(word完整版)考研数学一历年真题汇总2489222,推荐文档

1、x02009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1)当x 0时,f x(A)a 1,b(C)a 1,b(2)如图，正方形sin ax与g xx2ln 1bx等价无穷小，则Dkk 1,2,3,4(A)(B)(C)(D)I4(3)设函数则函数F x1616,lkx,(B)a1,bDkx在区间1,3上的图形为.)11xX(B)(D)(4)设有两个数列an,bn，若lim an0,则n(A)当bn收敛时，n 1nanbn收敛.(B)当bn发散时，n 1nan

2、bn发散.(C)当bn收敛时，anbn收敛.n 1n 1设a,a,a3是3维向量空间R3a?,aa3,a3a的过渡矩阵为101(A)220033111246111(C)-246111246(D)当bn发散时，ajb；发散n 1n 111的一组基，则由基a, a, %3到基23120(B)023103111222111(D)-444111666设A, B均为 2 阶矩阵,A*,B*分别为A, B的伴随矩阵 若A的伴随矩阵为(A)O*2A*3BO(C)O*2B*3AO2B(B)*3AOO2A(D)*O3B(7)设随机变量X的分布函数为F x 0.3 x 0.71，其中x为标准正态分布函数，则EX(

3、A)0(B)0.3(C)0.7(D)1(8)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N 0,1,Y的概率分布为1P Y 0 P Y 1，记FZz为随机变量Z XY的分布函数，则函数FZz的间断2点个数为(A)0(C)2(B)1(D)3、填空题(9-14 小题海小题 4 分,共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.)2, B3,则分块矩阵2(9) 设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z f x,xy，则一Z_.x y(10) 若二阶常系数线性齐次微分方程y ay by 0的通解为y G C2x ex,则非齐次方程y ay by x满足条件y 02, y 00的解为y _.(11) 已知

4、曲线L : y x20 xJ贝yLxds _.(12)设x,y, z x2y2z21，则_z2dxdydz.(13) 若 3 维列向量a,B满足aTB2,其中aT为a的转置，则矩阵B l的非零特征值为_ .(14)设X1,X2,L ,Xm为来自二项分布总体B n, p的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差 若X kS2为np2的无偏估计量，则k _三、解答题(15 -23 小题,共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分 9 分)求二元函数f (x, y)x22 y2y lny的极值(16) (本题满分 9 分)设an为曲线

5、y xn与y xn 1n 1,2,.所围成区域的面积，记San, S2a2n 1，求3与S的值.n 1n 1(17) (本题满分 11 分)2 2椭球面S是椭圆1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点4,0且与椭圆4331相切的直线绕x轴旋转而成(1)求$及S2的方程求3与S2之间的立体体积(18) (本题满分 11 分)(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f x在a,b上连续，在(a,b)可导 则存在a,b使得f b f a f证明：若函数f x在x0处连续，在0,0内可导，且lim f xx 0A,则f 0存在，且f0 A.(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分10 xdydzydzdx zd

6、xdy甘中3，甘中是曲面r2几222x 2y z4的2:22 oxy z2侧.(20)(本题满分11 分)11 11设A11 1,&104222(1)求满足A2&的$.A&的所有向量对中的任意向量&,&证明&,&2,&无关(21) (本题满分 11 分)设二次型f x1, x2, x3a#ax；a 1x；2x1x32x2X3.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值；2 2若二次型f的规范形为y2,求a的值.(22) (本题满分 11 分)袋中有 1 个红色球,2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z

7、分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数(1)求p X 1 Z 0(2)求二维随机变量X ,Y概率分布.(23) (本题满分 11 分)知,X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本(1)求参数的矩估计量.(2)求参数的最大似然估计量.设总体X的概率密度为f (x)2xxe ,x0,其他0,其中参数0)未n(4)Ximi1j1(n i)(n2j2)2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限limX2X(X a)(x b)(A)1(

8、B)ea b(C)ea(D)e设函数z z(x, y)由方程F(,-)X X0确定,其中F(A)X(C)X(B)z(D)z设m, n为正整数，则反常积分0竝护dx的收敛性(A)仅与m取值有关(C)与m, n取值都有关(B)仅与n取值有关(D)与m,n取值都无关1x(A)dx厂dy00(1 x)(1 y )1 x(B)0叭厂冇dy1 1(C)0dx0亍Ey1 1(D)0dx0(1 x)(1 y2)dy(A)秩(A)m,秩(B)(C)秩(A)n,秩(B)(A)011(C)；e2为概率密度，则a, b应满足(A)2a 3b 4(D)a b 2设A为m n型矩阵,B为nm型矩阵,若AB E,则设A为

9、4 阶对称矩阵且A20,若A的秩为 3,则A相似于(A)(C)(B)(7)设随机变量X的分布函数F (x)0121(D)1,则PX1=(8)设f/x)为标准正态分布的概率密度,f2(X)为1,3上均匀分布的概率密度，f(x)af1(x)|bf2(x)(a 0,b 0)x 0(B)秩(A) m,秩(B) n(D)秩(A) n,秩(B) n(B)1(D)1 e1(B)3a 2b 4(C)a b 1、填空题(9-14 小题海小题 4 分,共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.)2(10)0丘co/xdy=_(11)已知曲线L的方程为y 1 xx 1,1,起点是(1,0),终点是(1,0),则曲

10、线积分xydx x2dy=(12 )设( x, y,z) |x2y2z 1,则的形心的竖坐标z=(13)设a(1,2, 1,0)T,a(1,1,0,2)丁,a(2,1,1,)丁，若由a,a2,a形成的向量空间的维数是 2,则 =(14)设随机变量X概率分布为PX kC(k 0,1,2,L ),则EX2=_k!三、解答题(15 -23 小题,共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xex的通解.(16) (本题满分 10 分)x 2t2求函数f(x)1(x t)e dt的单调区间与极值(17)

11、 (本题满分 10 分)1 1(1)比较0In t l n(1 t)ndt与0tnI ntdt(n 1,2 ,L )的大小，说明理由1记UnIn t In(1t)ndt(n 1,2,L ),求极限lim un.0 x(18)(本题满分 10 分)求幕级数4 x2n的收敛域及和函数n 12n 1(19)(本题满分 10 分)yz 1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求(9)设x et, yt0叱u2)du,求需卜设P为椭球面S:x2y2z21 1a设A010 ,b1 ,已知线性方程组Ax b存在两个不同的解111(1)求，a.(2)求方程组，(21)(本题满分Ax b的通解.11 分)

12、设二次型f (x1,x2,x3) xTAx在正交变换x Qy下的标准形为y：y2,且Q的第三(1) 求A.(2) 证明AE为正定矩阵，其中E为 3 阶单位矩阵.(22) (本题满分 11 分)设 二 维 随 机 变 量(XY)的 概 率 密 度 为f(x,y) Ae2x 2xy y, x , y ,求常数及A条件概率密度fY|x(y |x).(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率分布为X123P122其中(0,1)未知，以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数3(i 1,2,3),试求常数a1, a2,a3,使TaiNi为 的无偏估计量，并求T的方差.i 12

13、011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合P点的轨迹C,并计算曲面积分IC上方的部分(20)(本题满分 11 分)(x巧)|y 2z,4 y2z24yzdS,其中是椭球面S位于曲线、填空题(9-14 小题海小题 4 分,共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.)题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)2341、曲线yx(x 1)(x2) (x 3) (x4)的拐点是()A( 1，0)B (2，0)C( 3 ，0)D( 4，0)A( 11B 11)C02)3、设函数f (x)具有二阶连

14、续的导数， 且f(x) 0.f (0)0。则函数z In f(x)f(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()Af(0)1 f (0)0Bf(0)1 f (0)0Cf(0)1 f (0)0Df(0)1 f (0)04、 设14In sin xdx J4In cot xdxK4In cosxdx，贝U IJ K的大小000关系疋()AI JKBIKJCJI KDKJ I5、设 A 为 3 阶矩阵，把 A 的第二列加到第一列得到矩阵B，再交换 B 的第二行与第 3 行得10 0100到单位阵 E,记 R11 0,P2001，贝UA=()00 1010AP1P2BP1P2CP2P1DP21

15、P16、设A(1 234)是 4 阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T是Ax0的一个基础解系,则A*x0的基础解系可为()A13B12C1 23D2347、设F1(x)F2(x)为两个分布函数，且连续函数fjx)f2(x)为相应的概率密度，则必为概率密度的是()&设随机变量X,Y相互独立，且EX,EY都存在，记U max X,Y V min X,Y，则EUV()AEU EVBEX EYCEU EYDEX EV二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。x9、曲线y tan tdt (0 x )的弧长为_2、设数列an单调减少

16、，且lim an0。Snn域为()a,无界，则幕级数an(x 1)n的收敛i 1n 1D(02Af1(x) f2(x)B2 f2(x)F-i(x)Cf,x)F2(x)Df,x)F2(x)+f2(x)R(x)三、解答题：1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤。10、微分方程ycosx满足条件y(0)0的解为11、设函数F(x, y)xy吧dt，则t12、设L是柱面方程x21与平面y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分:Lxzdxxdy2Zz213、若二次曲面的方程x23y22z 2axy 2xz 2yz 4，经正交

17、变换化为2y114、设二维随机变量(X,Y) N(,2 2 2,0)，则E(XY )15、(本题满分 10 分)1求极限兀(晋产16、(本题满分 9 分)设函数zf (xy, yg (x)，其中f具有二阶连续的偏导数，函数g(x)可导且在x 1处取得极值g(1)1.求2乙|x 1x yy 117、(本题满分 10 分)求方程k arctanx x18、(本题满分 10 分)0的不同实根的个数，其中k为参数。证明：对任意的正整数n，都有n 1ln(1 -)丄成立;n n1设an1一 .219、(本题满分 11 分)已知函数f (x, y)具有二阶连续的偏导数,ln n (n1,2)，证明数列an

18、收敛.且f(1,y)f(x,1)0, f (x, y)dxdy a，其D中D (x, y) |0 x 1,0 y 1计算二重积分xyfxy(x, y)dxdyD20、(本题满分11 分)设向量组1(1,0,1)T，2(0,1,1)T，(1,3,5)T不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4, a)T线性表示;符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1） 求 a 的值;（2）将1,2,3用1,2,3线性表示；21、（本题满分 11 分）111 1A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为2，且A 000 0-111 1求（1） A 的特征值与特征向量（2）矩阵 A

19、22、（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为X01P1/323Y-101P1/311313且P X2Y21求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布;（2）Z XY的概率分布（3）X 与 Y 的相关系数XY23、（本题满分 11 分）设X1,X2Xn是来自正态总体N（0,2）的简单随机样本，其中0已知，20未知.X,S2为样本均值和样本方差求（1）求参数2的最大似然估计2（2）计算 E2和 D22012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项(C)1?3，4(D)23，42x x(

20、1)曲线y笃渐近线的条数为()x 1(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数f(x) (ex1)(e2x2)L (enxn)，其中n为正整数，则f(0)n 1(A) ( 1) (n 1)!(B) ( 1)n(n 1)!(C) ( 1)n 1n!(D) ( 1)nn!(3)如果f (x, y)在0,0处连续，那么下列命题正确的是()(A)若极限lim-f(x,y)存在，则f (x,y)在(0,0)处可微:0|x| |y|(C)若f (x, y)在(0,0)处可微，则极限limf (x,y)存在:0|x| |y|f (x,y)在(0,0)处可微，则极限limx 0y 0kx2(4)设|kee(

21、A) l1 |2v|3.sinxdx(k=1,2,3),则有 D(B) I2 |2V |3.(C)I1 1311,(D) I1 I2 I3.001 1(5 )设10 ,21,31 ,41其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向C1C203C4量组线性相关的是()(A)1,2,3(B)1,2,4(B)右极限y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微yAM存在x y(D)若三、解答题：1523 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、(6) 设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且P1AP1Q12,2,3则Q AQ()1,2,3，1(A)212(C)121(B)1

22、22(D)21(7)设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为4 的指数分布，则p X()(A)15(B)3(Of(D)45三、解答题：1523 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、(8) 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为1 1(A) 1 (B) 2(C)2 (D)二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共P(ABC )(9)若函数f (x)满足方程f (x)f(x)2f(x)0及f (x) f (x) 2ef (x) =_0 x2x(10)x2dx(11)gradxy(2,1,1)(12)x, y, z x y

23、z 1,x0, y 0,z0 ,则y2ds(13) 设 X 为三维单位向量,E 为三阶单位xxT的秩为(14) 设代B,C是随机事件,A,C互不相容，P(AB)1 12，p(c)3则24 分，请将答案写在答题纸指定位置上（2）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax1 0 10 1 1 , AT为矩阵A的转置，已知r(ATA) 2,10 a且二次型f xTATAx。1 ）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分 10 分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示,X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3证明：21

24、xxx ln- cosx 1,1x11 x2证明过程或演算步骤（15）（本题满分 10 分）（本题满分(16)10 分)求f x, y xe2-的极值。b的通解。（21）（本题满分 10 分）三阶矩阵AXY0124P7121/301/12求：(1)P X 2Y;(2)COV X Y,Y与（23）（本题满分 11 分）设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N ,2与N ,22，其中 是未知参数且0,设Z X Y,（1）求z的概率密度f乙2设Z,Z2丄Zn为来自总体Z的简单随机样本，求22（3）证明 为的无偏估计量。2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析答案（D）解析：用洛必达法则2的最大

25、似然估计量1.已知极限00 x arcta n xxk其中 k, c 为常数，且c0,则（）A.k 2,c-2B.k2,cC.k 3,c3,c” x arctan x limx 01 lim-x 011 X2kxk11 x2k 1limx 0kxk(1 x2)Sm2) kx 0 xk 1因此2,12曲面x2cos(xy) yzx 0在点（0,1, 1）处的切平面方程为（A.xz 2B.xyz0C.x2yz 3D.x答案（A）解析：法向量n (Fx,Fy,Fz) (2x ysin(xy) 1, xsin(xy) z,y),n|(j, (1, 1,1)3.设f(x)1x 2，bn12 0 f (x

26、)sin n xdx(n1,2,L )，令S(x)n 1bnsinnx，则()3113A .-B.c.D.-4444答案(C)解析：根据题意，将函数在1,1展开成傅里叶级数(只含有正弦，不含余弦)，因此将函数进行奇延拓：1|x |,x (0,1)f(x)2，它的傅里叶级数为s(x)，它是以 2 为周期的，则当x ( 1,1)且f(x)1|x 2l,x ( 1,0)在x处连续时，s(x) f (x)。s(9) s(丄)s()444在D4外1 x20，所以I2L切平面的方程是:1(x 0) 1(y 1) 1(z 1)0，即x y z. 2 2. 24设L1: x y 1，L2: x2 2 2y 2

27、，2 22，L4：2Xy2为四条逆时针方向的平面曲线，记h33?(y召)dx (2x弓顾/631,2,3,4)，则max h, Jg, JA.I1B.I2c.I3DI4答案(D) 解析：由格林公式,Ii(1 x2q2y)dxdy2D1D4，在D4内1因此I1I4I222y(1 x )dxdyD22(1 x2D42ydxdy(1D2D422yx )dxdy2fG)I3(12)dxdy2.呀cos r sin(12r2cos2122r2sin2)rdrd2222213 12sin2 .132/2211/2. 2 ,1cosdr drdr dr2 4cos dsin d002000420422,1!

28、11 ,1!12114 -42! 2 422!24288Dr3x r cos22I4(1x1a120 06.矩阵a ba与0b 0相似的充分必要条件为（)1a100 0A.a0,b2B.a0,b为任意常数C.a2,b0D.a2,b为任意常数227. 设XnX2,X3是随机变量，且X1: N(0,1)，X2: N(0,2 )，X3: N (5,3 )，P?P 2 X12 (i 1,2,3)，则()A.P|P2P3B.F2P|P3C.P3F2P2DP|F3P28. 设随机变量X : t(n),Y : F(1,n)，给定a(0 a 0.5)，常数 c 满足P X c a，则P Yc2()(9)设函数

29、 y=f(x)由方程 y-x=ex(1-y)确定，则lim n f (丄)1=。n 0n (10)已知 y1=e3x-e2x, y2=ex-e2x,y3= -a= 三解答题：(15)(本题满分 10 分) 计算0垮dx，其中踊=：畀九解：使用分部积分法和换元积分法(16)(本题 10 分)设数列 an满足条件：a03,a-|1, an 2n(n 1)an0(n 2).S (x)是幂级数anxn的和函数.n 0(2)求S(x)的表达式.nn a“xn 1Ge%C2ex,；(x)dx0 x1一 一2f(x)d X 2 .xf (x) |；4ln(14ln 21ln(1 x)20dx0,x1护4ln

30、 2 4 dx 4ln 2 412f(x). xdx40ln(1 x)d xx).x|04：Xdln(1 x)1t2182dt 4ln 2 8 (101 t2012)dt 4ln1 t2 8(t1t0订2tdtarctant) |04ln 2 8 2(1)证明：Sn(x) S(x)0;(I)证明:由题意得(II) 解:nNXan+20,1,2,L2 ann2X0为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210,从而(18)(本题满分 10 分)设奇函数 f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明:(I)存在(0,1),使得 f ( ) 1.(n)存在(1,1),使得 f ( ) f

31、( )1.19.(本题满分 10 分)设直线 L 过 A( 1,0,0 ),B( 0,1,1)两点将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面， 与平面z 0, z 2所围成的立体为(1)(2)解：求曲面的方程; 求的形心坐标。(17)(本题满分 10 分)求函数f (x, y) (y3)ex啲极值.3解答：先求驻点，令213、x yfx(x y x )e313、x yfy(1 y x )e3o，解得为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数13、Xy x )e313、x yx )efxxfxyfyy在点因为(2x 2x2(x2(2(1,3)ex y2)处，Afxx(35e3,B fxy( 1,5e3,Cfyy(A 0, ACB2o,所以( 1,2亍)不是极值点。类似的，在点(1,4fxx(1, 3)13e3,B4fxy(1, 71e?,Cfyy(1,1e因为A 0, ACB2所以(1,4)是极小值点，极小值为f(1,第 20 题解：令C “ X2，则AC1aX1X2X1ax3x2ax410 X