(完整)微分方程总结,推荐文档

1、高等数学学习指导整理者：李拥军第七章微分方程1. 一阶微分方程(1) 微分方程的基本概念：、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。 未知函数是一元函数， 叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的 解。4、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。5、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。确定

2、了通 解中任意常数的解称为微分方程的特解。(2) 可分离变量方程：形如dyf(x)g(x)的方程称为可分离变量微分方程。 设 g(y) 0,则可将方程dx化为虫f (x)dx，其特点是方程的一端只含有 y 的函数 dy，另一端只含有 x 的函数 dx，即将两个变g(y)量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。(3)齐次方程：形如y f()的方程称为齐次方程。其解法是做变换u，则 y=ux, xxdx代入方程化为可分离变量的微分方程。(4) 一阶线性微分方程：形如dyP(x)y Q(x)的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中dx的未知函数及其导数为一次的。如果Q(x)0,则称

3、为一阶线性齐次微分方程；如果 Q(x)不恒等于零，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为y eP(x)dx( Q(x)eP(x)dxdx C。(5)伯努利方程：形如 y P(x)y Q(x)yn(n 0,1)的方程称为伯努利方程。次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现 n 次方幕。其解法是做变量替换 z y1 n，贝U:dz(1 n)y1ny,即 y1ndy丄生，dxdxdx 1 n dx代入原方程，得：空(1 n)P(x)z (1 n)Q(x),dx这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以 z y1 n换回原变量，即为所求。2、高阶微分方程，常

4、系数线性微分方程：(1)可降价的高阶微分方程：、y(n)f(x):其特点是右端仅含有自变量x，通过连续积分 n 次得到通解。、y f (x, y):其特点是方程不显含未知函数y。令y p(x),则 y p，代入原方程化为一阶微分 方程。、y f(y,y):其特点是不显含自变量 x。令y p(y),则 y，代入原方程化为一阶微分方程。dydux,dx高等数学学习指导整理者：李拥军(2)高阶线性微分方程：、二阶线性微分方程的结构：a. 设 yi,y2是二阶齐次线性方程y p(x)y q(x)y 0的线性无关的特解，则y(x) C1y1C2y2是它的通 解，其中G, G是任意常数。b. 设 y*是非

5、齐次线性方程y p(x)y q(x)y f(x)的一个特解，, y?是对应的齐次线性方程的两个线性无关的特解，则废齐次方程的通解为y CiyiC?y?y*.c. 叠加原理：设二阶线性非齐次微分方程的右端f (x)是几个函数之和，如：y P(x)y Q(x)y f,x) f?(x),而y；与 y；分别是方程 y P(x)y Q(x)yfi(x)与 y P(x) y Q(x)y f?(x)的特解，那么y；y；就是原方程的特解。、高阶常系数齐次线性微分方程、欧拉方程的解法：a. 二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0(其中 p、q 是常数)，其解法如下：(i) 写出对应的特征方程r；pr q

6、0,并求出特征根 r；、r；.(ii)根据特征根情况写出通解：若 r；r；,且为实根，则通解为yC；er；xC；er；x;若 r；r；,则通解为 y (C；C；x)er；x;若 r；,；i 是复根，则通解为y ex(C；cos x C；sin x).b. n 阶常系数齐次线性微分方程：对高阶常系数齐次线性微分方程根据其特征根的情况可类似写出其 通解。nn；n 2cn 阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为：rp；rp；rPn；r p.0，由代数学知道，n 次代数方程有 n 个根r；,r；,r3, , b这 n 个根对应微分方程通解 y 中的 n 项，每项含一个任意常数，即y C；y；C；y；.

7、Cnyn.通解中的每一项与特征方程中的根的对应关系为：(i) 若特征方程有单实根 r，则通解中有一项Cerx；(ii)若特征方程有单复根r；,；i ,则通解中有两项ex(C；cos x C；sinx).(iii )若特征方程有 k 重实根 r,则通解中有 k 项:高等数学学习指导整理者：李拥军eQC2x. Ckxk 1);(iv )若特征方程有 k 重复根1,2i，贝U通解中有 2k 项：ex(C1C2x . Ckxk1)cos x (D1D2x . Dkxk1)sin x.C.欧拉方程.形如XnyP1Xn1y(n1). Pn1Xy Pny f(x)的方程(其中 P1,P2,.，Pn为常数)称

8、为欧拉 方程，其特征是在方程每一项，未知函数导数的阶数与其系数函数x 的幕方次数相同。求解方法是：利用变量代换，设x航叭Inx(这里 X 0；若 X 0,则设 X曲,将 y 看作t的函数，则有：dydy dt1 dy d2y1 dy1 d2ydt 1(d2ydy2222(2丿，dxdt dxx dtdxx dtx dtdxxdtdtd3y 丄(吐3色33I3O2厶丿dt x dt dt dt为了书写简便，引入记号dD,则上述结果dt2 2矽 丄够,即 xyDy;d y(秒矽),即 x2y(D2D)y D(D 1)y;dxx dtdx2x2dt2dtd3y1 d3yd2yody)即 x3y (D33D22D)y D(D 1)(D 2)y.dt x dt dt dt一般地，xky(k)D(D k 1)y,k1,2,.将之代入欧拉方程，就得到啊一个以 t 为自变量的常数线性微分方程；求出其通解后，再将t 换为Inx，便得到原方程的通解。、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法：ypyqy f(x)(其中p,q是常数)。中Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式，且:不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的重根eXR(x)cos x Fn(x)sin x时，原方程具有形如XRm)(x)cos x Rm2)