机械基础 第四章 梁的弯曲

1、第四章 粱的弯曲第四章第四章 梁的弯曲梁的弯曲第一节第一节 平面弯曲的概念与弯曲内力平面弯曲的概念与弯曲内力第二节第二节 弯曲强度计算弯曲强度计算第三节第三节 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施第一节第一节 平面弯曲的概念与弯曲内力平面弯曲的概念与弯曲内力一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念1.1.工程实例工程实例起重机大梁图1图2火车车轴楼板梁图3钻床的摇臂图41 .1 .工程实例工程实例 当梁上的载荷均作用在当梁上的载荷均作用在纵向对称面纵向对称面内时，梁发内时，梁发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内，这生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内，这种弯曲称为平面弯曲。种弯曲称为

2、平面弯曲。梁：梁：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。M轴线轴线F1F2F纵向对称面纵向对称面纵纵向向对对称称轴轴一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念2 .2 .平面弯曲的概念平面弯曲的概念梁的横截面形式：梁的横截面形式：悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁 外伸梁外伸梁FFF2F1F一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念3.3.梁的基本形式梁的基本形式工程实例工程实例B.AammxlF（2 2）弯矩）弯矩M: :横截面上作用面横截面上作用面垂直于垂直于截面的内力偶矩。截面的内力偶矩。l)al (FF,FlFaF,)F(MAyBA00解：解：求支座反力求支座反力例例1 1：已知：

3、已知 F、a 、l 。求：距。求：距A A端端x x处截面上的内力。处截面上的内力。FBFA剪力和弯矩剪力和弯矩（1 1）剪力）剪力Q: :横截面上作用线横截面上作用线平行于平行于截面的内力。截面的内力。二、弯曲内力二、弯曲内力求内力求内力截面法截面法xFMFMlalFFAcy, 0)()(FQ0A（c c为截面形心）为截面形心）aABFxmmAFBFQMBFCFQMAAFCxyQ:Q:剪力剪力 M:M:弯矩弯矩剪力剪力Q Q：剪力对所取梁段顺时针方向错动为正，剪力对所取梁段顺时针方向错动为正，反之为负。反之为负。+QQQQ弯矩弯矩M M：弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉弯矩使所取梁段上部受压

4、、下部受拉时为正，反之为负。时为正，反之为负。MMMM注意注意：用截面法时，请按规定的正向假设。用截面法时，请按规定的正向假设。剪力和弯矩符号规定剪力和弯矩符号规定二、弯曲内力二、弯曲内力PB2lDDAFll例例 已知已知：F、P、l 求：求： D DD D截面上的内力。截面上的内力。FPQPFQFDDy0, 0若求出若求出A A处支座反力，取左段为研究对象得相同结果。处支座反力，取左段为研究对象得相同结果。lplFMlPlFMFMDDc23202320)( (c c为截面形心为截面形心) )PFBl2lDMDQxy解：解：从从D DD D处截开，留下右段处截开，留下右段例例 已知已知: :F

5、、q、a 求求: 1: 11 1截面上的内力截面上的内力 FaqaMqaFaMFMFqaQQqaFFcy212111210210)(00若求出若求出B B 端的约束反力端的约束反力, ,取右端为研究对象取右端为研究对象, ,得相同结得相同结果果. . 解解: : 取取1 11 1截面左段为研究对象。截面左段为研究对象。qaaF11ABqFA1Q1Mxy任一横截面上的任一横截面上的弯矩弯矩, ,在数值上等于该截面一侧梁上在数值上等于该截面一侧梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和，且所有外力对该截面形心之矩的代数和，且“左顺右逆左顺右逆正弯矩正弯矩”。由内力的计算过程可总结如下规律由内力的计算过程

6、可总结如下规律: :如如: :)l(lqlqlMlqqlQ8441811481111任一横截面上的任一横截面上的剪力剪力, ,在数值上等于该截面一侧在数值上等于该截面一侧( (左左侧或右侧侧或右侧) ) 梁上所有外力的代数和，且梁上所有外力的代数和，且“左上右下正左上右下正剪力剪力”。B1Aq14l2qlqlFA8112/lqlFB872/l 横截面上的剪力和弯矩与截面位置坐标横截面上的剪力和弯矩与截面位置坐标( (x x) )间的间的函数关系称为剪力方程和弯矩方程。函数关系称为剪力方程和弯矩方程。 用图线将剪力方程和弯用图线将剪力方程和弯矩方程表示出来矩方程表示出来, ,称为剪力图称为剪力图

7、和弯矩图。和弯矩图。)()(xMMxQQ 剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程三、剪力图和弯矩图三、剪力图和弯矩图例：列剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图例：列剪力方程和弯矩方程，并绘出剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程绘剪力图和弯矩图绘剪力图和弯矩图 2)(8120)0(2121)0(qllMMQqllQqlQlqABxlAFBF2qlFFBA解：解：求支座反力求支座反力2222)(2)(xqxqlxqxxFxMqxqlqxFxQAA（0，l )0,l2qlQ图图2qlM图图82qll2例：例： 试作简支梁的剪力图和弯矩图试作简支梁的剪力图和弯矩图分段列剪力方程和弯矩

8、方程222221111322)2()(32)(3)(3)(FxFllxFxFxMFFFxQxFxFxMFFxQAAAAl 2 , 0l 2 , 0ll 3 ,2ll 3 ,2画剪力图和弯矩图FFFFBA32,3 解：求支座反力FcABl2l1x2xAFBFM图图Fl32Q图图3F32F上题中列上题中列CBCB段段Q Q、M M方程也可取右段为研究对象方程也可取右段为研究对象)3()()32(32)(222xlFxMll,FFxQBB323222ll,FxFl 注意：注意： 集中外力作用处剪力集中外力作用处剪力图有突变，幅度等于力大图有突变，幅度等于力大小；类似地，集中力偶作小；类似地，集中力偶

9、作用处弯矩图有突变，幅度用处弯矩图有突变，幅度等于力偶矩大小。等于力偶矩大小。FcABl2l1x2xAFBFM图图Fl32Q图图3F32F例例 作梁的剪力图和弯矩图作梁的剪力图和弯矩图分段列剪力方程和弯矩方程分段列剪力方程和弯矩方程作剪力图核弯矩图（注意作剪力图核弯矩图（注意C C 处处M M图的突变）图的突变）lmFFBA3解：解：求支座反力求支座反力cABl2l1x2xAFBFm 下一页下一页上一页上一页Q图图lm3M图图m32m31)3(3)(3)(3)(3)(221111xllmxMlmxQxlmxMlmFxQAl , 0l ,0ll 3,l,3lM M图口诀：图口诀： 专题：专题：Q

10、 Q图、图、M M图画法口诀图画法口诀Q Q图口诀：图口诀： 无载梁段水平线无载梁段水平线 均载梁段连斜线均载梁段连斜线 力偶之处无影响力偶之处无影响 集中力处有突变集中力处有突变FF纯弯曲：纯弯曲：某段梁的内力只有某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如变形称为纯弯曲。如CDCD段。段。横力弯曲（剪切弯曲）：横力弯曲（剪切弯曲）：某某段梁上的内力既有弯矩又有段梁上的内力既有弯矩又有剪力。该段梁的变形称为横剪力。该段梁的变形称为横力弯曲。如力弯曲。如ACAC、DBDB段段。aaFFABCDQ图图M图图Fa第二节第二节 弯曲强度计算弯曲强度计算一、弯曲正

11、应力及分布规律一、弯曲正应力及分布规律1.1.基本概念基本概念 变形后横线仍保持变形后横线仍保持直线；纵线变成曲线，直线；纵线变成曲线，但仍与横线正交。但仍与横线正交。梁由无数纵向纤维组成，各层纤维无挤压作用，梁由无数纵向纤维组成，各层纤维无挤压作用，每条纤维只受拉伸或压缩。每条纤维只受拉伸或压缩。（2 2）假设：）假设：（1 1）变形现象分析）变形现象分析梁的横截面变形后仍为平面，只是发生了转动。梁的横截面变形后仍为平面，只是发生了转动。一、弯曲正应力及分布规律一、弯曲正应力及分布规律2.2.弯曲实验现象及分析弯曲实验现象及分析中性层：中性层：梁内既不伸长也不缩短的纤维层。梁内既不伸长也不缩

12、短的纤维层。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。 梁纯弯曲变形的梁纯弯曲变形的本质本质：各截面都产生了绕中性轴的转动。：各截面都产生了绕中性轴的转动。一、弯曲正应力及分布规律一、弯曲正应力及分布规律3.3.中性层和中性轴中性层和中性轴横截面上各点的正应力分布规律横截面上各点的正应力分布规律一、弯曲正应力及分布规律一、弯曲正应力及分布规律4.4.梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用 由正应力分布规律可知，对等截面直梁，梁的由正应力分布规律可知，对等截面直梁，梁的最大应力发生在最

13、大弯矩所在截面的上、下边缘处最大应力发生在最大弯矩所在截面的上、下边缘处。即强度条件为：即强度条件为： zWMmaxmax WZ称为称为弯曲截面系数弯曲截面系数, ,是衡量截面抗弯能力的一个几是衡量截面抗弯能力的一个几何量，其值只与截面的形状和尺寸有关。何量，其值只与截面的形状和尺寸有关。矩形矩形(高高h，宽，宽b)：Wz=bh2/6 圆形圆形： Wz= D3/32空心圆截面空心圆截面： Wz=D3 (1-a4)/32 例：木质简支梁，若跨度例：木质简支梁，若跨度l=4m，宽，宽b=160mm，高，高h=240mm，作用在梁上的均布载荷，作用在梁上的均布载荷q=5.5kN/m，许用，许用弯曲应

14、力弯曲应力=8MPa，校核梁的抗弯强度。，校核梁的抗弯强度。qABxl2qlQ图图2qlM图图82qll22qlFFBA解：解：求支座反力求支座反力Mmax=ql2/8=11KN.m弯曲截面系数弯曲截面系数 wz=bh2/6=1.54*106mm3zWMmaxmax=11*103*103/1.54*106=7.14MPa 因此，梁满足强度要求。因此，梁满足强度要求。1. 1. 合理布置载荷合理布置载荷+Fl125. 0FABl2l2Fl25. 0l6F5l6lFq lFl125. 0l4Fl4l4l4+Fl139. 0第三节第三节 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施一、减小最大弯矩一、减

15、小最大弯矩铣铣床床上上铣铣刀刀的的安安装装 2. 2. 合理布置支座合理布置支座2125. 0qlql0.2lql60.2lql2l22025. 0ql202. 0ql202. 0ql201750ql.203125. 0ql201750ql.ql3l3l32003. 0ql20110ql.20110ql.2003. 0ql2003. 0ql一、减小最大弯矩一、减小最大弯矩吊车与平板车吊车与平板车 吊车简图吊车简图 平板车过桥平板车过桥 1.1.不同形状截面的合理性不同形状截面的合理性与经济性，用与经济性，用WAWA的比的比值衡量。值衡量。 如：工字形、槽形截面如：工字形、槽形截面较合理，圆形截面最不合理；较合理，圆形截面最不合理；2.2.拉压等强度的塑性材料，应采用对称于中性轴的截面。拉压等强度的塑性材料，应采用对称于中性轴的截面。如如 矩形、工字形等；矩形、工字形等；拉压不等强度的脆性材料，应采拉压不等强度的脆性材料，应采用对中性轴不对称的截面，使中性轴靠近受拉一侧。用对中性轴不对称的截面，使中性轴靠近受拉一侧。如如 T T字字 形