2022版高考数学一轮总复习第6章数列第4节数列求和学案含解析（精编版）

1、1 数列求和考试要求 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式 . 2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1 公式法(1)等差数列的前n 项和公式：snn a1an2na1n n12d；(2)等比数列的前n 项和公式：snna1，q1，a11qn1qa1anq1 q，q1.2 几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法： 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律 )，从而求得前n 项和裂项时常用的三种变形：1n n11n1n1；12n1 2

2、n11212n112n1；1nn1n 1n. (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解(4)倒序相加法：如果一个数列 an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如， sn1002992982972 2212(10099)(9897) (21)5 050. 2 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)

3、已知等差数列an的公差为d(d0)，则有1anan11d1an1an1.() (2)当 n2 时，1n21121n11n 1.() (3)求 sna 2a23a3 nan之和时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得 () (4) 利用倒序相加法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44.5.() 答案 (1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1数列 an 的前 n项和为 sn，若 an1n n1，则 s5等于 () a1 b56c16d130b an1n n11n1n1， s5 a1a2a51121213151656. 2若数列 an的通项公式为a

4、n2n 2n1，则数列 an 的前 n 项和为 () a2nn21 b2n1n21 c2n1n22 d2nn2 csna1 a2 a3an(21 211)(22 221)(23 231)(2n2n1)(222 2n)2(123n)n2 12n122n n12n2(2n1)n2nn2n1n22. 3 sn121238n2n() a.2nn12nb2n1n22nc.2nn12nd2n1n22n3 b由 sn12222323n2n，得12sn122223n12nn2n1，得，12sn1212212312nn2n112112n112n2n1， sn2n1n22n. 4 数列 an的前 n 项和为 sn

5、， 已知 sn12 34 (1)n1 n， 则 s17_. 9s17 1234561516171(23)( 45)(67) (1415)(1617)11119. 考点一分组求和与并项求和分组转化法求和的常见类型(1)若 anbn cn，且 bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前 n项和(2)通项公式为anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列， 其中数列 bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒： 注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论典例 1已知 an是等差数列，bn是等比数列，且b2 3，b39，a1b1，a14b4. (1)求an的通项公式；(2)设

6、cnanbn，求数列 cn的前 n 项和解(1)设等比数列 bn的公比为q，则 qb3b293 3，所以 b1b2q1，b4b3q27，所以 bn3n1(n n*)设等差数列 an 的公差为d. 4 因为 a1 b11，a14b427，所以 113d27，即 d 2.所以 an2n1(n n*)(2)由(1)知 an2n 1，bn3n1. 因此 cn an bn2n13n1. 设 sn为数列 cn 的前 n 项和，从而数列 cn的前 n 项和sn13 (2n1) 133n1n 12n1213n13n23n12. 点评： 解答此类问题首先应抓住基本量，利用方程的思想求得an， bn，在此基础上用

7、分组求和，分别求得相应数列的和并相加跟进训练 已知等差数列 an的前 n 项和为 sn，且 a11，s3 s4 s5. (1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn(1)n1an，求数列 bn的前 2n 项和 t2n. 解(1)设等差数列 an的公差为d，由 s3s4 s5可得 a1a2a3 a5，即 3a2a5， 3(1d)14d，解得 d2. an 1(n 1) 22n 1. (2)由(1)可得 bn(1)n1 (2n 1) t2n13 57(2n3)(2n1)(2) n 2n. 考点二裂项相消法求和裂项相消法的步骤、原则及规律(1)基本步骤(2)裂项原则5 一般是前边裂几项，后边就裂几项

8、，直到发现被消去项的规律为止(3)消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项形如 an1n nk(k 为非零常数 )型典例 2 1已知数列 an是公差为 2 的等差数列， 数列 bn满足 b16， b1b22b33bnnan1. (1)求an， bn的通项公式；(2)求数列1anbn的前 n 项和解(1)数列 an 是公差为 2 的等差数列，数列 bn满足 b16，b1b22b33bnnan1. 所以当 n1 时， a2 b16，故 an62(n2)2n2，由于 b1b22b33bnnan 1，当 n2 时， b1b22b33 bn1n 1an，得，bnnan1a

9、n2，所以 bn 2n. 所以 bn6，n1，2n， n2，. (2)当 n1 时， s11a1b1146124. 当 n2 时，1anbn12n 2n2141n1n1，则 sn12414121313141n1n112414121n16 2n112 n1，当 n1 时满足上式，故sn2n112 n 1. 点评： 本例第 (1)问在求 bn 的通项公式时灵活运用了数列前n 项和与项的关系，注意通项公式是否包含n1 的情况；第 (2)问在求解中运用了裂项法，即若an 是等差数列，则1anan11d1an1an1. 形如1nkn(k 为非零常数 )型典例 2 2已知函数f(x)x的图象过点 (4,2

10、)，令 an1f n1 f n，nn*，记数列an的前 n 项和为 sn，则 s2 020() a.2 0191 b2 0201 c.2 021 1 d2 0211 c由 f(4)2 得 42，解得 12，则 f(x)x. an1f n1 f n1n1nn1n，s2 020 a1a2 a3 a2 020 (21) (32) (43) (2 0212 020)2 0211. 点评： 运用分母有理化对分式1n1n正确变形并发现其前后项之间的抵消关系是求解本题的关键形如 bnq1 anan k an1k(q 为等比数列 an 的公比 )型典例 2 3(2020 杭州模拟 )已知数列 an的前 n 项

11、和为 sn，且 a28，snan12n1. (1)求数列 an的通项公式；(2)求数列23nanan1的前 n 项和 tn. 7 解(1) a28，snan 12n1， a1 s1a222 2，当 n2 时， ansnsn 1an12n 1an2n ，即 an 1 3an2，又 a2 83a12， an 13an 2，n n*， an 11 3(an 1)，数列an1 是等比数列，且首项为a113，公比为3， an133n1 3n， an3n 1. (2)23nanan12 3n3n 1 3n1113n113n11. 数列23nanan 1的前 n 项和tn13113211321133113n

12、113n111213n11. 点评： 本例第 (1)问在求解通项公式时运用了构造法，形如an 1an的数列递推关系求通项公式都可以采用此法；第(2)问运用了裂项相消法求和，bnq1 anan k an1k1ank1an1k. 形如 ann1n2n22型典例 2 4正项数列 an的前 n 项和 sn满足： s2n(n2n1)sn(n2n)0. (1)求数列 an的通项公式an；(2)令 bnn 1n22a2n，数列 bn的前 n 项和为 tn， 证明： 对于任意的nn*， 都有 tn564. (1) 解：由 s2n(n2n1)sn(n2 n)0，得sn (n2n)(sn1)0. 由于 an是正项

13、数列，所以sn0， snn2n.于是 a1s12，当 n2 时， an sn sn8 1 n2n(n 1)2(n1)2n. 综上，数列 an 的通项公式为an2n. (2)证明： 由于 an2n，故 bnn1n 22a2nn14n2n 221161n21n22. tn11611321221421321521n121n121n21n 2211611221n121n221161122564. 点评： (1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式(2)放缩法常见的放缩技巧有：1k21k k11k11k. 1k21k21121k 11k

14、1. 1k1k11k21k11k. 2(n1n)1n2(nn 1)跟进训练 1(2017 全国卷 )等差数列 an 的前 n 项和为 sn，a33，s410，则nk11sk_. 2nn 1设等差数列 an的首项为 a1，公差为d，依题意有a12d 3，4a16d10，解得a1 1，d1，所以 snn n12，1sn2n n121n1n1，因此 nk11sk211212131n1n12nn1. 9 2 (2020 广州模拟 )等比数列 an的各项均为正数，且2a1 3a21，a239a2a6. (1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog3a1log3a2 log3an，求数列1bn的前

15、n 项和解(1)设等比数列 an的公比为q. 由 a239a2a6，得 a23 9a24，所以 q219. 由已知条件得q0，所以 q13. 由 2a13a21，得 2a1 3a1q1，解得 a113. 故数列 an的通项公式为an13n. (2)由(1)可得 bnlog3a1log3a2log3an (12 n)n n12，故1bn2n n1 21n1n1，所以1b11b2 1bn 211212131n1n12nn1. 故数列1bn的前 n 项和为2nn1. 考点三错位相减法求和错位相减法求和的具体步骤典例 3设数列 an的前 n 项和为 sn，且 a11，an12sn 1，数列 bn满足

16、a1b1，点 p(bn，bn1)在直线 x y20 上， nn*. (1)求数列 an，bn的通项公式；1 0(2)设 cnbnan，求数列 cn的前 n 项和 tn. 解(1)由 an12sn 1 可得 an2sn11(n2)，两式相减得an 1an2an，即 an 1 3an(n2)又 a22s113，所以 a23a1. 故 an是首项为1，公比为 3 的等比数列所以 an 3n1. 由点 p(bn，bn1)在直线 x y20 上，所以bn1bn2. 则数列 bn是首项为1，公差为2 的等差数列则 bn1(n1) 22n1. (2)因为 cnbnan2n13n1，所以 tn13033153

17、22n 13n1. 则13tn1313325332n33n12n13n，两式相减得23tn12323223n12n13n. 所以 tn312 3n22n12 3n13n13n1. 点评： 本例巧妙地将数列 an及其前 n 项和 sn，数列与函数的关系等知识融合在一起，难度适中求解的关键是将所给条件合理转化，并运用错位相减法求和跟进训练 (2020 全国卷 )设an是公比不为1 的等比数列，a1为 a2， a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若 a11，求数列 nan的前 n 项和解(1)设 an的公比为q，由题设得2a1a2a3，即 2a1a1q a1q2. 所以 q2 q20，解得 q1

18、(舍去 )或 q 2. 故 an的公比为 2. 1 1(2)记 sn为 nan的前 n 项和由(1)及题设可得， an(2)n1. 所以 sn 12( 2)n(2)n1，2sn 2 2(2)2 (n1)(2)n1n(2)n. 可得 3sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n1 2n3n(2)n. 所以 sn193n1 2n9. 核心素养 4用数学语言表达世界 数列中等量关系的建立有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中用数学的思想分析数据间的内在联系，用数学语言表述其内在关系，用数列的方法求解数列模型，并用数学结论指导实际问题的过程，也是近几年高考所考查的数学探索、发现、应用的动向之一，因

19、此备考中应引起足够的重视. 直接借助等差 (等比 )数列的知识建立等量关系素养案例 1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业 .根据规划，本年度投入800 万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设 n 年内 (本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an， bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为800 115万元，第 n 年投入为800

20、115n1万元，所以， n 年内的总投入为：1 2an800800 115 800 115n14 000 145n，第 1 年旅游业收入为400 万元，第 2 年旅游业收入为400 114万元，第 n 年旅游业收入为400 114n1万元所以， n 年内的旅游业总收入为bn400400 114 400 114n11 60054n1 . (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，即 1 60054n1 4 000 145n0，化简得 545n254n70，令 x45n，代入上式得，5x2 7x2 0. 解得 x25，或 x1(舍去 )即45n25，由此得n5. 至少经过

21、 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入. 评析 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，第(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧素养培优 公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为1 3a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n

22、2，以 tn表示到第n 年末所累计的储备金总额求证： tn anbn，其中 an是一个等比数列，bn是一个等差数列证明 t1a1，对 n 2反复使用上述关系式，得tntn 1(1r)antn 2(1r)2an1(1r)ana1(1r )n1a2(1r)n2an 1(1r) an，在式两端同乘1r，得(1r)tna1(1r)na2(1r)n1an1(1 r)2an(1r)，得rtn a1(1 r)nd(1r)n1(1r)n2 (1r)andr(1r)n1ra1(1r)nan. 即 tna1rdr2(1r)ndrna1rdr2. 如果记 ana1rdr2(1r)n，bna1rdr2drn，则 tn

23、 anbn，其中 an是以a1rdr2(1r)为首项，以1 r(r0)为公比的等比数列；bn 是以a1rdr2dr为首项，dr为公差的等差数列借助数列的递推关系建立等量关系素养案例 2大学生自主创业已成为当代潮流某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1 500 元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出(1)设夏某第n 个月月底余an元，第 n 1 个月月底余an1元，写出a1的值并建立an1与 an的递推关系；(2)预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入(参考数据： 1.12113.48,1.12123.90,0.12117.43 1011,0.12128.921012) 1 4解(1)依题意， a120 000(115%)20 00015%20%1 50020 900(元)，an1an(115%)an15%20%1 500 1.12an1500(n n