2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷)

1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国2 卷）文科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用2b 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共

2、12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 （5 分）已知集合ax| x 1，bx| x 2，则 ab（）a （ 1，+）b （， 2）c （ 1， 2）d?2 （5 分）设 zi（2+i） ，则（）a 1+2ib 1+2ic12id 12i3 （5 分）已知向量（ 2，3） ，（ 3，2） ，则 | （）ab2 c5d50 4 （ 5 分）生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标若从这5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为（）abcd5 （5 分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：

3、我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）a甲、乙、丙b乙、甲、丙c丙、乙、甲d甲、丙、乙6 （5 分）设 f（x）为奇函数，且当x0 时，f（x）ex1，则当 x0 时，f（x）（）a ex1 bex+1 c ex1 d ex+1 7 （5 分）设 ，为两个平面，则 的充要条件是（）a 内有无数条直线与平行b 内有两条相交直线与平行c ，平行于同一条直线d ，垂直于同一平面8 （ 5 分）若 x1，x2是函数 f（x） sin x（ 0）两个相邻的极值点，则 （）a 2 bc1 d9 （ 5

4、分）若抛物线y2 2px（p0）的焦点是椭圆+1 的一个焦点，则p（）a 2 b3 c4 d8 10 （5 分）曲线y 2sinx+cosx 在点（ ， 1）处的切线方程为（）a xy 10 b2xy2 10 c2x+y2 +10 dx+y +10 11 （5 分）已知 （0，） ，2sin2 cos2 +1，则 sin （）abcd12 （5 分）设 f为双曲线c：1（ a0，b0）的右焦点， o 为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2+y2a2交于 p，q 两点若 | pq| | of| ，则 c 的离心率为（）abc2 d二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13 （5

5、分）若变量x，y 满足约束条件则 z3x y 的最大值是14 （5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为，有20 个车次的正点率为，有10 个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为15（5 分） abc的内角 a， b， c的对边分别为a， b， c 已知 bsina+acosb 0， 则 b16 （5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1） 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学

6、的对称美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）如图，长方体abcda1b1c1d1的底面 abcd是正方形，点e 在棱 aa1上， beec1（1）证明： be 平面 eb1c1；（2）若 aea1e，ab3，求四棱锥ebb1c1c的体积18 （12 分）已知 an是各项均为正数的等比数列，a12，a32

7、a2+16（1）求 an的通项公式；（2）设 bnlog2an，求数列 bn的前 n 项和19 （12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表y 的分组， 0）0， ）， ）， ）， ）企业数2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （精确到）附：20 （12 分）已知 f1，f2是椭圆 c：+1（ab 0）的两个焦点，p为 c 上的点

8、， o为坐标原点（1）若 pof2为等边三角形，求c的离心率；（2）如果存在点p，使得 pf1pf2，且 f1pf2的面积等于16，求 b 的值和 a 的取值范围21 （12 分）已知函数f（x）（ x1） lnxx1证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x） 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中，o 为极点，点m（0， 0） （00）在曲线c： 4sin上，直线 l 过点 a（4，0）且与 om 垂直，垂足为p

9、（1）当 0时，求 0及 l 的极坐标方程；（2）当 m 在 c上运动且p在线段 om 上时，求p点轨迹的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲（10 分）23已知 f（x） | xa| x+| x2| （xa） （1）当 a1 时，求不等式f（x） 0 的解集；（2）当 x（， 1）时， f（x） 0，求 a 的取值范围2019 年全国统一高考数学答案解析（文科）（全国 2 卷）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 【分析】 直接利用交集运算得答案【解答】 解：由 ax| x 1，bx| x2，得 abx| x 1x|

10、x2（ 1，2） 故选： c【点评】 本题考查交集及其运算，是基础题2 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【解答】 解： zi（2+i） 1+2i， 12i，故选： d【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 【分析】 利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解【解答】 解：（ 2，3） ，（ 3，2） ，（ 2，3）（ 3，2）（ 1，1） ，| 故选： a【点评】 本题考查平面向量的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题4 【分析】 本题根据组合的概念可知从这5 只兔子中随机取出3 只的所有情况数为，恰有 2 只测量

11、过该指标是从3 只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为即可得出概率【解答】 解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这 5 只兔子中随机取出3 只的所有情况数为，恰有 2 只测量过该指标的所有情况数为p故选： b【点评】 本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题5 【分析】 本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果【解答】 解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲乙乙：丙乙且丙甲丙：丙乙只有一个人预测正确，分析三人的预测，

12、可知：乙、丙的预测不正确如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙乙，乙甲，乙预测不正确，而丙乙正确，只有丙甲不正确，甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾不符合题意只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲乙，乙丙故选： a【点评】 本题主要考查合情推理，因为只有一个人预测正确，所以本题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾从而得出正确结果本题属基础题6 【分析】 设 x0，则 x0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x0 时的 f（x） 【解答】 解：设 x0，则 x0，f（ x） ex1，设 f（x）为奇函数，f（x） ex1，即 f（x） ex+1故选

13、： d【点评】 本题考查函数的解析式即常用求法，考查函数奇偶性性质的应用，是基础题7 【分析】 充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】 解：对于a，内有无数条直线与平行， 或 ；对于 b，内有两条相交直线与平行， ；对于 c， ，平行于同一条直线， 或 ；对于 d， ，垂直于同一平面， 或 故选： b【点评】 本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题8 【分析】 x1，x2是 f（x）两个相邻的极值点，则周期 t2 （），然后根据周期公式即可求出【解答】 解： x1，x2是函数 f（ x） sin x（ 0）两个相邻的极值点，t2（） 2，故选：

14、a【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属基础题9 【分析】 根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得【解答】 解：由题意可得：3pp（）2，解得 p8故选： d【点评】 本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题10 【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x时的导数， 再由直线方程点斜式得答案【解答】 解：由 y2sinx+cosx，得 y 2cosxsinx，y |x2cos sin 2，曲线 y2sinx+cosx 在点（ ， 1）处的切线方程为y+1 2（x ） ，即 2x+y2 +10故选： c【点评】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基

15、本初等函数的导函数是关键，是基础题11 【分析】 由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin cos 2cos2 ，结合角的范围可求sin 0，cos 0，可得 cos 2sin ，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin的值【解答】 解： 2sin2 cos2 +1，可得： 4sin cos 2cos2 ， （0，） ，sin 0，cos 0，cos 2sin ，sin2 +cos2 sin2 +（2sin ）25sin2 1，解得： sin 故选： b【点评】 本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题12 【分析】 由

16、题意画出图形，先求出pq，再由 | pq| | of| 列式求 c的离心率【解答】 解：如图，由题意，把x代入 x2+y2a2，得 pq，再由 | pq| | of| ，得，即 2a2c2，解得 e故选： a【点评】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】 解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z3xy 为 y 3xz，由图可知，当直线y3xz过 a（3，0）时，直线在 y 轴上的截距最

17、小，z有最大值为9故答案为： 9【点评】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题14 【分析】 利用加权平均数公式直接求解【解答】 解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为，有 20 个车次的正点率为，有10 个车次的正点率为，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：（ 10+20+10）故答案为：【点评】 本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题15 【分析】 由正弦定理化简已知等式可得sinasinb+sinacosb0，由于sina0，化简可得tanb 1

18、，结合范围b （0， ） ，可求 b 的值为【解答】 解： bsina+acosb0，由正弦定理可得：sinasinb+sinacosb0，a（0， ） ，sina0，可得： sinb+cosb0，可得： tanb 1，b（0， ） ，b故答案为：【点评】 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16 【分析】 中间层是一个正八棱柱，有8 个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1 个面，故共有26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45倍【解答】 解：该半正多面体共有8+8+8+

19、226 个面，设其棱长为x，则 x+x+x 1，解得 x1故答案为： 26， 1【点评】 本题考查了球内接多面体，属中档题三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 【分析】（1）由线面垂直的性质可得b1c1be ，结合 be ec1利用线面垂直的判定定理可证明 be平面 eb1c1；（2）由条件可得ae ab 3，然后得到e 到平面 bb1c1c的距离 d3，在求四棱锥的体积即可【解答】 解： （1）证明：由长方体abcd a1b1c1d1，可知b

20、1c1平面 abb1a1，be ?平面 abb1a1，b1c1be ，be ec1，b1c1ec1c1，be 平面 eb1c1；（2）由（ 1）知 beb190，由题设可知rtabe rta1b1e， aeb a1eb145， aeab 3，aa12ae 6，在长方体abcd a1b1c1d1中， aa1平面 bb1c1c，eaa1，ab平面 bb1c1c，e到平面 bb1c1c 的距离 d ab3，四棱锥ebb1c1c的体积 v36318【点评】 本题考查了线面垂直的判定定理和性质，考查了四棱锥体积的求法，属中档题18 【分析】（1）设等比数列的公比，由已知列式求得公比，则通项公式可求；（2

21、）把（ 1）中求得的 an的通项公式代入bnlog2an，得到bn，说明数列 bn是等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解【解答】 解： （1）设等比数列的公比为q，由 a12，a32a2+16，得 2q24q+16，即 q22q80，解得 q 2（舍）或q4；（2）bnlog2an，b11，bn+1bn2（n+1） 1 2n+12，数列 bn是以 1 为首项，以2 为公差的等差数列，则数列 bn的前 n 项和【点评】 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查对数的运算性质，是基础题19 【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可【

22、解答】 解： （1）根据产值增长率频数表得，所调查的100 个企业中产值增长率不低于40%的企业为： 21%，产值负增长的企业频率为： 2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数 2+24+53+14+ 7 30%，产值增长率的方程s2（）22+（）224+0253+14+ 7 ，产值增长率的标准差s，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%【点评】 本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题20 【分析】（1）根据 pof2为等边三角形，可得在f1

23、pf2中， f1pf290，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得b4，根据x2（c2b2） ，所以c2b2，从而 a2b2+c2 2b232，故 a4，【解答】 解： （1）连接 pf1，由 pof2为等边三角形可知在f1pf2中，f1pf290， | pf2| c，| pf1| c，于是 2a| pf1|+| pf2| （+1）c，故曲线 c 的离心率e1（2）由题意可知，满足条件的点p（x，y）存在当且仅当：| y| ?2c16，? 1，+1，即 c| y| 16，x2+y2c2，+1，由及 a2 b2+c2得 y2，又由 知 y2，故 b4，由得 x2（

24、c2 b2） ，所以 c2b2，从而 a2b2+c2 2b232，故 a4，当 b4，a4时，存在满足条件的点p所以 b4，a 的取值范围为4，+） 【点评】 本题考查了双曲线的性质，属中档题21 【分析】（1）推导出 f（x）的定义域为（0，+） ，f（ x） lnx，从而 f（ x）单调递增，进而存在唯一的x0（1，2） ，使得 f（ x0） 0由此能证明f（x）存在唯一的极值点（2）由 f（ x0） f（1） 2，f（ e2） e230，得到 f（ x） 0 在（ x0， +）内存在唯一的根x a，由 ax01，得，从而是 f（ x）0 在（0，x0）的唯一根，由此能证明f（ x） 0

25、有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【解答】 证明：（1）函数f（x）（ x1）lnxx1f（x）的定义域为（0，+） ，f（ x）lnx，y lnx 单调递增， y单调递减，f（ x）单调递增，又 f（ 1） 1 0，f（ 2） ln2 0，存在唯一的x0（1，2） ，使得 f（ x0） 0当 xx0时， f（ x） 0，f（x）单调递减，当 xx0时， f（ x） 0，f（x）单调递增，f（x）存在唯一的极值点（2）由（ 1）知 f（ x0） f（1） 2，又 f（e2） e230，f（x） 0 在（ x0，+）内存在唯一的根xa，由 ax01，得，f（）（） ln 0，是 f（x） 0 在（ 0，x0）的唯一根，综上， f（x）