15圆周运动及其运用

1、知识梳理一. 描述圆周运动的物理量1. 线速度：描述物体圆周运动快慢的物理最. 12. 角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量力02 jt3. 周期和频率：描述物体绕圆心 转动快慢的物理最.2 jir 14. 向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量.5. 向心力：作用效果产牛向心加速度.尸向=厢向二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1. 匀速圆周运动(1) 定义：线速度人小不变的鬪周运动.(2) 性质：向心加速度大小不变,方向时刻变化的变加速曲线运动.(3) 质点做匀速圆周运动的条件，合力大小不变,方向始终与速度方向垂宜且指向圆心.(4) 两个结论 同一转动圆盘(或物的上的各点免速度相同. 皮

2、带连接的两轮不打滑时，则轮缘上各点的线速度大小相同.2. 非匀速圆周运动(1) 定义：线速度人小、方向均不断变化的圆周运动.(2) 合力的作用 合力沿速度方向的分量用产生切向加速度，用=/,它只改变速度的人小. 合力沿半径方向的分量尺产生向心加速度，皆阴,它只改变速度的方向.【特别提醒】匀速圆周运动既不是匀速运动也不是匀变速运动，它是加速度人小不变，方向 时刻在改变的变加速illi线运动.“匀速”指的是速度大小不变.三、离心运动1. 离心运动的定义：做匀速関周的物体,在所受合力突然消火或不足以提供闘周运动卫1 需向心力 的情况下,就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.2. 离心运动的应

3、用和防止(1) 应用：洗衣机的脱水筒、制棉花糖等.(2) 防止：公路弯道处车速不宜过快，砂轮、飞轮的转速不能过大等.【特别提醒】物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体 做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出.考点1.传动装置问题的处理方法皮带传动装置与齿伦传动装置是圆周运动知识在实际生活和生产屮的两个典型应用.解 决此类问题应抓住以下几点：(1) 同轴转动的轮子或同一轮子上各点的角速度相等；(2) 皮带(或链条)传动的两轮，皮带不打滑时，皮带(或链条)接触处的线速度人小相等;齿轮传动装置中，还应注意齿轮的半径厂与齿数艸成正比，即 尸秋

4、另外，应灵活2 ji运用公式=2 jif. /= q八a= vcd进行求解.【例11图所示是h行车传动结构的示意图，其屮i是半径为刀的人齿轮，ii是半径为匕的小齿轮，iii是半径为八的后轮.假设脚踏板的转速为/7r/s,则口行车而进的速度为a.兀mgr2nrinb.ric.【思路点拨】 两个齿轮z间通过链条传动，两轮边缘处的线速度相等；后轮与小齿轮 同轴转动，角速度相等.【解析】 白行车前进的速度即为iii的线速度，由在同个轮上的角速度相等，同链 条i:的线速度相等可得：o>lzi=33= 3?再有：少1=2兀/7,v- 為2切”所以自行车的前进速度尸2 °【答案】c【反思】

5、本题考杏齿轮传动屮线速度、角速度的关系，确定i、i【的线速度相等和1【、 iii的角速度相等是解题关键.变式探究1昇、两轮经过皮带传送(不打滑)，c轮与昇轮同轴，它们的半径z比分别是: 皿：皿：rc=l ： 2 ： 3,如图所示，求：(1) 三轮边缘的线速度之比内：衍(2) 三轮的角速度之比©：划：心(3) 三轮边缘的点的向心加速度之比厶：创:逐【解析】(1)由于久两轮是通过皮带传动，故为：沧=1：1,而久。两轮固定在 同一轴上,3彳=3c,则 va : vc= ra : rc= 1 - 3,所以 va : vb =1 ： 1 ： 3.(2) 由于s： 5=1 ： 1,而久两轮边缘线

6、速度大小相等，故0： 3b=rb：他=2 : 1. 所以 © : 3r : 32 ： 1 ： 2.(3) 因为向心加速度a= 2,所以a. : an : &=2 ： 1 ： 6.【答案】(1)1 ： 1 ： 3 (2)2 ： 1 ： 2 (3)2 ： 1 ： 6【反思】皮带连接的两轮不打滑时，轮缘上各点的线速度的人小相等.(2)同一转动物体上各点的角速度相同.考点2.圆周运动中的动力学问题分析1. 向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个 力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.2. 向心力的确定(1

7、) 确定圆周运动的轨道所在的平而，确定圆心的位.(2) 分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.3. 解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等;(3) 分析物体的受力情况，画岀受力示意图，确定向心力的來源；(4) 根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；(5) 求解、讨论.4. 火车转弯问题在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力捉 供.若轨道水平，转弯吋所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损 坏.车速人时，容易出事故.设不轨间距

8、为厶两轨高度差为力，车转弯半径为爪质量为財的火车运行时应当冇多 人的速度？,对火车的受力情况分析得tem =因为角很小，所以sin "atan 0,故#=$?所以向心力f=fg.又因为f=mv/r.所以车速v=ghr山于铁轨建成后力、l、只各量是确定的，故火乍转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如:情况7；合力、与h的关系/f向qf向不利影响火车挤压外轨火车挤压内轨结果夕卜轨对车轮 的弹力补充 向心力内轨对车轮的 弹力抵消部分 合力【特别提醒】（1）无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，沿半径指向圆心的合力均 为向心力.（2）当采用正交分解法分析向心力的来源时，常常以做

9、圆周运动的物体为坐标原点，一 个坐标轴沿半径指向圆心.【例2（2009 广东高考单科，17）如图所示，一个竖直放査的圆锥筒可绕其中心轴00'转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为斤和，筒内壁昇点的高度为筒高的一半， 内壁上有一质量为刃的小物块.求：（1）当筒不转动吋，物块静止在筒壁a点受到的摩擦力和支持力的大小；（2）当物块在/点随筒做匀速转动，j1.其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度.【思路点拨】 本题第问为斜曲上的平衡问题，第问实质为圆锥摆问题，需要准 确进行受力分析建立动力学方程.【解析】（1）当筒不转动时，物块受力如图所示，由平衡条件得azcos 0 =0f mgsin 0

10、 =0其中sin 0 =联立解得e=/ngsin（）=/gis=mcos 0 =（2）当物块在点随筒匀速转动且其所受到的摩擦力为零时，物块的受力如图所示，由牛顿第二定律得/ngtan 0 =ma=解得3 =/2tan 0r 【答案】【反思】 圆锥摆是运动轨迹在水平更内的一种典型的匀速圆周运动其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平，也可以说是其屮弹力的水平分力 提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力），“火年转弯”“飞机在水平面内做匀速圆周 飞行”等在水平而内的匀速圆周运动的问题都属丁此类问题.变式探究2如图所示，两个相同材料制成的靠摩擦传动的轮力和水平放置，两伦半

11、径 兀=2危当主动伦a匀速转动时，在a伦边缘上放置的小木块恰能相对静止在a伦边缘上.若 将小木块放在轮上，欲使木块相对轮也静止，则木块距轮转轴的最大距离为（）a-1b-yc. yd. rb【解析】a. 两轮边缘线速度相同，要使小木块静1上的临界条件是最大静摩擦力提v 供向心力.由题图可知，当主动轮匀速转动时，a. 两轮边缘上的线速度相同，由3=飞上得，由于小木块恰能在/轮边缘静止，则静摩擦力提供的向心力达到最大值3 b v ka zftp mg,得卩 mg= m 3 ； & .设放在轮上能使小木块相对静止时距转轴的最大距离为厂，则向心力山最大静摩擦 力提供，故mg=ni3；：r.因月、

12、材料相同，故小木块与力、的动摩擦因数相同，故m3；r. =/®zr,所以 尸（壬）先=（2）人=#=号所以c选项正确.【答案】c考点3.变速圆周运动的最高点和最低点竖直而内圆周运动的问题分析对于物体在竖直血内做的圆周运动是-种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问 题，并伴有“最人”，“最小”，“刚好”等词语，常分析两种模型轻绳模型和轻杆模型, 分析比较如下：轻绳模型轻杆模型0阿圆轨道常见类型./均是没有支撑的小球均是有物体支撑的小球过最高点的临界条件由/ng=叮得卩临=、/7小球能运动即可，5=0轻绳模型轻杆模型(1)当 v = 0 时,fn=mg, fn 为支持力，沿半径背离圆心

13、(1)过最高点时v/云，fn+mg=(2)当 03畅时，一fn+mg=nr叫绳、轨道对球产生弹力fn20.方 rv2 m_讨论分析向指向圆心丄fn背离圆心,随v的增大而减小(2)不能过最高点v丽,在到达最(3)当 v=#云时，fn=o高点前小球已经脱离了圆轨道(4)当 v>/云时，fn+mgni,fn指向圆心并随v的增大而增大【特别提醒】圆周运动的考查，经常是结合牛顿第二定律、机械能守恒及做圆周运动 的临界条件.【例3如图所示，质量为0. 1kg的木桶内盛水0. 4kg,用50cm的绳子系着木桶，使 它在竖直面内做圆周运动.如果通过最高点和最低点时的速度人小分别为9m/s和lom/s,

14、求木桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对木桶的压力.(g取10m/s2)【解析】(1)在最高点吋，以木桶和水为研究对象，木桶和水的质量为：加=0. lkg+0. 4kg=0. 5kg,水的质量为规=0. 4kg,贝lj木桶和水受重力驱和绳的拉力刖作用，有：把数据代入上式，可得：砌=76«则木桶对绳的拉力大小为76n,方向向上ki水在最高点受重力加g和木桶对水的支持力fni的作用，有：用1+她尸zt万，即”n1 =把数据代入上式,可得：用】=60.8n,则水对木桶的压力大小为60. 8n,方向向上.旳2在最低点时,木桶和水受绳向上的拉力必和向卜的重力/作用，也fti/rhg=nh,把数据

15、代入上式，可得：ft?=105n，则木桶对绳的拉力人小为105n,方向向下.k>2水在最低点爻木桶向上的支持力2和向下的重力加g作用，冇：叽一nhg= inrp即甩把数据代入上式,可得：m=84n,则水对木桶的压力大小为84n,方向向下.【反思】 求木桶対绳的拉力，必须要以水和木桶整体为研究对象，而求水対木桶的压 力，必须以水为研究对象.另外，求出拉力和压力示，还必须根据牛顿第三定律说明力的方 向.变式探究3（2010 武汉模拟）如右图所示光滑管形圆轨道半径为斤（管径远小于r ,小 球臼、方人小相同，质量均为加，其直径略小于管径，能在管小无摩擦运动.两球先后以相 同速度y通过轨道最低点，

16、冃当小球日在最低点时，小球力在最高点，以下说法止确的是 （）a. 当小球力在最高点对轨道无压力时，小球a比小球力所需向心力大sigb. 当孑=伍亦i寸，小球方在轨道最高点对轨道无压力c. 速度至少为q議，才能使两球在管内做圆周运动d. 只要 心寸晟，小球刀対轨道最低点的压力比小球对轨道最高点的压力都大6驱【思路点拨】 解答木题应注意以下两点：关键点：（1）光滑管模型类似于轻杆模型.（2）小球从最高点到最低点的过程中机械能守恒.【解析】 小球在授高点恰好对轨道没冇压力时，小球方所受重力充当向心力，時巧； 3旳=乂矗，小球从最i苗点运动到最低点过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgr 1i

17、v+-mv=-mv ,解以上两式可得：v=y5gkf b项正确；小球在最低点时，尸向=血=5妙， 在最高点和最低点所需向心力的差为4mg, a项错；小球在最高点，内管对小球的支持力与重力的合力可以提供向心力，所以小球通过最高 点的最小速度为零，再由机械能守恒定律口j知，2nigr=#,解得v=2ygkf c项错；当 心萌鬲寸，小球在最低点所受轨道压力已=/昭十筝，山最低点运动到最髙点，2就 +尹讦 小球所受轨道压力mg, &=号75飓，用一尺=6刃g,再根据牛顿第三定律， 可见小球仪对轨道最低点压力比小球力对轨道最高点压力都人sig, d项正确.【答案】bd巩固训练1 下列关于离心现象

18、的说法正确的是（）a. 当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现彖b. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失吋，它将做背离圆心的圆周运动c. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做百线运动d. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动【解析】 离心力是一种效果力，实际并不存在，a错；做匀速圆周运动的物体，当它所受 的一切力都突然消失时，由于惯性，它将沿切线方向飞出，做匀速直线运动，b、d错, c正确.【答案】c2. 如右图所示，在双人花样滑冰运动屮，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开 地面在空中做闘锥摆运动的精彩场面，冃测体重为g

19、的女运动员做闘锥摆运动时和水平冰面 的夹角约为30。，重力加速度为g,估算该女运动员（）a. 受到的拉力为b. 受到的拉力为2gc. 向心加速度为书gd. 向心加速度为2g【解析】 女运动员离开地而在空屮做圆锥摆运动时受到重力0和拉力斤的作用，合 力沿水平方向指向圆心，拉力/" = sin?o。=2&由处ot30° =衍得向心加速度为a=£g, 故本题正确选项为b、c.【答案】bc3. 游客乘坐过山车,在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20m/s2, g取lom/s2,那 么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的（）a. 1倍 b. 2倍 c. 3倍

20、 d. 4倍【解析】 以游客为研究对象，游客受重力矽和支持力/£由牛顿笫二定律得：is-nig= ma,所以 a=mg-ma= 3mg.【答案】c4. （2010 龙山模拟）如右图所示为某一皮带传动装置.主动轮的半径为"，从动轮的 半径为n.已知主动伦做顺时针转动，转速为刀，转动过程屮皮带不打滑.下列说法正确的 是（）a. 从动轮做顺时针转动b. 从动轮做逆吋针转动c. 从动轮的转速为卫/722d.从动轮的转速为争【解析】 主动轮顺时针转动，皮带交叉，则从动轮逆时针转动，根据两轮线速度相等,2 jtn ri = 2 n' r2,解得 =n,故 b、c 正确.【答案】

21、bc课后作业1. （2010-包头模拟）如右图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数zi=24，从动轮的齿数z2=8,当主动轮以角速度e 动轮的运动情况是（）a. 顺时针转动，周期为2mco顺时针转动时，从b.逆时针转动,周期为imcoc.顺时针转动，周期为6刃少d. 逆时针转动，周期为6加0【解析】 主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故卩从=祗）、b正确.【答案】b2. 如右图所示，水平转盘上放有一铁块4随转盘一起绕过o 点的竖直轴转动，在转速逐渐增大的过程中，盘上放置的恢块力一 直未与盘发生相对滑动，下面说法小正确的是（）a.

22、由于铁块/所受靡擦力做向心力，所以摩擦力不对铁块/做功b. 摩擦力对铁块力一定做功c. 山于铁块/未做匀速圆周运动，所以向心力一定不指向圆心d. 铁块/所受的摩擦力是滑动摩擦力【解析】 在转盘转速逐渐增大的过程中，铁块速度增大，因而动能增大，铁块受到的 静摩擦力一方面提供铁块做圆周运动的向心力，另一方向对铁块做功，使其动能增大，a错、 b正确；铁块速度增大，所受合外力不指向圆心，但向心力总是指向圆心的，c错；铁块未与盘发生相对滑动，受到的是静摩擦力，d错.【答案】b3. （新题快递）有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾缎摩托 车沿圆台形衣演台的侧壁做匀速圆周运动.右图屮粗线圆（包括虚线部

23、分） 表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地而的高度为ho下列说法中正确的是 （）a. 力越高，摩托年对侧壁的压力将越大b. 力越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大c. 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小d. h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越人【解析】 对摩托车进行受力分析如图所示，其中fn为侧壁对摩托车的支持力，故 fncos/7 = mg.由于摩托车做圆周运动，故向心力f向=mgtano = rncot = irr =由于力越高，厂越大，故角速度越小，线速度越大，周期越大.压力斥二鴛保持不变，而向心 力f向=/?zgtan/9也保持不变.故选d项.【答案】d4. （2011-兰州调研）上海磁悬

24、浮线路的最大转弯处半径达到8000m,近距离用肉眼看儿 乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300m.一个质量为50kg的乘客处在以360km/h不 变速率随挙驾过半径2500m弯道，下列说法正确的是（）a. 乘客受到的向心力大小约为200nb. 乘客受到来自车厢的力人小约为200nc. 乘客受到來自车厢的力人小约为539nd. 弯道半径设计特别长町以使乘客在转弯时更舒适【解析】 根据向心力公式f向=wy = 200n, a正确.弯道半径越长，向心力越小， 乘客在转弯时感觉更舒适，d正确，乘客受到来自车厢的力大小f = 吨f + f向2 = 5002 + 2002n539n, b 错误，c

25、正确.【答案】acd5. 如右图所示，一小物块在开口向上的半圆形曲而内以某一速率开始下滑，曲而内各 处动摩擦因数不同，此摩擦作川使物块卜滑时速率保持不变，则卜列说法正确的是（）a. 因物块速率保持不变，故加速度为零b. 物块所受合外力大小不变，方向在变c. 在滑到最低点以前，物块对illi面的压力越來越人d. 在滑到最低点以前，物块受到的摩擦力越来越小【解析】 物块速率不变，可理解为物块的运动是匀速圆周运动的一部分，物块所受合 外力充当所需的向心力，故合外力大小不变，而方向在变，向心加速度不为零，a错，b对;p2对物块受力分析并正交分解可得fn-= ”斤，而且其中&越来越小，所以fn越

26、来越 大；f/= mgsino,其中&越来越小，所以巧越来越小，c、d均正确.【答案】bcd6. （2011陕西省西安市统测）如图所示，质量为加的小球在竖肓平而内的光滑圆环轨道 上做圆周运动.圆坏半径为凡小球经过圆坏最高点时刚好不脱离圆坏，则其通过最高点时如果 v()=y/gr9则小球能够上升的最大高度为#a.c.如果 w=p3gr,o d则小球能够上升的授大高度为乎d.如果则小球能够上升的最人高度为2ra. 小球对圆环的压力大小等于mgb. 小球受到的向心力等于0c. 小球的线速度大小等于侦d. 小球的向心加速度大小等于g【解析】 小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作

27、用力，小球只受重力，重力竖直向下，过圆心，根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为0 =晋=刃2再根据圆周运动规律得a = * = g,解得"畅.【答案】cd7. （2010泰州市联考）如图所示，半径为r的竖直光滑i员i轨道内侧底部静止着一个光滑 小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度,若大小不同，则小球能够 上升到的最大高度（距离底部）也不同.下列说法中正确的是（）b.|r【解析】 根据机械能守恒定律，当速度为v（）= ygr,由mgh = 解出=亍，a项正确，b项错误；当vg = yj5gr,小球正好运动到最高点，d项正确；当% = 73gr时小球运 动到最高点以下，

28、若c项成立，说明小球此时向心力为0,这是不可能的.【答案】ad8. （201（）汕头模考）如图，在验证向心力公式的实验屮，质量相同的钢球放在力盘的 边缘，钢球放在3盘的边缘，a. 3两盘的半径z比为2： 1, a、b分别是与/盘、3盘同 轴的伦.。轮、b轮半径z比为1 ：2,当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球、 受到的向心力z比为（）b. 4 ： 1d. 8 ： 1a. 2 ： 1b. 1 ： 4【解析】a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，说明g、b两轮的线速度相等，即 =% 又因。轮与/盘同轴，b轮与b盘同轴，对应的角速度相等，再利用向心力公式得d 项正确.【答案】d9. （201

29、1西安铁一中月考）如图所示，质量为加的物块从半径为r的半球形碗边向碗底 滑动，滑到最低点时的速度为若物块滑到最低点时受的摩擦力是则物块与碗的动摩 擦因数为（）c:pl【解析】 物块滑到最低点时受竖直方向的重力.支持力和水平方向的摩擦力三个力作7） 用，据牛顿第二定律得fn - mg =又 ff=f.ifn,联立解得厂pf选项b正确.【答案】b10. （2010-湖南炎德英才大联考）如右图所示，川一根长杆和两个定滑轮的纽合装置來捉升重物长杆的一端放在地面上通过较链连接形成转轴，具端点 恰好处于左侧滑轮正下方o点处，在杆的中点c处拴一细绳，通过 两个滑轮后挂上重物m.c点与o点距离为l,现在杆的另

30、一端用力 使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度3缓缓转至水平（转过了 9（）。角）,此过程中下述说法正确的是（ ）a. 重物m做匀速直线运动b. 重物m做变速玄线运动c. 重物m的最大速度是e厶d. 重物m的速度先减小后增大【解析】c点的运动轨迹为圆，任一时刻0c与速度o的夹角为&，此时沿绳方向的 速度v = vcoso, v = co厶，因此v = colcoso.当0|c与e方向一致，即 =0时，速度= a)l、故m的速度先增大后减小，b、c正确.【答案】bc11. 在用高级沥青铺设的简速公路上，汽车的设计时速是losknvh.汽车在这种路而上行 驶时，它的伦胎与地面的最人静摩擦力等于车重的0.6倍.(取g= l()m/s2)(1) 如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，拐弯时不产 生横向滑动，其弯道的最小半径是多少？(2) 如果高速路上设计了圆弧形拱桥做立交