(word完整版)圆锥曲线题型的解题技巧总结,推荐文档

1、圆锥曲线一概念、方法、题型、及应试技巧总结 1. 圆锥曲线的两个定义 （1） 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F1，F2的距离 的和等于常数2a，且此常数2a 一定要大于 F1F2，当常数等于 F1F2时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于F1 F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a，且此常数2a一定要小于 1卩汗2丨，定义中的“绝对值”与2a V|F1F2|不 可忽视。若2a = |F 1F2|，则轨迹是以 F1 , F2为端点的两条射线，若 2a |F 1 F2 |，则 轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支

2、。 如（1）已知定点F1（ 3,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆 的是 A PF1I PF2 4 B |PF1 IPF2I 6 C |PF1 | PF2 10 2 2 D PF1 PF2 12 （答：C）; （2）方程 y2 7（x 6）2 y2 8表示的曲线是 _ （答：双曲线的左 支） （2） 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ，且“点点距为分子、点 线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义， 给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 2 如已知点Q（2j2,0）及抛

3、物线y 上一动点 P （x,y）,则 y+|PQ|的最小值是 _ 4 （答: 2） 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程）： 2 （1）椭圆：焦点在x轴上时务 a 2 其中为参数），焦点在y轴上时每 a 2 y_ b2 2 x b2 y acos （参数方程， 0)。方程 Ax2 By2 C表示椭 圆的充要条件是什么？（ 如（1）已知方程 ABC 工 0,且 A , B , C 同号, 2 x 3 k 1表示椭圆， 则k的取值范围为 （答： 1 1 (3, 2(答: .,1 -、 2 若 x, y R , 5,2) 且3x2 2y2 6

4、，则 x y的最大值是 2 y的最小值是 (2) （a 0,b B 异号）。 2 y 2 a 2 2 双曲线：焦点在x轴上： 2 x 2 a 2 芯=1 ,焦点在y轴上： b x2 7 =1 0 ）。方程Ax By C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC 工 0,且 A , （2）设中心在坐标原点 0,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e 、2的双曲线 C 过点P（4, 陌，则 C 的方程为 _ （答: x2 y2 6） （3）抛物线：开口向右时 y2 2px（p 0），开口向左时y2 2px（p 0），开口 2 2 向上时x 2 py（ p 0），开口向下时x 2 py（ p 0）。 3

5、. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2 2 如已知方程 一 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _（答： m 1 2 m （,1） （1,|） （2） 双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3） 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1，F2的 位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 焦点：两个焦点（c,0）:对称性：

6、两条对称轴x 0, y 0，个对称中心（0,0）， 两个顶点（a,0），其中实轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时,如（1）双曲线的离心率等于 2 _ （答：-y2 1 ）； 4 ，且与椭圆- 2 9 2 y_ 4 1有公共焦点， 则该双曲线的方 个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件; 线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，a2 2 2 2 c最大，c a b。 4.圆锥曲线的几何性质： 2 2 务占 1（ a a b c,0）:对称性： （1）椭圆（以 b 0 ）为例）： 范围： b2 在求解抛物 2 c，在双曲线中,

7、 x a, b 焦点：两个焦点（ 两条对称轴x 0,y 0， 一个对称中心（ 四个顶点（a,0） , （0, b），其中长轴长为 2a，短轴长为 2b ；准线：两条准线x 0,0）， 2 a c 离心率：e C， a 椭圆 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 2 x_ 5 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 轴的最小值为（答：22） y2 1 （ a 0, b 0）为例）：范围：x 2 如（1）若椭圆 1的离心率e F，则m的值是_（答：3或号 1 时，则椭圆长 ） ； （2）双曲线（以 a2 a 或 x a, y R ； a2 称为等轴双曲线，其方程可设为 x2 y

8、2 k,k 0 ;准线：两条准线x ；离 c 心率：e C，双曲线 e 1，等轴双曲线 e 2 , e越小，开口越小， a 开口越大； 两条渐近线：y -x。 a 如(1 )双曲线的渐近线方程是 3x 2y 0,则该双曲线的离心率等于 _ (2)双曲线ax2 by2 1的离心率为. /5，则 a:b = 1 (答：4 或 ； 4 2 (3)设双曲线x2 a 2 y b2 1 (a0,b0) 中，离心率 e 2 ,2,则两条渐近线夹角 B的取值范围是 (答: ,)； 3 2 (3)抛物线(以y2 2px(p 0)为例) :范围：x 0, y R ;焦点：一个焦点 曲线相交不一定有 0，当直线与双

9、曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有 e越大, (-P 0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离； 2， 对称性 :一条对称轴 0,没有 对称中心，只有一个顶点(0,0)；准线：一条准线x 离心率: -，抛物 a 如设a 0,a 5、点 P(xo, 2 2 X yo 2 .2 a b 2 2 Xy。 2 y 4ax的焦点坐标为 1 ；( 2)点P(x, y)在椭圆上 2 X。 2 a 的关系： 1) (答:(0,16a )； (1)点P(x。, y。)在椭圆 (3)点P(x, y)在椭圆 b2 1 a 6 直线与圆锥曲线的位置关系 ： (1)相交： 0 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相

10、交，但直线与双 外 R，则抛物线 2 x y。)和椭圆飞 2 个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛 物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线 与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必 要条件。 女口( 1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，贝 U k 的取值范围 是 _ (答：(-15,-1); 3 x2 (2)直线 y kx 仁 0 与椭圆 5 (答: 1 , 5)U( 5, +R); 2 2 (3)过双曲线- y 1的右焦点直线交双曲线于 A、

11、B 两点，若|AB|= 4,则 1 2 这样的直线有 条3 )； (2)相切: 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直 线与抛物线相切； (3)相离: 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直 线与抛物线相离。 特别提醒： (1)直线与双曲线、抛物线只有 个公共点时的位置关系有两种情形 :相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果 2 2 直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；(2)过双曲线 笃 爲=1 a2 b2 外一点P(Xo,yo)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且

12、不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切 线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的 直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两 条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；(3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称 轴的直线。 如(1)过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 _ (答: 2 L 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 16 作 4 4亦、 _ (答: -，

13、3 3 2 (3) 过双曲线X2 红 1的右焦点作直线I交双曲线于 A、B 两点，若AB 4,则 2 满足条件的直线l有 _ 条(答：3)； (4) 对于抛物线 C: y2 4x，我们称满足y02 4x0的点M(x,y)在抛物线的内 部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l : y0y 2(x x0)与抛物线 C 的位置关系是 (答： 相离)； (5) 过抛物线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 1 1 的长分别是p、q，则1 1 _ (答: 1)； p q 2 2 (6) 设双曲线- 1的右焦点为F，右准线为I，设某直线 m交其左支、右 16

14、91恒有公共点，则 m 的取值范围是 _ 2)； 2 X (2)过点(0,2)与双曲线一 9 2 支和右准线分别于 P,Q,R，则 PFR和 QFR的大小关系为 或等于）（答：等于）； （7） 求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答： 匕兰）； 13 （8） 直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分 别在双曲线的两支上？当 a为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： 3, 3 : a 1 ）； 7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二 定义，转化到相应准线的距离，即焦半径

15、r ed，其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 2 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的 16 （2） 已知抛物线方程为y2 8x，若抛物线上一点到 y轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于 _ ； （3） 若该抛物线上的点 M到焦点的距离是 4，则点 M的坐标为 7,（2, 4）； 2x上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到y轴 2）； 2 （6）椭圆 1内有一点P（1, 1），F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 4 3 2恵 （答：（，1）； 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：常利用

16、第 一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 P（xo,y。）到两焦点F1, F2的距离 x2 分别为r1,r2，焦点 F1PF2的面积为S，则在椭圆二 （填大于、小于 距离为 2 如（1）已知椭圆 I 25 （答：35）； 3 （答: （4 ） 点 P 在椭圆 2 x 25 P 的横坐标为 （答: 2 Z 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 9 25）； 12 （5）抛物线y2 的距离为 _ （答: 2 x MP 2MF之值最小，则点 M 的坐标为 2 a2b2 arccos 1），且当* r2即P为短轴端点时, 最大为 b m ax arccos 2 2 c 2

17、； a 2 线X2 a b2 tan c| y01，当| y0 | b即P为短轴端点时, 2 2 兀2 芯 1的焦点三角形有： arccos 1 - b 怖 Smax的最大值1 : S RDsin 对于双曲 b2 cot。 2 如 （1）短轴长为.、5，离心率e 2的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于 3 A、B 两点，贝U ABF2的周长为 _ （答：6）; （2）设 P 是等轴双曲线 x2 y2 a2（a 0）右支上一点，Fi、F2是左右焦点，若 PF2 Fi F2 0 , |PFi|=6，则该双曲线的方程为 _ (答: X2 y2 4); 2 2 （3）椭圆匕 1的焦点为

18、Fi、F2,点 P 为椭圆上的动点，当 PF2 PFi 0 时, 9 4 （4） 双曲线的虚轴长为 4，离心率 e= , Fi、F2是它的左右焦点，若过 Fi的直线 2 与双曲线的左支交于 A、B 两点，且 AB是AF2与BF2等差中项，则 AB = _ （答: 8 罷）; （5） 已知双曲线的离心率为 2 , Fi、F2是左右焦点， P 为双曲线上一点，且 2 2 FiPF2 60 , SPFF2 i2.3 求该双曲线的标准方程（答： , y i）; 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：（i）以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切；（2）设 AB 为焦点弦，M 为准线与 x轴的交点，

19、则/ AMF=Z BMF （ 3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 Ai , Bi，若 P 为 Ai Bi的中点，贝U PAL PB; （4）若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x轴，反之，若过 B 点平行于 x轴的直线交准线于 C 点，贝U A, O, C 三点共线。 10、 弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且xi,x2分别为 A、 B 的横坐标，则 AB = Ji k2|x x2 ,若yi, y2分别为 A、B 的纵坐标，则 AB = Ji 4r|yi y，若弦 AB 所在直线方程设为x ky b，则AB =Ji k2 y?。 k 特

20、别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 女口（ i）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （xi，yi）， B （X2，y2）两点，若 xi+x2=6，那么 |AB|等于 _ （答：8）; （2）过抛物线y 2x焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=i0，O 为坐标 原点，则 ABC 重心的横坐标为 _ （答：3）; 11、 圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。 2 2 点 P 的横坐标的取值范围是 （答:（琴昔）； 5 5 k=-学 a y。

21、 ；在双曲线 2 2 x y 2 ,2 a b i中，以P（x,y）为中点的弦所在直线的斜率 k= b2x a y ；在抛物线 在椭圆x2 占 i中，以P（x0,y。）为中点的弦所在直线的斜率 a b y2 2px（p 0）中，以P（x0,y。）为中点的弦所在直线的斜率 k=卫。 x2 如(1)如杲椭圆 36 (答: x 2y 8 0 )； 2 1 弦被点 A ( 4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 9 (2)已知直线 2 y= x+1 与椭圆笃 a 2 -2 1(a - b 0)相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L: x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为 (答：子);

22、 (3)试确定 的取值范围，使得椭圆 2 y 1上有不同的两点关于直线 3 y 4x m对称(答: 特别提醒:因为 2.13 2 13 、 , )； 13 13 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、 对称问题时，务必别忘了检验 0 ! 12.你了解下列结论吗 ？ 2 J 1的渐近线方程为 -2 (1) 2 双曲线 0 2 a y -x为渐近线(即与双曲线 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y_ b2 2 y b2 1共渐近线)的双曲线方程为 2 x 2 a 2 y b2 (为参数， 工 0)。 2 如与双曲线 9 2 乂 1) 4 2 y 1有共同的渐近线，且过点

23、 16 (32启) 的双曲线方程为 4x2 (答:竺 9 (3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 2 d ny 1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 2 mx 0，焦准距(焦点到 a b2 相应准线的距离)为，抛物线的通径为 2p，焦准距为p ; c 通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦； 若抛物线y2 2px(p 0)的焦点弦为 AB A(X1, yj, B(X2,y2)，则 2 p 4 2 y 2px(p (5) (6) | AB| (7) x1 x2 p : x1x2 若 OA OB 是过抛物线 恒经过定点(2p,0) 13.动点轨迹方程：

24、(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2) 求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立 x,y之间的关系F(x,y) 0 ； 0)顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线X 3的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程.(答： 2 2 y 12(x 4)(3 x 4)或 y 4x(0 x 3); 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0)，端点 A、B 到 x轴距离之积为 2m,以 x轴为对称

25、轴，过 A、0、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 _ 2 _ (答：y 2x)； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程； 2 2 o 如(1)由动点 P 向圆x y 1作两条切线 PA PB,切点分别为 A B,Z APB=60,贝y 动点 P 的轨迹方程为 _ (答： x y 4 )； (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线I： X 5 0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程 是 (答：y2 _ 16x)； (3) 一动圆与两圆O M： x2 y2 1和O N： x2 y2 8x 12 0都外切，则动圆圆 心的轨迹为 _ (答：双

26、曲线的一支)； 代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y)的变化而变化，并且Q(x,y0) 又在某已知曲线上，则可先用 x, y的代数式表示x0, y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求 的轨迹方程； 2 如动点 P 是抛物线y 2x 1上任一点，定点为 A(0, 1),点 M 分 PA 所成的比为 2, 则 M 的轨迹方程为 _ (答：y 6X2 1 )； 3 参数法：当动点P(x, y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时， 可考虑将x, y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。 女口( 1) AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2 a,

27、 M 为圆上一动点，作 MNLAB,垂足为 N,在 OM 上取点P，使|OP | | MN |，求点P的轨迹。(答：x2 y2 a | y |)； 2 2 (2) 若点P(x,y1)在圆x _ y 1上运动，则点Q(x1,X1 yj 的轨迹方程是 _ 2 1 (答: y2 2x 1(|x| 2)； (3) _ 过抛物线x2 4y的焦点 F 作直线l交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点 M的 轨迹方程是 _ (答：x2 2y 2 )； 注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或

28、脱靴子”转化。 2 2 如已知椭圆笃与 1(a b 0)的左、右焦点分别是 F1 a b (-C, 0)、F2 (c, 0), Q 是椭圆外的动点，满足| F1Q | 2a.点 P 是线段F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 PT TF2 0,|TF2 | 0. ( 1 )设x为点 P 的横坐标，证明 FIMF2= 2) 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中， 常借助于“平面几何性质”数形结合 (如角平分线 的双重身份一一对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等 如果在一条直线上 出现“三个或三个以上的点 ”，那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 ： (1)给出直线的方向向量 u 1,k或u m, n ； (2) 给出OA OB与AB相交，等于已知OA OB过AB的中点； (3) 给出PM PN 0,等于已知P是MN的中点； (4) 给出AP AQ BP BQ ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线 r r (5)给出以下情形之一