬州一调） 已知函数 f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(a0)若 f(1)f(2)f(3)f(672)0，则满足 f(x)2019的 x的值为_ 【答案】 337 【解析】思路分析 去绝对值化简 f(x)，由 f(x)的图像得到函数 f(x)在 r 上单调递增且关于点a2，0 对称，根据 f(1)f(2)f(3)f(672)0，求得 a的值，再解不等式，求得 x的值 f(x)（2xa）2，x2a3a（2xa），ax2a（2xa

31、）2，xa，结合函数的图像可知：函数 f(x)在 r 上单调递增且关于点a2，0 对称，因为 f(1)f(2)f(3)f(672)0，所以16722a2，解得 a673.由 f(x)2019，当 x673 时，f(x)(2xa)20，不成立；当673x1346 时，(3)(673)(2x673)2019，解得 x337，又因为函数 f(x)在 r 上单调递增，所以 f(x)2019 有唯一解 x337，故所求 x 的值为 337. 解后反思 本题考查了绝对值函数、函数的单调性和对称性，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，由函数的解析式，得到函数的单调性和对称性是解题的关键，而 f(

32、1)f(2)f(3)f(672)0这一结构特点，就决定了函数成中心对称，所以同学解题时，要注意观察题中所给式子的结构特点，找到解题的突破口 二、解答题 15、(2018 南京、盐城二模）已知函数 f(x)exax1，其中 e 为自然对数的底数，ar. (1) 若 ae，函数 g(x)(2e)x. 求函数 h(x)f(x)g(x)的单调区间； 若函数 f(x) f(x)，xm，g(x)，xm)的值域为 r，求实数 m 的取值范围 20 / 25 (2) 若存在实数 x1，x20,2，使得 f(x1)f(x2)，且|x1x2|1，求证：e1ae2e. 思路分析 (1) 因为 g(x)在(m，)上的

33、值域为(，(2e)m)，所以 f(x)在(，m上的值域包含(2e)m，) (2) 由 f(x)的图像分析，就是要证 f(1)f(0)且 f(1)f(2)，即要证 1在 x1，x2之间 规范解答 (1) 若 ae，则 f(x)exex1， 又 g(x)(2e)x， h(x)ex2x1，考虑 h(x)ex2， 令 h(x)0，得 xln2；令 h(x)0，得 h(x)ln2， 所以 h(x)的单调递减区间是(，ln2，单调递增区间是ln2，)(3 分) 首先，一次函数 g(x)(2e)x在(m，)上单调递减，值域为(，(2e)m) 因为 f(x)exe，易得 f(x)在(，1上单调递减，在1，)上

34、单调递增，且当 x时，f(x)， 所以在(，m上， f(x)min f(m)emem1，m1，f(1)1，m1，)其值域为f(x)min，) 因为 f(x)的值域为 r，所以 f(x)min(2e)m，(5分) 即 m1，emem1(2e)m或 m1，1(2e)m， 即 m1，em2m10或 1m1e2.(7 分) 由知，h(m)em2m1 在(，ln2上单调递减，在ln2,1)上单调递增，且 h(0)0，h(1)e30， 所以 h(m)0的解集为0,1) 综上所述，实数 m 的取值范围是0，1e2.(9分) (2) 由 f(x)exax1，得 f(x)exa. 当 a0时，f(x)在0,2上

35、单调递增，不合题意； 当 a0时，若 lna0或 lna2，则 f(x)在0,2上单调，也不合题意；(11 分) 当 0lna2 时，f(x)在0，lna上单调递减，在lna,2上单调递增 由 x1，x20,2，f(x1)f(x2)，不妨设 0 x1lnax22. 又因为|x1x2|1，所以 x10,1，且 x21,2，从而 x11x2. 所以 f(1)f(x1)f(0)，且 f(1)f(x2)f(2)(14分) 21 / 25 由 f(1)f(0)，f(1)f(2)，得 ea10，ea1e22a1， 解得 e1ae2e.得证(16分) 16、(2019 苏州暑假测试）已知函数 f(x)xln

36、x，g(x)x2ax. (1) 求函数 f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值 m(t)； (2) 令 h(x)g(x)f(x)，a(x1，h(x1)，b(x2，h(x2)(x1x2)是函数 h(x)图像上任意两点，且满足h(x1)h(x2)x1x21，求实数 a 的取值范围； (3) 若x(0,1，使 f(x)ag(x)x成立，求实数 a 的最大值 思路分析 (1) 是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解 (2) 注意到函数 h(x)的图像上任意不同两点 a，b 连线的斜率总大于 1，等价于 h(x1)h(x2)x1x2(x

37、1x2)恒成立，从而构造函数 f(x)h(x)x在(0，)上单调递增，进而等价于 f(x)0在(0，)上恒成立来加以研究 (3) 用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到 a2x2xlnxx1，再利用导数求函数 m(x)2x2xlnxx1的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值 规范解答 (1) f(x)11x，x0， 令 f(x)0，则 x1. 当 t1 时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)的最小值为 f(t)tlnt；(1分) 当 0t1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数，f(x)的最小值为 f(

38、1)1. 综上，m(t) tlnt，t1，1，0t1.)(3 分) (2) h(x)x2(a1)xlnx， 不妨取 0 x1x2，则 x1x20， 则由h(x1)h(x2)x1x21，可得 h(x1)h(x2)x1x2， 变形得 h(x1)x1h(x2)x2恒成立(5 分) 22 / 25 令 f(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0， 则 f(x)x2(a2)xlnx在(0，)上单调递增， 故 f(x)2x(a2)1x0 在(0，)上恒成立，(7 分) 所以 2x1xa2 在(0，)上恒成立 因为 2x1x2 2，当且仅当 x22时取“”， 所以 a2 22.(10 分) (3) 因为

39、f(x)ag(x)x，所以 a(x1)2x2xlnx. 因为 x(0,1，则 x1(1,2，所以x(0,1，使得 a2x2xlnxx1成立 令 m(x)2x2xlnxx1，则 m(x)2x23xlnx1(x1)2.(12 分) 令 y2x23xlnx1，则由 y(x1)(4x1)x0 可得 x14或 x1(舍) 当 x0，14时，y0，则函数 y2x23xlnx1在0，14上单调递减； 当 x14， 时，y0，则函数 y2x23xlnx1在14， 上单调递增 所以 yln4180， 所以 m(x)0 在 x(0,1时恒成立， 所以 m(x)在(0,1上单调递增 所以只需 am(1)，即 a1.

40、(15分) 所以实数 a 的最大值为 1.(16 分) 解后反思 利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法： (1) 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求求得所求范围一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina 即可；f(x)a 恒成立，只需f(x)maxa 即可 (2) 函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解 17、(2017 南通一调）已知函数 f(x)ax2xlnx，ar. (1) 当 a38时，求函数 f(x)的最小值； (2) 若1a0，证明：函数

41、f(x)有且只有一个零点； 23 / 25 (3) 若函数 f(x)有两个零点，求实数 a 的取值范围 思路分析 (1) 这是一个基本题型，通过求导，得极值点，讨论单调性，求得最小值； (2) 先通过求导得函数 f(x)在(0，)上单调递减，从而确定至多一个零点，再找到 f(1)a10，f1ee2eae20，通过判定定理证明只有一个零点； (3) 先求导，求出函数的极小值为 f(x0)，这里的 x0是函数 g(x)2ax2x1的零点，也就是导函数的零点，使得函数 f(x)在(0，)上有两个零点，只需要函数 f(x)的极小值 f(x0)0，代入化简得 2lnx0 x010，通过函数的单调性得出 x0的取值范围，再用分离变量的方法得出 0a1，最后再用零点判定定理证明当 0a1时，函数有两个零点，从而确定实数 a 的取值范围 规范解答 (1) 当 a38时，f(x)38x2xlnx. 故 f(x)34x11x(3x2)(x2)4x，x0.(2 分) 令 f(x)0，得