2021年广东省清远市中考数学一模测试卷

1、2021年广东省清远市中考数学一模测试卷一.选择题（共10小题，满分24分）1. 3的相反数是（）A. 一3B. 3C. 13)D. 62 .数据3、4、6、7、x的平均数是5,则这组数据的中位数是（A. 4B. 4.5C. 53 .（3分）在平面直角坐标系中，点A（-32）关于），釉的对称点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4 . （3分）一个多边形每个外角都等于36。，则这个多边形是几边形（）A. 7B. 8C. 9D. 105 .（3分）要使Q7有意义，则的值是（）A. a20B. > 0C. a <06 .（3分）如图，在四边形ABC。中，点夕是边C&#

2、163;>上的动点，点。是边3C上的定点，连接AP, PQ, E,尸分别是AP,的中点，连接EF.点P在由。到。运动过程中,线段EF的长度（）第7页（共25页）B.逐渐变小D.逐渐变大A.保持不变C.先变大，再变小7 .（3分）抛物线> =*-11+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（）A. y = -（x-D2+3 B. y = （x+l）2+3 C. y = （x-l）2-3 D. y = -（x-l）2-32（ + 7 > 4 v + 18 .（3分）若关于人的不等式组;的解集为xv3,则氏的取值范围为（）x-k<2A. k>lB. k<C. k

3、7;D.9. （3分）如图：将边长为6的正方形纸片A8CO折卷，使点。落在4?边中点七处，点。 落在点。处，折痕为FH ,则线段4；的长是（A. 2C. 3D.10. （3分）二次函数.y = d+Zu+c（aHO）的图象如图所示，下列结论: b： -4ac > 0 ： （）abc <0:4<，+ = 0 :4/ 2/? + c>0 .其中正确结论的个数是（）二.填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11. （4 分）（七简：a +1 + a（a +1） + a（a +1厂 +. + u（u +1）99 =.12. （4分）单项式3尸9与3、严”是同类项，则加一=.

4、2 .13. （4分）若/JT£+仍-2l=0,则（”+）2网的值为.14. （4 分）已知a + /? = 2, ah = 19 求一2心+ 的值为.15. （4分）如图，菱形ABCO的边长为4, N4=45。，分别以点A和点4为圆心，大于052的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E,连接CE,则CE的长16. （4 分）如图，A8, AC, 5c 是的三条弦，Q£>_LA3, OEL8C, OF_LAC,且OD = OE = OF,则弧4。=弧=弧, ZABC=。，AA3C是 三角形.17. （4 分）如图，在 RtMBC 中，NAC5 = 9

5、0。，5C = 4, AC = 10 ,点。是 AC 上的一个动点，以CD为直径作圆O,连接交圆O于点E,则AE的最小值为.三.解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18. （6 分）先化简，再求值：（2x - yY - 4（x + y）（x - y） + 5xy ,其中 x = 6, y =-2 .19. （6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重为48打，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？20. （6分）如图，已知A3 = AC, AD = A£，和CE相交于点O.（1）求证：AABD = MCE;（2）判断MOC的形状

6、,并说明理由.四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）21. （8分）阅读理解，并回答问题： 若n , x2是方程cix2 +bx + c = O的两个实数根，则有ax2 + bx + c = a（x-xx）（x-x2）.即 ax2 +bx + c = ax2 一（芯 +x2）x + axx2 于是=一。（冗+x?） , c = axx2 .由此可得一元二次方 程的根与系数关系： n-，v；=i.这就是我们众所周知的韦达定理.aa（1）已知小，是方程-x-100 = 0的两个实数根，不解方程求M+/J的值；（2）若, x2, xy,是关于x的方程x（x-2）2 =/的三个实数根，且为/七

7、： xx2 + x/s + xyxt的值：求七 一 N的最大值22. （8分）如图，在OO中，点。为AB的中点，Z4CB = 120°, OC的延长线与AO交于点。，且 ND = 4.（1）求证：AO与QO相切：（2）若CE = 4,求弦AB的长.23. （8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A, 8两种健身器材若干件，经 了解，4种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400 元购买3种健身器材多10件.（1） A, 3两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A , 8两种健身器材共

8、50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？五.解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24. （10分）在如图平面直角坐标系中，矩形Q4BC的顶点4的坐标为（4,2）, Q4、OC分 别落在x轴和y轴上，08是矩形的对角线.将OA3绕点O逆时针旋转，使点8落在y轴 上，得到AODE,与C3相交于点尸，反比例函数=匕匕0）的图象经过点，交AB x于点G.（1）求k的值和点G的坐标：（2）连接FG，则图中是否存在与ABAG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明：若不存在，请说明理由；（3）在线段OA上存在这样的点夕，使得APFG是等腰三角形.

9、请直接写出点P的坐标.25. （10分）如图，抛物线y = -gv + gx + 2与1轴交于点4，点3,与），轴交于点C,点 。与点C关于x轴对称，点尸是x轴上的一个动点，设点夕的坐标为（10）,过点。作x轴 的垂线/交抛物线于点Q.（1 ）求点A、点4、点C的坐标：（2）当点夕在线段03上运动时，直线/交直线4。于点M,试探究“，为何值时，四边形 CQM£是平行四边形：（3）点。在线段回上运动过程中，是否存在点Q,使得以点4、Q、M为顶点的三角形 与相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.2021年广东省清远市中考数学一模测试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题

10、，满分24分）1. 3的相反数是（）A. -3B. 3C. -D.-33【分析】依据相反数的定义回答即可.【解答】解：3的相反数是-3.故选：A.【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.2. 数据3、4、6、7、x的平均数是5,则这组数据的中位数是（）A. 4B. 4.5C. 5D. 6【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案.【解答】解：.数据3、4、6、7、x的平均数是5,，（3 + 4 + 6 + 7 + x） + 5 = 5 ,解得：a=5,把这些数从小到大排列为：3、4、5、6、7,最中间的数是5,这组数据的中位数是5：故选

11、：C.【点评】此题考查了确定一组数据的中位数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚, 计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据 个数的奇偶性来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个, 则找中间两位数的平均数.3. （3分）在平面直角坐标系中，点A（-3,-2）关于），轴的对称点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根 据各象限内点的坐标特点解答.【解答】解：.点4-3,-2）关于y轴的对称点是（3,-2）,A（-3,-2）关于），轴

12、的对称点在第四象限.故选：D.【点评】此题主要考查了关于x轴、），轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律: （1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.（2）关于y轴对称点 的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.4. （3分）一个多边形每个外角都等于36。，则这个多边形是几边形（）A. 7B. 8C. 9D. 10【分析】多边形的外角和是360。，又有多边形的每个外角都等于36。，所以可以求出多边形 外角的个数，进而得到多边形的边数.【解答】解：这个多边形的边数是： = 10.故答案是Q.36°【点评】本题考查多边形的外角和，以及多边形外角的个数与其边数

13、之间的相等关系.5. （3分）要使右7有意义，则。的值是（）A. a>0B. a >0C. a<0D. a = 0【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可.【解答】解：由题意得，, 解得 =0.故选：【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二 次根式无意义.6. （3分）如图，在四边形中，点。是边C。上的动点，点。是边上的定点，连 接AP，PQ，E, F分别是”，PQ的中点，连接£F.点P在由。到。运动过程中， 线段印的长度（）A.保持不变B.逐渐变小C.先变大，再变小D.逐渐变大【分析】连接A0，根据三角形中位线定理解答

14、即可.【解答】解:连接AQ,.点。是边8c上的定点，的大小不变，£，/分别是AP，尸。的中点，:.EF = ；AQ,二线段旅的长度保持不变，故选：A .加B 0C【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第 三边的一半是解题的关键.7. (3分)抛物线y = (x-1尸+3关于x轴对称的抛物线的解析式是()A. y = -U-l)2+3 B. y = (x + l)2+3C. y =(A-l)2-3 D. y = -(x-l)2-3【分析】抛物线y = (x-1>+3的顶点坐标为(1,3),关于x轴对称的抛物线顶点坐标为 (1,-3).且开口

15、向下，将二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，用顶点式写出新抛 物线的解析式即可.【解答】解：.y = (x-1尸+3的顶点坐标为(1,3),二关于x轴对称的抛物线顶点坐标为(1,-3),且开口向下，二所求抛物线解析式为：>，= -0-If-3.故选：D.【点评】本题考查了二次函数图象的轴对称与解析式的关系.关键是明确顶点的对称及抛物 线开口方向的变化对解析式的影响.2* + 7 > 4x + 18. (3分)若关于汇的不等式组、.，. 的解集为xv3,则上的取值范围为()x-k<2A. k>B kvlC.D. k【分析】不等式整理后，由已知解集确定出A的范围即可.

16、第8页(共25页)第11页（共25页）【解答】解：不等式整理得：Sx<3x<k + 2由不等式组的解集为x<3,得到k的范围是A故选：C.【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.9. （3分）如图：将边长为6的正方形纸片A8CD折卷，使点。落在4?边中点七处，点。落在点。处，折痕为FH ,则线段的长是（ ）;四边形A3CD是正方形,在RtAAEF中利用勾股定理即可解决问题.：.AB = BC = CD = AD = 6,；AE = EB = 3, EF = FD,设 EF = O/ = x则 AF = 6-x,在 RtAAEF 中，-AE2+AF

17、2=EFJ 3? + (6 a)2 = x2故选：B.【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用 勾股定理列出方程解决问题.10. （3分）二次函数,，=，戊2+6+。（“=0）的图象如图所示，下列结论：b： -4ac > 0 :abc <4 ；4<，+ = 0 ：4< 2Z? + c>0 .其中正确结论的个数是（）【分析】先由抛物线与x轴交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为、=2,判断出 结论，先由抛物线的开口方向判断出，<0,进而判断出b>0,再用抛物线与y轴的交点 的位置判断出c>0,判断出结论，最

18、后用x = -2时，抛物线在x轴下方，判断出结论, 即可得出结论.【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，方程，4+队+ c = 0有两个不相等的实数根，:.lr -4ac> 0 ,故正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x = 2, .b.=2，2n，4 + = 0,由图象知，抛物线开口方向向下，4 V 0 ,4a + = 0,：.b> o ,而抛物线与y轴的交点在V轴的正半轴上，.c>0,故正确，由图象知，当x = -2时.>'<0,一%+ cvO,故错误，即正确的结论有3个，故选：B.【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的

19、交点，抛物线的对称 轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键.二.填空题(共7小题，满分28分，每小题4分)11. . (4 分)化简:a + + aa +1) + a(a +1)2 +. + a(a +1)99 =_(a + 1),CM> _.【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果.【解答】解：原式=("+ 1) 1 + 4 + 4(“ + 1) +.+ 4(4 + 1产=(a +1)21 + u + a(a +1) + ci(a + 1厂 +. + ci(ci +1)9 J=(ci +1)31 + a + a(a +1) + a(a +1)2 +. + .(« +1)

20、96=(a + 1严).故答案为：+【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.12. (4分)单项式3/一厅与上/)严川是同类项，则，一=1.2 '【分析】根据同类项的概念列式求出？、，?，计算即可.【解答】解：由题意得，+ 1 = 2, , + 1=3，解得， =1，? = 2，则 m n = >故答案为：1.【点评】本题考查的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的 项叫做同类项.13. (4 分)若行TG+I-21=0,则(+严20的值为_J_.【分析】首先根据非负数的性质可求出。、人的值，进而可求出。、人的和.【

21、解答】解：.历£+出-21=0,二 a + 3 = 0, - 2 = 0，则（。+5产。=（一1严=1.故答案为：1.【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝 对值：（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的 每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.14. （4分）已知“ + = 2, ab = ,求” %+的值为 0 .【分析】整体代入即可求出结果.【解答】解：,j“+ = 2 ,"=1,a 2ab+b = a+b 2ab = 2 - 2 = 0 故答案为：0.【点评】考查代数式求值，整体

22、代入是求值常用的方法.15. （4分）如图，菱形ABC。的边长为4,乙4=45。，分别以点A和点4为圆心，大于A3的长为半径作弧，两弧相交于N两点，直线MN交于点£,连接CE,则CE的长 为_2#_.【分析】如图，连接所.证明A4E3是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE, EB, EC即可.【解答】解：如图，连接所.由作图可知，MN垂直平分线段",:.EA = EB,第12贞（共25页），Z4 = ZE" = 45。，：.ZAEB = 90°,.AB = 4,:.EA = EB = 2y/2 ,.四边形458是菱形，j.ADHBC,:."BC

23、 = ZAEB = 90。，：.EC = y/EB2 + BC2 = “2&尸 +4? = 2# ,故答案为2而.【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关 键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.16.（4分）如图，A3,4C, 是O。的三条弦，OD工AB , OE上BC , OF工AC,B.OD = OE = OF,则弧 4。=弧_48_=弧, ZABC=°, MBC 是 三角形.【分析】由垂径定理得3E = EC, BD = AD；若连接08、。、04 ,则可证 OCE = OBE = OBD,再得AABC是等边三

24、角形，然后运用圆周角定理 可解.【解答】解：连接。0C, 0A-0D1AB, OE1BC,由垂径定理知，BE = EC, BD = AD,;OB = OC,OCE = OBE = AOBD，BE = EC = BD = AD,第15页（共25页）同理，AD = AF = CF = CE,.AB = BC = AC,即AA8C是等边三角形, /. ZABC = 60° ,弧 4。=弧筋=弧86【点评】本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解.17. （4 分）如图，在RL1ABC中，ZACB = 90°, BC = 4, AC = 10 ,点。是 AC上的一

25、个动点，以CD为直径作圆O,连接80交圆。于点£,则AE的最小值为_2衣-2_.【分析】连接CE，取5c的中点尸，作直径为的。,连接£F , AF ,证明ZCEB = 90° , 说明七点始终在OF上，再由在整个变化过程中，AEAF-EF,当A、E、尸三点共线 时，AE最最小值，求出此时的值便可.【解答】解：连接CE,取3c的中点F,作直径为3C的。F,连接打"AF，,.,3C = 4,.b = 2,NAC6 = 90。，AC = 10,. AF = >jAC2+CF2 =7TO4 = 2a/26.,8是GX?的直径，.ZCED = ZCEB =

26、90°,点在OF上,.在。的运动过程中，AEAF-EF,且A、E、尸三点共线时等号成立，第14贞（共25页）当A、E、F三点共线时，AE取最小值为A尸一 £尸=2后一 2.故答案为：2>/26-2.【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键 是确定AE取最小值的位置.三.解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）18. （6 分）先化简,再求值：（2刀一丁）2-4（%+），）（4-¥）+ 5寸，其中入=6, y = -2.【分析】先按照完全平方公式、平方差公式及合并同类项的方法将原式化简，再将x = 6, ），=-2代入

27、求值即可.【解答】解：原式= 4/4个+ ）3-4（29）+ 5个=4x2 Axy + y2 4x2 + 4y2 + 5xy= 5）F +xy .当 x = 6, >，= 一2 时，原式=5（-2尸+6x（2）= 20-12=8 .【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握整式乘法的相关运算法则是解题 的关键.19. （6分）校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级30名男生进行了调查，平均体重 为48打，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？【分析】根据样本估计总体思想求解可得.【解答】解：这个不能作为七年级学生平均体重的估计，因为调查的样本，即30名男生的体

28、重相对于女生的体重要高，用30名男生的体重来估计全体七年级学生的体重不具有代表性，所以这个不能作为七年级学生平均体重的估计.【点评】本题考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、 容量越大，这时对总体的估计也就越精确.20. （6分）如图.已知A5 = AC，AD = AE，和CE相交于点O.（1）求证：AABO三A4CE;（2）判断MOC的形状，并说明理由.【分析】（1）由“ SAS ”可证AA班）三A4CE；（2）由全等三角形的性质可得NABO = NACE,由等腰三角形的性质可得=,可求NQ5C = NOC8，可得8O = CO,即可得结论.【解答】证明：（1）

29、 AB = AC，ZBAD = ZCAE, AD = AE,:.ABD = AACE（SAS）；（2） MOC是等腰三角形，理由如下：. A4BD = AACE ,1 .ZABD = ZACE,.AB = AC,/. ZABC = ZACB,：.ZABC-ZABD = ZACB-ZACE./. ZOBC = ZOCB ， /. BO = CO,.MOC是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三 角形的性质是本题的关键.四.解答题(共3小题，满分24分，每小题8分)21. (8分)阅读理解，并回答问题：若N，七是方程+x + c = O的两个实

30、数根，则有a/+x + c = "(x-玉)(犬-公).即+ hx + c = ax2 -</(a)+ x2)x + ax,%,于是=一(玉+七)，c =泾.由此可得一元二次方程的根与系数关系：%+占=-2,内占=£.这就是我们众所周知的韦达定理. a a(1)已知加，是方程丁-x-100 = 0的两个实数根，不解方程求M+/?2的值；(2)若X，x2, xy,是关于X的方程x(x-2)2 =/的三个实数根，且$<&<尤3：为9+%七+工3%的值：求七 一 X的最大值.【分析】(I)由根与系数的关系先得出机+ = 1, ?=-100,再利用完全平方

31、公式的变形 可得答案：(2)由题意得：x(x-2)2t = (x n)(x &)("-覆)，将等式两边分别整理，再比较对应 项的系数可得答案；先由得出的结论求得N +内=4-占，=4-(3 +工3)工2，/K ='，然后由 x2(占-入了=占+工尸-%不及配方法得出-入了的最大值，再开平方，求其算术平方根即可.【解答】解：.?，是方程V“一 100 = 0的两个实数根， + = 1，/?/?=100/. nr + n2 = (m + n)2 - 2mn= l2-2x(-100)= 201：(2)由题意得:x(x-2)2-t = (x-x1)(x-x2)(x-x3)7.

32、 x5 _4x2 +4x-t = x3 -(x, + x2 + x3)x2 + (x,x2 + x2x5 + x3x)x-xxx2x3/. %)+ x? + 七=4 , xxx2 + x2x3 += 4 , xxx2xy = t/. A)x2 + x2x3 + x3xi的值为 4：+ x2x3 += 4 /. XyX1 =4-(内 +x3)x2& = t=%6 r )2 = (x3 + N 尸-4x3x，(& -A；)2 =(4-w)2 -44-(Aj +x3)x2 =-3x? + 8a2/4 2 16 J6=-3（）+4/.当占=一时，& -玉的最大值为: 3二尤3

33、-*的最大值为主工.【点评】本题考查了根与系数的关系在整式求值中的应用，明确根与系数的关系并熟练运用 完全平方公式及配方法是解题的关键.22. （8分）如图，在°。中，点。为A3的中点，ZACB = 120°, OC的延长线与AO交于点。，且ND = 4.（1）求证：AD与G）O相切:（2）若CE = 4,求弦AB的长.【分析】（1）连接QA,由C4 = C3,得C4 = C3,根据题意可得出NO = 60。，从而得出Z(MD = 90°,则 A。与 0O 相切;第19页(共25页)（2）由题意得OC_LA3，RtABCE中，由三角函数得8£ = 4退，

34、即可得出的长.【解答】（1）证明：如图，连接。4, / CA = CB ,：.CA = CB,又NAC5 = 120°,/.ZB = 30°,.NO = 2ZB = 60°, .ZD = ZB = 30。， . "AD = 1800-(20 + ZD) = 90° ,.4与00相切；(2) .NO = 60°, OA = OC,，AO4C是等边三角形， .ZACO = 60。， .NAC5 = 120。，. .ZACB = 2ZACO, AC = BC ,：.OC±AB9 AB = 2BE, .CE = 4, ZB = 30

35、°,，BC = 2CE = 8,BE =7BC2 -CE? =&2一不=40,.AB = 2BE = 8#, .弦AB的长为86.【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和 性质是解题的关键.23. （8分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A, 3两种健身器材若干件，经 了解，3种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍,用7200元购买A种健身器材比用5400 元购买3种健身器材多10件.（1） A, 4两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A , 3两种健身器材 共50件，

36、且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，8种型号健身器材的单价为1.5x元/套， 根据“ 4种健身器材的单价是4种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400 元购买4种健身器材多10件”，即可得出关于x, y的分式方程，解之即可得出结论：（2）设购买A种型号健身器材，套，则购买4种型号的健身器材（50-m）套，根据总价=单 价x数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于小的一元一次 不等式，解之取其最小值即可得出结论.【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为八元/套，4种型号

37、健身器材的单价为L5x 元/套，河时时注 -r伯 7200 5400 ,八根据题意，可得：= 10，x 1.5x解得：x = 360 经检验x = 360是原方程的根，1.5 x 360 = 540 （元），因此，A, 3两种健身器材的单价分别是360元，540元：（2）设购买A种型号健身器材加套，则购买4种型号的健身器材（50-。套，根据题意，可得：360, + 540（50-"】尽21000,解得：吟333因此，A种型号健身器材至少购买34套.【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准 等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间

38、的关系，正确列出一元一次不等 式.五.解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）24. （10分）在如图平面直角坐标系中，矩形Q/RC的顶点4的坐标为（4,2），QA、OC分 别落在x轴和y轴上，08是矩形的对角线.将33绕点O逆时针旋转，使点8落在y轴第23页（共25页）上，得至IJAODE,与C3相交于点尸，反比例函数3，=匕%>0）的图象经过点F,交AB x于点G .（1）求k的值和点G的坐标；（2）连接FG,则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选K中一种进行证明：若不存在，请说明理由：（3）在线段OA上存在这样的点夕，使得APFG是等腰三角形.请直接写出

39、点夕的坐标.【分析】(1)证明COFsmOB，则££ =生，求得：点厂的坐标为(1,2),即可求解： AB OA(2 ) SCOFABFG : MOBsMFG : AODESBFG ; ACBOSBFG . 证AOAB-abFG: =-,芈=；=:，即可求解.BF 3 BG 3 32(3)分GF = PF、PF = PG、GP = PG三种情况，分别求解即可.【解答】解：(1).四边形OSC为矩形，点3的坐标为(4,2),/.ZOCB = ZOAB = ZABC = 90°, OC = AB = 2, 3 = 80 = 4, . FODE是AQW旋转得到的，即：S

40、ODE = SOAB,/. ZCOF = ZAOB , . .COFsaaqb，.CF _OC . CF_2 , , J, - X AB OA 24点尸的坐标为(1,2), .y = ±*>0)的图象经过点八 x/. 2 = -J-» 得& = 2 , .点G在上， 点G的横坐标为4,第#贞（共25页）对于 v = 3,当x = 4,得，=， x'2 点G的坐标为（4）；2（2 ） NCOFsBFG: OBsBFG ; dODEsBFG; ACBOABFG.下面对45sABFG进行证明： 点G的坐标为（4），.AG = 1,22.3。=必=4, CF = 1，AB = 2, .BF = BC-CF = 3,38G = A8-AG =，.2AO_4 _ 2 _ 4 BF " 3 ' BG2.AO _ AB bf=bg'vZOt4B = ZFfiG = 90% . OABs bBG .（3）设点 PQ,O）,而点 F（l,2）、点G（4），2g 45i则 FG2=9 + _=,尸尸=（川一I）?+4,262=。-4尸+_,4 44当GF = PF时,即笠= （l»+4,解得：?=三巨（舍去负值）：42当尸尸=PG时，同理可得：