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1、 规范答题规范答题 4 立体几何立体几何 命题分析 立体几何解答题是高考解答题的中等难度题目，一般考查线面平行、垂直的证明以及空间角的计算、最值等. 典例 (12分)(2020 新高考全国)如图，四棱锥 pabcd 的底面为正方形，pd底面 abcd.设平面 pad 与平面 pbc 的交线为 l. (1)证明：l平面 pdc； (2)已知 pdad1，q为 l上的点，求 pb 与平面 qcd所成角的正弦值的最大值. 步骤要点 规范解答 阅卷细则 (1)找垂直：通过证明垂直关系寻找(或作出)具有公共交点的三条两两互相垂直的直线. (2)写坐标：建立空间直角坐标系，写(或设 ) 点 的 坐标，求直

2、线的方向向量以及平 面 的 法 向量. (3)求关系：根(1)证明 在正方形 abcd中，adbc， 因为 ad平面 pbc，bc平面 pbc， 所以 ad平面 pbc， 又因为 ad平面 pad，平面 pad平面 pbcl， 所以 adl，3 分 因为在四棱锥 pabcd中，底面 abcd是正方形， 所以 addc，所以 ldc， 且 pd平面 abcd，所以 adpd，所以 lpd， 因为 cdpdd， 所以 l平面 pdc. 5分 (2)解 如图建立空间直角坐标系 dxyz， (1)证明平行、垂直关系条件不严谨扣1 分；(2)正确建立空间直角坐标系得1 分； (3)指明直线与平面所成角的

3、正弦值等于|cosn，pb|，没有正确求得最值得 1分； (4)其他方法建立空间直角坐标系计算正确同样给分. 据已知条件计算夹角或寻找关系. (4)得结论：根据计算结果得到题目结论. 因为 pdad1，则有 d(0,0,0)，c(0,1,0)， a(1,0,0)，p(0,0,1)，b(1，1,0)，7分 设 q(m,0,1)， 则有dc(0,1,0)，dq(m,0,1)，pb(1,1，1)， 设平面 qcd的法向量为 n(x，y，z)， 则 dc n0，dq n0，即 y0，mxz0， 令 x1，则 zm， 所以平面 qcd 的一个法向量为 n(1,0，m)，9分 则 cosn，pbn pb|n|pb|10m3 m21.10 分 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值， 所以直线 pb 与平面 qcd所成角的正弦值等于 |cosn，pb|1m|3 m21 3312mm2m213312mm21 3312|m|m2133

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