2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修5-§1

1、。-可编辑修改 - 知识点一正弦定理在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc外接圆半径，则定理正弦定理内容(1)asin absin bcsin c2r变形(2)a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_c；(3)sin aa2r，sin bb2r， sin cc2r；(4)abcsin_asin_bsin_c；(5)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a知识点二余弦定理定理余弦定理内容a2b2c22bccos_a；b2c2a22cacos_b；c2a2b22abcos_c变形cos ab2c2a22bc；cos bc2a2b

2、22ca；cos ca2b2c22ab。-可编辑修改 - 知识点三三角形面积公式1sabc12ah(h表示边a上的高 ) 2sabc12absin c12bcsin a12acsin b. 3s12r(abc)(r为三角形内切圆的半径) 知识点四解三角形1已知两角和一边，如已知a，b和c，由abc求c，由正弦定理求a，b. 2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和c，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用abc求另一角3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和a，应先用正弦定理求b，由abc 求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况4已知三边a，b，c，

3、可以应用余弦定理求a，b，c. 5判断三角形的形状通常利用正、余弦定理进行边角互化，根据边的关系或角的关系确定三角形的形状6在 abc中，abc?abc? sin asin bsin c. 题型一正、余弦定理的应用例 1 (1)(2017年 4 月学考 ) 在 abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a3，a60 ，b45 ，则b的长为 ( ) a.22 b 1 c.2 d 2 (2) 设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c. 若a2，c23， cos a32且bc，则b等于 ( ) a3 b 22 c 2 d.3 答案(1)c (2)c 解析(1) 由正弦定理asin a

4、bsin b得，basin bsin a3sin 45 sin 60 2. (2) 由b2c22bccos aa2，得b26b80，解得b2 或b4，。-可编辑修改 - 因为bc23，所以b 2. 感悟与点拨(1) 一般地， 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，就要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，就考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2) 解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制跟踪训练1 (1)(2018年 4 月学考 ) 在abc中，已知ab2，ac3，则 cos c的取值范围是_答案53， 1解析设bca，由 22a232

5、23acos c，得 cos ca2 946aa656a2a656a53，当且仅当a5时，等号成立53cos c1. (2)(2016年 10 月学考 ) 在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知 sin 2c3cos c，c为锐角求角c的大小；若a1，b4，求边c的长解由 sin 2c3cos c，得 2sin ccos c3cos c，因为c为锐角，所以cos c0，从而 sin c32. 故角c的大小是3. 由a1，b4，根据余弦定理得c2a2b22abcos 313，所以边c的长为13. 题型二判断三角形的形状例 2 (2016 年 4 月学考 ) 在abc中，已知a3

6、0 ，ab3，bc2，则abc的形状是 ( ) a钝角三角形b锐角三角形c直角三角形d不能确定答案a 。-可编辑修改 - 解析由正弦定理bcsin aabsin c，得sin cab sin abc3sin 30 234，cos c134274，当 cos c74时，c为钝角，则abc为钝角三角形当 cos c74时，cos bcos180 (ac) cos(ac)()cos acos csin asin c3274123421 380，b为钝角故abc为钝角三角形感悟与点拨依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因

7、式分解、 配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论跟踪训练2 在abc中，内角a，b，c所对的边长分别是a，b，c. 若 sin c sin(ba) sin 2a，试判断 abc的形状解sin c sin(ba) sin 2a，sin(ba) sin(ba) 2sin acos a，2sin bcos a 2sin acos a，cos a(sin a sin b)0，cos a0 或 sin a sin b 0. 当 cos a 0即a

8、2时， abc为直角三角形当 sin a sin b0 时， sin asin b，ab，此时 abc为等腰三角形综上， abc的形状为直角三角形或等腰三角形。-可编辑修改 - 题型三与三角形面积有关的问题例 3 在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知bc2acos b. (1) 证明：a2b；(2) 若abc的面积sa24，求角a的大小(1) 证明由正弦定理得，bc2acos b? sin bsin c2sin acos b，所以 2sin acos bsin bsin(ab) sin bsin acos bcos asin b，则 sin bsin(ab) ，又a，b(0

9、 ， ) ，故 0ab ，所以b (ab) 或bab，即a ( 舍去 ) 或a2b，所以a2b. (2) 解由sa24得，12absin ca24，由正弦定理及(1) 得12sin asin bsin c14sin2a，sin bsin c12sin 2bsin bcos b，因为 sin b 0，得 sin ccos b又b，c(0 ， ) ，所以c2b. 当bc2时，a2；当cb2时，a4. 综上，a2或a4. 感悟与点拨有关三角形面积问题的求解方法：(1) 灵活运用正、 余弦定理实现边角转化(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等跟踪训练3 (1) 设 abc

10、的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c. 若 sin a2sin b，c4，c3，则 abc的面积为 ( ) a.83 b.163 c.1633 d.833。-可编辑修改 - 答案d 解析由 sin a2sin b，得a2b，由c2a2b2 2abcos c，得b433，a833. s12absin c833. (2) 已知a，b，c分别为 abc的内角a，b，c的对边， sin2b2sin asin c. 若ab，求 cos b；设b90 ，且a2，求 abc的面积解由题设及正弦定理可得b22ac. 又ab，可得b2c，a2c. 由余弦定理可得cos ba2c2b22ac14. 由题意知，

11、b22ac. 因为b90 ，由勾股定理得a2c2b2. 故a2c22ac，得ca2. 所以 abc的面积s12ac1. 题型四解三角形应用举例例 4 已知a，b两地间的距离为10 km，b，c两地间的距离为20 km，现测得 abc120 ，则a，c两地间的距离为( ) a10 km b103 km c105 km d107 km 答案d 解析如图所示，由余弦定理可得，ac2ab2bc22abbc cos b700，所以ac107(km) 感悟与点拨(1) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(2) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(3) 将三角形问题还原为实际问题，注意实

12、际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等跟踪训练4 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰。-可编辑修改 - 角为 30 ，则此山的高度cd_m. 答案1006 解析由题意，在 abc中， bac30 ，abc180 75 105 ，故acb45 . 又ab600 m，故由正弦定理得600sin 45 bcsin 30 ，解得bc3002 m. 在 rtbcd中，cdbc tan 30 3002331006(m) 一、选择题1(2018 年 6 月学考 ) 在abc中，角a，

13、b，c的对边分别为a，b，c. 已知b45 ，c30 ，c1，则b等于 ( ) a.22 b.32 c.2 d.3 答案c 2abc中，若a1，c2，b60 ，则 abc的面积为 ( ) a.12 b.32 c 1 d.3 答案b 解析s12ac sin b12123232. 3已知 abc中，a4，b43，a 30 ，则b等于 ( ) a60b30c60 或 120d30 或 150答案c 。-可编辑修改 - 解析根据正弦定理asin absin b，得 sin b32，又ab,0b180 ，b60 或 120 . 4在 abc中，已知a2b2bcc2，则角a为( ) a.3b.6c.23d

14、.3或23答案c 解析由a2b2bcc2，得b2c2a2bc，由余弦定理得cos ab2c2a22bc12，0a ，a23. 5如图所示，为测一树的高度，在地面选取a，b两点，从a，b两点分别测得树尖的仰角为30 ，45 ，且a，b两点之间的距离为60 m，则树的高度为( ) a(30 303)m b(30 153)m c(15 303)m d(15 153)m 答案a 解析由正弦定理可得absin45 30pbsin 30 ，解得pb6012sin 45 30，又 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 624，所以hpb sin 45 30sin 4

15、5 30 sin 45 (30 303)m. 6在 abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c. 已知 8b5c，c2b，则 cos c的值为( ) 。-可编辑修改 - a.725b725c725d.2425答案a 解析由正弦定理bsin bcsin c，将 8b5c及c2b代入得bsin b85bsin 2b，化简得1sin b852sin bcos b，则 cos b45，cos ccos 2b2cos2b12452 1725. 7在 abc中，已知sin2a2cb2c，则 abc的形状为 ( ) a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等边三角形答案b 解析因为 sin2a2cb

16、2c，所以1cos a2cb2c. 利用正弦定理得1cos a2sin csin b2sin c，化简得 sin csin ccos asin csin b，所以 sin ccos a sin b sin(ac) sin acos ccos asin c，所以 sin acos c 0. 又 sin a0，所以 cos c0，又c(0 ， ) ，所以c2，所以 abc为直角三角形8在 abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，如果2bac，b30 ，abc的面积。-可编辑修改 - 为32，则b等于 ( ) a13 b.132c.232d23 答案a 解析由12ac sin 30 32，得a

17、c6，由余弦定理得b2a2c22accos 30 (ac)22ac3ac4b21263，b31. 9在 abc中，若a2b22c2，则 cos c的最小值为 ( ) a.32b.22c.12d12答案c 解析 在abc中，a2b22c2，由余弦定理得，cos ca2b2c22aba2b2a2b222aba2b24ab2ab4ab12(当且仅当ab时取等号 ) ，cos c的最小值为12. 10已知 abc的面积为32，ac3，abc3，则 abc的周长等于 ( ) a.332b33 c23 d33 答案d 解析由题意，可得12abbc sin abc32，即12abbc3232，。-可编辑修改

18、 - 所以abbc2. 再由余弦定理可得ac2ab2bc22abbc cos 3ab2bc22，即ab2bc25，得(abbc)2ab2bc22abbc54 9，所以abbc3. 所以 abc的周长等于abbcac33，故选 d. 二、填空题11在 abc中，若角a，b，c成等差数列，则b_，acb2sin asin c_. 答案343解析由ac2b且abc ，b3，acb2sin asin csin asin csin2bsin asin c1sin2b43. 12已知a，b，c分别是 abc的三个内角a，b，c所对的边，若a3，b 1，cos c33，则 sin b_. 答案33解析由题意和余弦定理可得，c2a2b22abcos c(3)21 231332，c2， 0c ，cos c33，sin c63，由正弦定理得sin bbsin cc163233. 13已知锐角三角形abc的面积