【新高考题型】结构不良题型

1、新高考题型：结构不良题型三角+立几+解几+数列1. 在萌(方cosC-a)=csinB；2“+c=2bcos C；bsin A=(3asin 二一这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.在ZiABC中，内角A, B, C的对边分别为°, b, c,且满足, b = 2©g+c=4,求/ABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选择条件，由正弦定理可得羽(sin Bcos Csin A)=sin Csin B.ill sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin C,得一羽cos Bsin C=sin

2、Csin B.因为 OvCVjt,贝iJsinCHO,所以一羽cosB=sinB.(若 cos B=0,则 sin B = 0, sin2B+cos25=0.这与 sin2B+cos2B= 1 矛盾) 乂 cosBHO,所以 tan B= y3.X OvBv兀，所以3=寺由余弦定理及 b=2羽,(2a/3)2=a2+c22/ccos y,即 12=(a+c)2ac.将 “+c=4 代入，解得 ac=4.所以 SBC=2acsin B=3><4X专=羽若选择条件，由正弦定理，得2sin A + sin C=2sin Bcos C乂 sin A = sin(B+C) = sin Bco

3、s C+cos Bsin C、所以 2cos Bsin C+sin C=0.因为 CG(0, tt),所以 sinCHO,1?7T从而有cosB=-?.XBe(0, 7T),所以B=由余弦定理及 b=2j, W(23)2=a2+c22accos ?兀即 12=(a+c)2ac.将 a+c=4 代入，解得 tic=4. 11 羽 厂所以 S.MBc=2rtCsin =5X4X 2 =心若选择条件，由正弦定理，得厂71 Bsin Bsin A=yj3sin Asin -B由 0<4<7i,得 sin AHO,所以 sin B=3cos y,B bb由二倍角公式,得2sincos 2VC

4、OS y由0v聲v£,得cos号H0,所以sin £=爭，则号=专，即3=辛 由余弦定理及 b=2书,得(23)2=a2+c22accos y,即 12 = (“+c)2“c.将 a+c=4 代入,解得 ac=4.11/3 r所以 S.ABC=icsin BpX4X*=£.2. 在zMBC的面积S.wc=2,ZADC=-&两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC.2如图，在平面四边形ABCD中，ZABC=寸，ZBAC=ZCAD.2AB=4,求 AC（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）1Q解 选择：SABc=AB BC sin ZABC=X

5、2 BC sn所以 BC=2© 由余弦定理可得 AC2=AB2 + BC2 - 2ABBCcos ZABC = 4 + 8 - 2X2X2 x(¥) = 20,所以 AC=2y5.AB选择：设ZBAC=ZCAD=0,则 Ov0好 ZBCA=d9AC在ABC 屮，sin ZABCsin ZBCA9sin ZADC=sin ZCAD9 即一二帀歹sin»_0 丿CD DM AC 4sin6乂 OvOvf,所以 sin0=¥，2所以 AC=-=2y5.3. 已知a, b, c分别为AABC内角A, B, C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：乎=熬普

6、；cos"+2cos弓=1；心晶 ®b=22.(1) 满足有解三角形的序号组合有哪些？(2) 在(1)所有组合中任选一组，并求对应/XABC的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)由 cos 4= 2 ?可得丁vv兀.A1由 cos 2A+2cos25= 1,得(2cos A l)(cos A+ 1)=0,解得 cos A=z.乂 A丘(0,兀),可得A=扌.可得不能同时出现作为条件.满足有解三角形的序号组合有，.取.由正弦定理，得选=若，解得sin 5=1.VBe(0, 7T), ：.B=.c=迄，ABC的面积S=*X&X=羽.4. （2020-

7、北京一模）在条件（« + Z?）（sin A - sin B） = （c b）sin C, asin B = bcos（A+彳），/?sin «sin B中任选一个，补充到横线上，并解答问题. 在ZXA3C中，内角儿B, C的对边分别为心4 g b+c=6, a = 2心,.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 解若选：由正弦定理,得(a+b)(a b) = (cb)c,即 b2+c1a1=bc9所以cos A =沪+。22b因为 AG(0, 7U),所以 A=j.因为 a2=b2-c2bc=(<b+c)23bcf a=2&, b+c=6,所以

8、bc=4, 所以 S,M8c=*bcsin A=X4Xsin £=书.若选： 山止弓玄定理，得sin Asin 3 = sin Bcos（ A +彳）因为 0<B5,所以 sinBHO,所以 sin A=cos(A+|, 化简得 sin A=£cos Agsin A,所以 tan A =鲁. 因为0<4<7t,所以人=彳.ji(b+c)'cr (2/6) 22+也乂因为 a2=b2+c22bccos 石，所以 bc=齐于=_尸，即 be=24-12点所以 Su8c=gbcsin A=*X(24 12回X* =633.若选：由正弦定理,丿口B + C

9、得 sin Bsin ? sin Asin B因为 OvBVjt,B + C所以 sin BHO,所以 sin ? sin A.乂因为 B+C=n-A. 所以cos弓=2sin弓cos弓.所以sin所以弓耳，所以A=j.又 a2=b2+c2bc=(b+c)23bc, a=2&, b+c=6,所以 bc=4, 所以 5aabc=csin AX 4 X sin £=羽.的图象，g的图象关于原点对称；向量加=(羽sin cox, cos 2cox), w =cox,尹 cy>0, f(x)=tn-n；函数/(x)=cos exsin处+&|&(0>0)这

10、三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知,函数/(X)的图象相邻两条对称轴之间的距离为?若Ov0v号，且sin 0=爭，求夬0)的值；求函数/在0, 2可上的单调递减区间.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选条件.曲题意可知，最小正周期乂函数g(x)的图象关于原点对称，卩=加+彳，kWZ.(l)T0v&v号，sin =2f (2川l£+2R兀冬21+?冬討+2刼，比丘乙 解得+竝WxW彳兀+£兀，kWZ、令 £=0,令 k=,：函数/在0, 2兀上的单调递减区间为£,討，仏I71他，£,方案二：选条件.

11、Vw = （/3sin cox, cos 2cox）, n =几¥）/i-w 2 _lfj3 =m sin 2coxsin coxcos ex+£cos 2cox2° J=*sin（2°x+?）,9 jr又最小正周期r= = 7T, ：.C0=,/W=*sin（2x+?）.（1）T Ov&v号，sin =29 * 0=歩 7（&）=詹）=轨|n =爭.（2）|l 1号+2竝W2t+?W初:+2加，R丘乙 解得+R兀WxW壬兀+R兀，kWZ,令kf,令 k=,：函数/(x)在0, 2刃上的单调递减区间为?，討，仏孑方案三：选条件. f(x)

12、=cos(yxsin(ox+劭-壬兀，.71=cos4sincosf+cossin-|一 6 I（Z/A11 6_适,1 .1ysin coxcos x十 3COS9X二J3 , 1=sin 2c9%+jcos 2cox1陞.°=空| N"sm 2ojx2cox=gsin（2°x+彳）,9 yr又最小正周期r=K,/W=*sin(2i+m.(1) TOv0vsin2 : "=?7(4)|sin 知=零兀兀 3(2) 由£+2MW2y+?W莎+2炕圧乙JT7tt解得&+竝£6+£兀，REZ, 令 k=0,得?Wxw|t

13、u,令k= 1,得召0冬|兀,二函数/(x)在0, 2兀上的单调递减区间为”,卵耳兀，討.6.(2020-湖北四地七校联考)如图，已知等边ABC的边长为3,点M, N分别 是边AB, AC上的点，且BM=2MA, AN=2NC如图，将ZVIMN沿MN折起到 WMN的位置.(1) 求证：平面AEW丄平面BCNM；(2) 给出三个条件：/VM丄BC：二面角/TMNC的大小为60。； ®A'B=yp. 在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.在线段BC上是否存在一点P,使直线PT与平面所成角的正弦值为響？ 若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.(注：如果选择多

14、个条件分别解答，按第一个解答计分)证明 由已知得AM= 1, AN=2, ZA=60。，MN丄AB, :.MN丄AM, MN丄MB.高中数学资料共享群734924357乂MBQ/TM=M,:MN丄平面A'BM.乂 MMz平面BCNM,平面A'BM丄平面BCNM.解 方案一：选条件丄BC,由得/TM丄MM BC和MN是两条相交直线，:.AfM丄平面BCNM.:.MB, MM M/V两两垂直，以M为坐标原点，MB,MN, M/V所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系M小z,则 4(0, 0, 1),设 p(2a,岳，0),其中 0v“W，则AT=(2-(b 収,

15、一1).易得平面A'BM的一个法向量为“=(0,1, 0).设直线PT与平面AEM所成的角为0,则八， k 、|书 a3VT5SinICOS Z “J (2r)讦3沖+广 10解得 a=6±>|,不存在点P满足条件.方案二：选条件二面角A'-MN-C的大小为60°,由得ZAMB就是二面角A'-MN-C的平面角， ZA,MB=60°.过川作AO丄BM,垂足为O,连接OC,则40丄平面BCNM.经计算可得0A，=誓,OM=£, OB=|,而BC=3,OB丄OC.：OB, OC,两两垂直，.以0为坐标原点，OB, OC, OA，所

16、在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系0小乙则 ao, 0,誓)，设彳|书°),其中0<穴|,则ArP = a, 3a, 易得平面ABM的一个法向量为 =（0, 1, 0）.设直线QT与平面所成的角为4则解得"=|或。=3（舍却,存在点P满足条件，这时PB = 3.方案三：选条件AX®在厶中,山余弦定理得cos ZArMB=AfM2+MB2-AfB2 1 +4-72AMMB _2X1X2:.ZAfMB=20°.过4作40丄BM,垂足为0,则AO丄平面BCNM以O为坐标原点，03, O/V所在直线分别为兀轴，z轴建立空间直角坐标系（

17、图略）,则 ao, 0,芈），设 H|d，书a，o），其中 Ov°w|,则ArP=a,羽a, _¥）易得平面的一个法向量为 =（0, 1, 0）.设直线PV与平面AfBM所成的角为0,不存在点P满足条件.7在qd=X血+加=0,52 = r2这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，若问题中的a存在，求出久的取值范围；若不存在，说明理由.若S“是公差为d的等差数列"”的前77项和，7；是公比为q的等比数列切的前 "项和，5 = 1, 55 = 25, u2=b29是否存在正整数孟 使得21几1<12?（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

18、）解$ = 25 = 5知心=5,高中数学资料共享群734924357 匕1+。31+5<2=二=二-=3,/ “2 = 02 = 3 d=aia = 3 1 =2.若选：* qd= 1,"=占=*,bi=3X2 = 6,由XTn<l2得久v2, 乂 2>0,存在正整数2=1,使得2IT.K12.若选：V«2+/=0,方3="2=3,§=一1,价=一3, 当为偶数时，Tn=Qt则2>0；当n为奇数时，八=一3,由kTn<2得；<4.综上，存在正整数1=1, 2, 3,使得刀GK12.若选：由 Si=T2 得 bi =a

19、-a2bi = 1 +3 3= 1,b->尸厉=3,. l-3n 3"1T尸_3=刁_乞 山指数函数的性质可知7；无最大值,不存在正整数人,使得 m<2.&在2S“ = 3”+i3；如i = 2"“+3, 5 = 1这两个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并解答问题.设数列"“的前“项和为必，若, bn=, nGNs,求数列仇的最大值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解 若选择条件，2S” = 3"+i3, 2S"+i = 3"+23,则 2S“+i-2S“=3"+2-3“h,即2如1

20、=33丹_3"“=23 ：伽+1=3" 1 如= 3",2n62n6 口 2,3“:.bn=易知当 2n-6>0 时，n>3.Cln242X2舁=4 I1J ,加=亍：n = 5 旳，b5=¥=4x 3<拥，2 ?当料=4时，数列伽的最大值加=爭=乔若选择条件，伽+1=2如+3,如+1 + 3 = 2如+6 = 2(如+3),2X2a | 3若选择条件，设等比数列"”的公比为？，由2+"2=(得 2+?=，所以q = 2或§= 一 1(舍).由(1 )得(2“ + 2)q2 一 (2“+5)g + 1 =

21、0,即(2n + 2)X4(2“+5)X2+l=0不成立，所以/不存在.若选择条件，设等差数列/的公差为，由2尙+“2=心得2血=, 所以 Sn=ndi,则 2nSn+ (2n+5)S”+Sn =(i =rci.所以r=l.若选择条件，由得('2=(4所以如=(6厂)创. 当 n=2 时，由得 6a49a3+a2=0,因为 «47«i, 所以42如一9(6讪+(4加 =0,解得r=l.10.已知等差数列如的前n项和为S“，b“是各项均为正数的等比数列，小=加, ，b2 = S,仞一3加=4,是否存在正整数匕使得数列土啲前k项和7；>寻若存在，求出k的最小值；若

22、不存在，请说明理由.从©54=20,S3=2d3,3的一心=加这三个条件中任选一个，填到上面横线上 并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)QQ解 设等比数列%的公比为q(q>0),则臥=才 加= 8q,于是”一3X& = 4, 即6g2+q2=0,解得q=或q= 一|(舍去).高中数学资料共享群734924357 设等差数列如的公差为d.若选，则 ai=b4=2, S4=4e+亍p/=20,解得 d=2.料5 1)«所以 Sn = 2n+5X2=n2+n,则討1口 5+1)于是厲=£+占+*令1解得A>15.因为k为正整数，

23、所以k的最小值为16.若选，则如=加=2, S3 = 3d+=刁=2(山+ 2心 解得d=2.下同.4若选,则山=加=2, 3+2J)-(ai+3J)=8,解得=亍 所以S“=2"+"；L-X扌詡2+务,高中数学资料共享群734924357 州丄_冬一!_準_丄Sn2Xn 5+2) 一也 + 2丿+ +于是7HO-+(”)1_址一1 k+_3f , 1_!|_9_3 _1_4(2 £+1£+2丿一§ 4+1 ' k+2z 15 ZQ 1,11令5'得E+IT尹T注意到k为正整数，解得所以R的最小值为7.11.在如如+1 = 2&

24、quot;一1,Sn=kanfSn=an-n2 ln+k这三个条件中任选一 个，补充至横线上.若问题中的正整数加存在，求出加的值；若加不存在，请说 明理由.已知数列歸中4 = 1,其前“项和为S“，且,是否存在正整数m,使得Smt Sm+1, Sjjj+2构成等差数列?(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选择条件伽如+i =2，" J，则 如1如2=2"! *. 两式相除得到竽=4.(In所以数列"”的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列.因为5 = 1,所以03 = 4.因为"102 = 2,所以化=2.因此5, "2

25、,如成等比数列.故数列"”是等比数列，且公比为2,所以為=21所以 SET,则 Sm=2加一 1, 5w+1=2m+I-l,弘+2=2肚2_i.=0,此方程无解.所以不存在正整数加，使得$”，Sz $“+2构成等差数列. 若选择条件S“ = kan.13因为4 = 1，所以l=k一仝则k=$3 |所以s“=矜一乞31当，心2时，S-i=j如一空两式相减，/33得 Qn = Cln -1 于是 =3,所以数列如是首项为1,公比为3的等比数列. 伽一 1因此如=3旷】，必=細'一1）高中数学资料共享群734924357 所以S产細_1）,亦=*3曲_1）, $”+2=*（3沪21

26、）.汁2_1）若S加Sm+1，Sm+2构成等差数列,则 2扌（3"旳_1）=*整理，得4 X3=0,此方程无解，所以不存在正整数加，使得S,“，St，S叶2构成等差数列.若选择条件Sn=an+n2 2n+k.因为6/i = l,所以1 = 1 + 12+匕则k=,因此 Sn=Qn+tr 2n + 1 当 时，S/r_i=如-1 + （“一 I）' 2（”一 1）+1.两式相减，得an = dn an- + 2“ 一3 于是如-1 = 2/2 3,所以an=2nl.当”=1时,«i=2Xl 1 = 1,成立于是数列 “”是等差数列，且Sn=n2.若Sm，Sm+lf S

27、m+2构成等差数列,则2（加+1）2=亦+（加+2）2,此方程无解，所以不存在正整数加,使得S,” S"沖, S叶2构成等差数列.12在平面直角坐标系xOy中： 已知点A速,0),直线/：尤=攀，动点P满足到点人的距离与到直线/的距 离之比为¥； 已知圆C的方程为疋+护=4,直线/为圆C的切线，记点A(羽，0), B(-百,0)到直线/的距离分别为2，动点P满足1加=山，1阳=心；2 1 点S, T分别在X轴，y轴上运动，且IS71 = 3,动点P满足OP=OS+OT.(1) 在，这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(

28、2) 记(1)中的轨迹为E,经过点D(l, 0)的直线交E于M, N两点，若线段M/V 的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.解(1)若选：4羽2 A 37(兀_羽)2+尸羽设P(x, >-)，根据题意，整理，得于+h=l.所以动点P的轨迹方程为才+尸=1.若选：设P(x, y),直线/与圆相切于点H,则 PA I + PB=d+ ch=210/71=4>2羽= AB.山椭圆的定义，知点P的轨迹是以A, 3为焦点的椭圆.所以 2“=4, 2c=L4BI = 2迈，故"=2, c3, b= 1.所以动点P的轨迹方程为吕+尸=1.若选：设 P(x, y), S

29、(x 0), T(0,则p （疋）？+ <y）2=3（*）.2 ? I尸尹因为OP=OS+OT,所以1）=沪_,_3 整理,得"_另，J'=3y, 代入（*）得召+b=i. 所以动点P的轨迹方程为吕+尸=1 法一 设Q（o,），o）,当直线r的斜率不存在时，yo=O. 当直线的斜率存在时，若斜率为0,则线段MN的垂直平分线与），轴重合，不合 题意,所以设直线的方程为y=g-l）（RH0）, M（xi，yi）, Ng yi）.y=k （x1）,联立得方程组疋才+护=1,消去y并整理，得（1+4疋）疋一8疋兀+4伙21）=0,则丿>0恒成立，且X1+X2= +护高中数

30、学资料共享群734924357设线段MN的中点为G（X3,屮），mil xi +x24k2则二帀0力=心一1）=k1+4疋所以线段MN的垂直平分线的方程为,k If 4Qy十it乔=_疋_匸莎丿，令 x=0, 1严当展0时，f+4kW4,当且仅当k=i取等号,3所以一Wy（）vO；当40时，+4Q4,当且仅当时取等号，所以OvyoW扌.r 3 31综上所述，点。纵坐标的取值范围是|_一牙，4 -法二 设Q（0, yo）,山题意，得直线的斜率不为0,设直线的方程为+1.若 加=0,则yo = O.高中数学资料共享群734924357当加H0 时，设 Mx, yi）, Ng,户），x=my+1,联立得方程组w j+r=i-消去X并整理，得（加2+4）护+2加y_3=0, 则zf>0恒成立，且），|+），2=册±.设线