数理统计之区间估计

1、 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大. 区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极的极大似然估计为大似然估计为1000条条. 若我们能给出一个区间

2、，在此区间若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信内我们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参相信它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信

3、水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一个是一个很小的正数很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1 121P根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我,21 小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能置信区间置信区间. 称区间称区间 为为 的的,21 1置信水平为置信水平为 的的 寻找置信区间的方法寻找置信区间的方法,一般是从确定一般是从确定误差限误差限入手入手. 1|P使得使得称称 为为 与与 之间的误差限之间的误

4、差限 . 我们选取未知参数的某个估计量我们选取未知参数的某个估计量 ，根，根据置信水平据置信水平 ，可以找到一个正数，可以找到一个正数 ， 1 只要知道只要知道 的概率分布，确定误差限并不难的概率分布，确定误差限并不难. 下面我们就来正式给出置信区间的定义下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法并通过例子说明求置信区间的方法. 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：这个不等式就是我们所求的置信区间这个不等式就是我们所求的置信区间.教材教材180页已经给出了概率分布的上侧分位数页已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们（分位点）的定义，为便

5、于应用，这里我们再简要介绍一下再简要介绍一下.在求置信区间时，要查表求分位数在求置信区间时，要查表求分位数. 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足称满足 )(xXP的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 例如例如:645. 105. 0u96. 1025. 0u 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 标准正态分布的标准正态分布的上上 分位数分位数 u 例如例如:348. 9)3(2025. 0 216. 0)3(2975. 0 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满

6、足称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 分布的上分布的上 分位数分位数 )(2n 2 自由度为自由度为n的的 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x F分布的上分布的上 分分位数位数 ),(21nnF 自由度为自由度为n1,n2的的 书末附有书末附有 分布、分布、t 分布、分布、F分布的上侧分布的上侧分位数表，供使用分位数表，供使用. 需要注意的事项在教需要注意的事项在教材上有说明材上有说明.2 至于如何由标准正态分布函数表查表至于如何由标准正态分布函数表查

7、表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决话，这个问题不难解决.现在回到置信区间题目上来现在回到置信区间题目上来. 一、一、 置信区间定义：置信区间定义： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信水平置信水平（置信度、（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间. ,21 121 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样

8、本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 ,21 内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，11 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量) 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计

9、尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取二、置信区间的求法二、置信区间的求法明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？ 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估

10、计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率), 根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平. 1|2unXP使使为什么为什么这样取这样取？,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 122unXunXP 1|2unXP使使从中解得从中解得,22 unXunX也可简记为也可简

11、记为2 unX 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下信区间的一般步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn) 称称S(T, )为为枢轴量枢轴量. 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量T的函数的函数 S(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T,

12、 )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得使得 1 1 P(a S(T, )b)= 5. 对对“aS(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下得到如下形式形式: 121P,21 1 则则 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数一个待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数S(T, ), 且且S(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知不依赖于任何未知参数参数 (这样我们才能确定一个大概率区间这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分

13、布的总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要形式是否已知，是怎样的类型，至关重要. 这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的情形的情形. 若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.教材上讨论了以下几种情形：教材上讨论了以下几种情形：单个正态总体均值单个正态总体均值 和方差和方差 的区间估计的区间估计. 2 两个正态总体均值差两个正态总体均值差 和方差比和方差比 的区间估计的区间估计.21 2221

14、 比例比例 p 的区间估计的区间估计.下面我们举几个例子，其余部分请自己看下面我们举几个例子，其余部分请自己看.休息片刻继续休息片刻继续例例2 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X),(2 N,2未知 随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据X1, ,X2, ,X100 的区间估计的区间估计2 求求和和（置信水平为（置信水平为1- ）. 解：这是单总体均值和方差的估计解：这是单总体均值和方差的估计未知22,),( NX已知已知 先求均值先求均值 的区间估计的区间估计. ) 1(ntnSXt 因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定

15、分位数确定分位数 1),1(2nt使使1)1(|2nttP1)1(|2ntnSXP即即)1(),1(22ntnSXntnSX均值均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.即为即为 1从中解得从中解得1)1() 1(22ntnSXntnSXP) 1() 1(222nSn 取枢轴量取枢轴量 1)1() 1() 1(2222221nSnnP从中解得从中解得 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP2 再求方差再求方差 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计. 1 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 1, ) 1(22n 使使, ) 1(2

16、21n于是于是 即为所求即为所求.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP 需要指出的是，给定样本，给定置信水需要指出的是，给定样本，给定置信水平，平，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. .N(0, 1)nXU 取枢轴量取枢轴量由标准正态分布表，对任意由标准正态分布表，对任意a、b，我们可我们可以求得以求得P( aUb) . 例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N求参数求参数 的

17、置信水平为的置信水平为 的的 1置信区间置信区间.N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 0我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的置信区间为置信区间为96. 1,96. 1nXnX 由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些. .置信区间为置信区间为33. 2,75. 1nXnX 我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的)(ufu33. 275. 1我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. .类似地，我们可得到若

18、干个不同的置信类似地，我们可得到若干个不同的置信区间区间. . 任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含只要它们的纵标包含f(u)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信的置信区间区间. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，F分布分布，习惯上仍取对称的百分位点，习惯上仍取对称的百分位

19、点来计算未知参数的置信区间来计算未知参数的置信区间. .2 我们可以得到未知参数的的任何我们可以得到未知参数的的任何置信水置信水平小于平小于1的的置信区间，并且置信区间，并且置信水平越高，置信水平越高，相应的相应的置信区间置信区间平均长度平均长度越长越长. .)(22n)(221n)(xfx)(2nX 也就是说，要想得到的区间估计可靠也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差度高，区间长度就长，估计的精度就差. .这是一对矛盾这是一对矛盾. . 实用中应在保证足够可靠的前提下，实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些尽量使得区间的长度短一些 .例例3 某

20、单位要估计平均每天职工的总医疗费，某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了观察了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元，标准元，标准差为差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为的区间估计（置信水平为0.95）.解：解：设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布近似服从正态分布X),(2nN 大样本，由中心极限定理，大样本，由中心极限定理，2 E(X)= ,D(X)= 未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替. 取枢轴量取枢轴量nSXU 近似近似N(0,1)分布分布 对给定的置信水平对

21、给定的置信水平 , 确定分位数确定分位数 1,2 u 使使 1|2unSXP,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为 1将将 =170,S=30, =1.96,n=30代入得代入得,X的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 159.27, 180.74 2 u,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为 1三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个

22、方向的界限一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 11P),(2111nXXX 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ),1 11 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.),(2122nXXX 又若统计量又若统计量 满足满足 12P2 则称区间则称区间 是是 的置