(完整)【2012年】新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题【最新经典版】,推荐文档

1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题、基础知识点:1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c,那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是1图形进过割补拼

2、接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 -ab c22ab c2大正方形面2积为S (a b)2a22ab b2所以a2b2c2方法三：-i12S梯形(a b) (a b),S梯形2SADESABE2 -ab -c2，化简得证2223勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的

3、对象是直角三角形4勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C 90，则c a2b2,b . c2a2,a .c2b2知道直角三角形一边， 可得另外两边之间的数量 关系可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边1勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，14 ab2(b2a)c2，化简可证.方法ba边的平方c2作比较，若它们

4、相等时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形；2定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边3勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6勾股数1能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数2记住常见的勾股数可以提高解题速度，

5、如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等3用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n 2, n为正整数）;2n 1,2n22n,2n22n 1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（m n,m,n为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时， 必须把握直角三角形的前提条件， 了解直角三角形中， 斜边 和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通

6、过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不 可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常 见图形10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理

7、 例1在ABC中，C 90.已知AC 6,BC 8.求AB的长已知AB 17,AC 15，求BC的长C题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑 物的高度是多少米？例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并用一一1例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB - AB4那么DEF是直角三角形吗？为什么？题型四：利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4,已知长方形ABCD中AB=8

8、cm,BC=10cm在边CD上取一点E，图3将AADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm, AB=60cm BD=100cm AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？题型六：旋转问题:例1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将厶ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合,若AP=3,求PP的长

9、。变式1:如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求厶ABC的边长.分析：利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中 根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形 变式2、如图，ABC为等腰直角三角形，/BAC=90,E、F是BC的点，且/EAF=45,试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由AA题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折 叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是厶ABC的中线，/ADC=45，把ADC沿直

10、线AD翻折，点C落在点C 的位置，BC=4求BC的长.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知 拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例5、如右图119,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从 背后对害虫进

11、行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问 壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点, 最少要花几秒钟？点A处有一所中学， 假使拖拉机行驶时，MN上沿PN方3.已知：如图，ABC中，/C = 90，点O ABC的三条角平分线的交点，OD丄BC,OE丄AC,OF丄AB,点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm,CA = 6cm，则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等 于cm4在一棵树的

12、10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_ 米。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 3dm2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 _二、选择题1.已知一个Rt的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或252.Rt一直角边的长为11,另两边为自然数，贝URt的周长为（ ）A、121 B、120C、132D、不能确定3.如果Rt两直角边的比为5:12,则

13、斜边上的高与斜边的比为（）A、60:13 B、5:12C、12:13D、60:1694.已知RtABC中，/C=90,若a+b=14cm, c=10cm，则RtABC的面积是（）2 2 2 2A、24cmB、36cmC、48cmD、60cm5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32，则三角形的面积为（）的面积为（）2 2 2 2A、6cmB、8cmC、10cmD、12cm&在ABC中，AB=15,AC=13，高AD=12，则ABC的周长为三、课后训练:一、填空题2.出A、56某市在旧城改造中， 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境, 售价a元，则购买这种草皮至少需要（B

14、、48C、40D、326.450a元B、225a元C、150a元D、300a元20m 30m/ 1507已知，如图长方形ABCD中,AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则厶ABE1如图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需4.6cm,问吸管要做cmocm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露米.B已知这种草皮每平方米A.42B.32C.42或32D.37或339.如图，正方形网格中的ABC若小方格边长为1,则厶ABC是 （）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对三、计算1、如图，AB是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村

15、庄到直路的距离分别是300m和500m两村庄之间的距离为d（已知d2=400000m），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？B2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与AD重合），在AD上适当移动三角板顶点P:1能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.2再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q与BC交于点E，能否使CE=2cm若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.四、思维训练：1、如图所示是从长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm，宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料。工人师傅要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能 短的正方形工件，请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图2,3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的