(完整)圆与相似三角形、三角函数专题(含答案),推荐文档

1、圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合2.如图，在 RtAABC 中，/ ACB = 90以 AC 为直径的OO 与 AB 边交于点 D，过点 D 作OO的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC 的中点；求证：BC2= BD-BA ;(3)当以点 O, D , E, C 为顶点的四边形是正方形时，求证：ABC 是等腰直角三角形.解：(1)连结 OD,vDE 为切线， / EDC +ZODC=90 ./ACB=90,ECD+ ZOCD=90又vOD=OC， /ODC= ZOCD,/EDC =ZECD , ED = EC.vAC 为直径， / A

2、DC = 90,./ BDE +ZEDC = 90,/ B+ ZECD=90, /B= /BDE, ED=EB, EB = EC,即点 E 为边 BC 的中点(2)vAC 为直径，/ ADC = / ACB = 90 又v/B =/ B, ABC CBD , ABBC=BCBD , BC2 = BD?BA当四边形 ODEC 为正方形时，/ OCD = 45 .vAC 为直径，/ ADC = 90, / CAD =90 -/1 如图， BC 是OA 的直径， DBE 的各个顶点均在O=BC-BF.A 上，BF 丄 DE 于点 F.求证：BD-BEBE C-2 -OCD = 90- 45= 45

3、, Rt ABC 为等腰直角三角形-3 -类型二：圆与解直角三角形的综合3.如图，在 ABC 中，以 AC 为直径作OO 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G,且 D 是 BC 的 中点，DE 丄 AB，垂足为点 E，交 AC 的延长线于点 F.(1) 求证：直线 EF 是OO 的切线；已知 CF = 5, cosA = 25,求 BE 的长.解：连结OD.TCD = DB , CO = OA ,AOD 是厶 ABC 的中位线， OD/ AB , AB = 2OD. / DE 丄 AB ,ADE 丄 OD，即 OD 丄EF,A直线 EF是OO 的切线(2) / OD / AB，/ COD =

4、ZA , cos/ COD = cosA = 25.在 Rt DOF中，V/ODF = 90, cos/ FOD = ODOF = 25.设OO 的半径 为 r，贝 U rr+ 5= 25，解得 r =103,AAB = 2OD = AC = 203.在 RtAEF 中，v/AEF=90,AcosA=AEAF=AE5+203=25,AAE=143, BE = AB AE = 203- 143 = 24. (2015 资阳)如图，在 ABC 中，BC 是以 AB 为直径的OO 的切线，且OO 与 AC 相交于点 D , E 为 BC 的中点，连结 DE.(1)求证：DE是OO 的切线；连结 AE

5、，若/ C= 45 ,求 sin / CAE 的值.解： 连结 OD , BD ,VOD = OB， / ODB =/ OBD. / AB 是直径，/ ADB = 90, / CDB = 90 .VE 为 BC 的中点， DE= BE，/ EDB =/ EBD，/ ODB +/ EDB = / OBD + / EBD，即/ EDO = / EBO.VBC 是以 AB 为直径的OO 的 切线， AB 丄 BC，/ EBO = 90, / ODE =90,ADE 是OO 的切线过点 E 作 EF CD 于点 F,设 EF = x,V/C= 45,仏CEF, ABC 都是等腰直角三角形， CF= E

6、F = x, BE = CE =2x, AB = BC = 22x.在RtAABE 中，AE = AB2 + BE2 = 10 x, sin / CAE = EFAE = 10105.如图， ABC 内接于OO,直径 BD 交 AC 于点 E,过点 O 作 FG 丄 AB，交 AC 于点 F,交 AB 于点 H，交OO 于点 G.(1) 求证：OF -DE = OE-2OH ;(2) 若OO 的半径为 12,且 OE ： OF : OD = 2 : 3 : 6，求阴影部分的面积.(结果保留根号)解：VBD 是直径，/ DAB = 90 .VFG 丄 AB , DA / FO, FOEADE ,

7、 FOAD = OEDE，即 OF?DE = OE?AD.VO 是 BD的中点，DA / OH , AD = 2OH , OF?DE = OE?2OHVOO 的半径为 12，且 OE : OF : OD = 2 : 3 :6,AOE= 4, ED = 8, OF= 6, OH = 6在 Rt OBH 中，OB = 2OH，/ OBH=30，/ BOH =60,ABH = BO?sin60 = 12X32 =63,AS 阴影=S 扇形 GOB S!丿N-4 -OHB=60XnX12236012X6X63=24n 183-5 -类型三：圆与二次函数的综合6.如图，在平面直角坐标系中，已知 A( 4

8、, 0), B(1 , 0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0, 2)，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A , B, C 三点的抛物线的解析式；求点 D 的坐标；设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E, F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由.解： y = 12x2 32x + 2(2) 以 AB 为直径的圆的圆心坐标为0 ( 32,0),二 O C = 52 , 0 0 = 32.vCD 为圆 0 的 切线， OC 丄 CD,/ OCO+ZDC0=90 又vZCO 0+ZO CO =

9、 90,.ZCOO =ZDCO，二 O COsCDO , O OOC= OCOD , 322= 20D , OD = 83，点 D 的坐标为(83, 0)(3) 存在.抛物线的对称轴为直线 x= 32,设满足条件的圆的半径为|r|,则点 E 的坐标为(一 32 + r, r)或 F( 32 r, r)，而点 E 在抛物线 y=12x2 32x + 2 上， r = 12( 32 + |r|)2 32( 32 + |r|)+ 2, r1 = 1 + 292, r2=1292(舍去).故存在以线段 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切，该圆的半径为一 1 + 2927.如图，抛物线 y = ax2

10、+ bx 3 与 x 轴交于 A , B 两点，与 y 轴交于点 C,经过 A , B , C 三点的圆的圆心 M(1 , m)恰好在此抛物线的对称轴上，OM 的半径为设OM 与 y 轴交于点 D,抛物线的顶点为 E.(1) 求 m 的值及抛物线的解析式；设ZDBC =a,ZCBE = 3,求 sin( 3的值；(3)探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以 P , A , C 为顶点的 三角形与厶 BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直 接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意，可知 C(0 , 3) , b2a= 1，抛物线的解析式为 y= ax2 2ax 3(a

11、0).过点 M 作 MN 丄 y 轴于点 N 连结 CM ,贝 U MN = 1 , CM = 5 , CN = 2,于是 m= 1. 同理，可求得 B(3 , 0) , ax32 2ax3 3= 0,解得 a=1. 抛物线的解析式为 y = x2 2x 3(2) 由(1)得，A( 1 , 0) , E(1 , 4) , D(0 , 1) , BCE 为直角三角形，BC = 32 , CE =2 , OBOD = 31 = 3 , BCCE = 322= 3, OBOD = BCCE ,即 OBBC = ODCE , Rt BODsRtABCE,得ZCBE= ZOBD=3,因此 sin(a 3)=sin(ZDBCZOBD)=sinZOBC=COBC = 22显然 Rt COAsRt BCE ,此时点 0(0, 0).过点 A 作 AP2 丄 AC 交 y 轴的正