专题五第1讲空间几何体

1、.2.考查空间几何体的侧面第 1 讲 空间几何体 考情解读 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 展开图及简单的组合体问题1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2空间几何体的三视图(1) 三视图的正 (主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、 正左方、 正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形(2) 三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右 面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3) 画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高看不到的线画虚线 3直观图的斜二测画法空间几

2、何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：(1)原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直，直观图中， x轴、 y轴的夹角为 45°(或 135 °)，z 轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4空间几何体的两组常用公式（1）柱体、锥体、台体的侧面积公式： S柱侧ch（c为底面周长， h为高 ）；1 S锥侧2ch（c 为底面周长， h为斜高 ）；1 S台侧2（cc）h（c，c 分别为上，下底面的周长， h为斜高 ）； S 球表4

3、R2（R 为球的半径 ）（2）柱体、锥体和球的体积公式： V 柱体 Sh（S 为底面面积， h 为高 ） ；1 V 锥体3Sh（ S为底面面积， h 为高 ）；1 V 台3（S SS S ）h（不要求记忆 ）； V 球 34R3.热点一 三视图与直观图例1)8A.3B832C.3D16（2）（2013 四·川 ）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破答案 (1)B (2)D解析 (1) 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：1则该几何体的体积 V12×2&#

4、215; 2×48.(2)由俯视图易知答案为 D.思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征， 调整实线和虚线所对应的棱、 面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果(1)(2013 ·课标全国 )一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 (2)将长方

5、体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案 (1)A (2)D解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C1 A1DB，标出各个点的坐标如图 (1)所示，可以看出正视图为正方形，如图 (2) 所示故选 A.(2)如图所示，点 D1的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A的投影为 B，故选 D.(2)如图，在棱长为6的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别在C1D1与 C1B1 上，且 C1E热点二 几何体的表面积与体积例 2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 2C.34，C1F3，连接 EF， FB， DE ，则几何体 EFC

6、1DBC 的体积为 ( )B68D72A66C70思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状； (2)对几何体进行分割答案 (1)D (2)A1 2 2 解析 (1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，V(31××12)×232.33(2)如图，连接 DF ， DC 1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥 D想3D2()A. 23 B 3 C. 32 D1 1 1 1EFC1及四棱锥 DCBFC1，那么几何体 EFC1DBC 的体积为 V13×12×3×4×631×21×(36)×6

7、×6125466.故所求几何体 EFC1 DBC 的体积为 66.思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握1由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1 12× 2× 22，高为 2，所以体积为 V14，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V12×13×2× 1×238，所以多面体的体积33为 V83 4230，选 D.热点三 多面体与球角线 BD 折成四面体 ABCD ，使平面 ABD平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 ( )思维启迪 要

8、求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于 BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到 B，C，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可应用三视图的 “长对正、高平齐、宽相等 ” ；(2)求不规则几何体的体积，常用割补”的思其正视图和侧视图如图，多面体 MN ABCD 的底面 ABCD 为矩形，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是16 3 A. 3B.86 316C.13620D.230答案解析过 M，N 分别作两个垂直于底面的截

9、面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，例 3 如图所示，平面四边形ABCD 中， AB AD CD 1， BD 2，BDCD，将其沿对答案 A解析 如图，取 BD 的中点 E， BC 的中点 O，连接 AE，OD ，EO，AO.由题意，知 AB AD，所以 AEBD.由于平面 ABD 平面 BCD，AE BD， 所以 AE平面 BCD.因为 ABADCD1，BD 2，所以 AE 2，EO 1.22所以 OA 23.在 Rt BDC 中， OBOCOD21BC 23， 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为 23. 所以该球的体积 V 34( 23)3 23.故选 A.思维升华

10、多面体与球接、切问题求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点 )或线作截面， 把空间问题转化为平面问题， 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径 )与该几何体已知量的关系，列方程 (组 )求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa， PB b，PCc，一般把有关元素 “补形 ”成为一个球内接长方体，则 4R2a2b2c2 求解(1)(2014 湖·南 )一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、

11、 打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )错误！未找到引用源。A 1B 2C3D 4(2)一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三 角形，则该几何体的体积是 ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 1答案 (1)B (2)3 33解析 （1） 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知， 当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时， 该球的1半径最大，故其半径 r21× （6 810） 2.因此选 B.（2）由三视图可知，该几何体是四棱锥 PABCD（如图），其中底面 ABCD 是边长为 1的

12、正方形，PA底面 ABCD，且PA1，该四棱锥的体积为 V13×1×1×131.又 PC为其外接球的直径，2R PC 31空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积， 是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积 就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和 2在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量（球除外 ），因此体积计算中的关键一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截 面3一些不规则的几何体， 求其体积多采用分割或

13、补形的方法， 从而转化为规则的几何体， 而 补形又分为对称补形 （ 即某些不规则的几何体， 若存在对称性， 则可考虑用对称的方法进行补 形 ）、还原补形 （即还台为锥 ）和联系补形 （某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求 解）4长方体的外接球（1）长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即 a2b2c22R；（2）棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a2R.真题感悟1（2014 北·京 ）在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A（2,0,0），B（2

14、,2,0），C（0,2,0），D（1,1， 2）若 S1，S2，S3分别是三棱锥 DABC 在 xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积， 则（）AS1S2 S3C S3 S1 且 S3S2BS2S1 且 S2 S3D S3 S2 且 S3 S1答案 D解析 如图所示， ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影， 所以 1S1 2×2× 2 2.三棱锥在坐标平面 yOz上的正投影与 DEF（E，F 分别为 OA，BC 的 中点 ）全等，1所以 S212× 2× 2 2.三棱锥在坐标平面 xOz上的正投影与 DGH （G， H 分别为 AB

15、，OC 的中点）全等，1所以 S312× 2× 2 2.所以 S2S3 且 S1 S3.故选 D.2（2014 ·江苏 ）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且 S19，则 V1的值是 S2 4V2答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和 h1，h2，由 SS1294，9212r得3由圆柱的侧面积相等，得 2r 1h1 2r2h2，即 r1h1r2h2，则 h1h223，所以VV1V2r 21h1r2h23.2.押题精练1把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，连接 AC，得到三棱锥

16、 C ABD，其正视 图、俯视图均为全等的等腰直角三角形（如图所示 ），则其侧视图的面积为 （ ）一、选择题()1已知正三棱锥 VABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为A2C6 答案 CB4D8解析 如图，作出正三棱锥 VABC 的直观图，取 BC 边的中点 D，连接 VD，AD ，作 VOAD 于 O.结合题意，可知正视图实际上就是 VAD，于是三棱锥的棱长 VA4，从俯视图 中可以得到底面边长为 2 3，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为 2 3，高为棱锥的高 VO.由于 VO42 23× 2 3× 23 22 3.于是侧视图的面积为 21

17、× 2 3×2 3 6，故选 C.2右图是棱长为 2 的正方体的表面展开图， 的体积为 ( )A22B.23则多面体 ABCDE48答案 D解析 多面体 ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V 44338，选 D.3如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，()侧视图是平行四边形， 则该几何体的体积为A 15 3 3C30 6 3 答案 BB 9 3D 18 3解析 由三视图知几何体是一个底面为 3的正方形，高为 3的斜四棱柱，所以 V Sh3× 3× 39 3.4已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧 (左 )视图如图所示当正 (主 )视图的面积最大时

18、，该正四棱锥的表面积为 ( )A8BC 8 2D8 8 24 8 2答案 B解析 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h，则 a2 h2 4.故其主视图的面积为S 21·2a·haha 2h 2，即当 ah 2时， S最大，此时该正四棱锥的表面积S 表 (2a)24× 12× 2a×28 8 2，故选 B.5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1的半圆，该几何体的体积为 ( )A. 33 B. 63 C. 23 D. 3362答案 A解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴

19、截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对 接的图形，圆锥的底面半径为 1，母线长为 2，故圆锥的高为 h 2212 3.易知该几何体 的体积就是整个圆锥的体积，即 V 圆锥13r 2 h 31× 12× 3 33故.选 A.3 3 36 （2014 ·大纲全国 ）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为 （ ）81A. 4 B16 C927D. 4答案 A解析 如图，设球心为 O，半径为 r， 则 Rt AOF 中， （4r）2（ 2）2r2，9解得 r9，4该球的表面积为 4r24×（9）28144二、填空

20、题7有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯答案2 22解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E， 则在 RtABE 中， AB1，ABE45°，BE 2.而四边形 AECD 为矩形， AD1，2 ECAD1，BCBEEC 1.2由此可还原原图形如图在原图形中， AD1， ABADBC，AB BC，1 这块菜地的面积为 S12（ADBC12221×（11 22）× 2 2 22.8如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 VABC 中， AVB BVC CVA 40°，过 A 作截面AEF，则截面AEF 的周长的最小值为

21、形（如图所示 ），ABC45°，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为答案 6解析 沿着侧棱 VA把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图 则 AA即为截面 AEF 周长的最小值，且 AVA 3×40°120°. 在VAA 中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6. 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1 EDF 的体积为 1答案 161解析 VD1 EDF VF DD1E 3S D1DE AB31×1×1×1×113210已知矩形

22、ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把 ACD 折起，则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积等于 解析 设矩形的两邻边长度分别为答案 16a， b，则 ab8，此时 2a2b4 ab8 2，当且仅当 ab 2 2时等号成立， 此时四边形 ABCD 为正方形， 其中心到四个顶点的距离相等， 均为 2， 无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2 的球面上，这个球的表面积是 4× 22 16.三、解答题正视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形11已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的侧面积 S.解 由