(完整)高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师),推荐文档

1、1数学必会基础题型一一平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】uuu r1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。、uuu r2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或| a |。3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e| 104.零向量：长度为 0 的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量6.相等向量：长度和方向都相同的向量uur uuu7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA8.三角形法则：uuu uuruuur uuuuuu uuuuuur uuuABBCAC;A

2、BBCCDDEAE；9.平行四边形法则：以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b，a br r r rrrrr10. 共线定理：a b a/b。当 0 时，a与b同向；当 0 时，a与b反向11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。rrrr r12. 向量的模：若a（x, y），则 | a |. x2y2, a|a |2, |ar r13. 数量积与夹角公式：a b | a | | b | cos； cosra br|a| |b|14.平行与垂直：a/b a b xy2x2y1； a b a b 0 %x2yy0题型 1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量

3、。（2）若两个向量不相等，贝U它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuu UULT（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是AB CD。uuu uuruuu uuur uuuAB AC CB（指向被减数）Fa2（5） 若AB CD，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若a与b共线，b与c共线，则a与C共线。r r r r（8）若ma mb，贝U a b。3(9) 若ma na，贝U m n。(10) 若a与b不共线，则a与b都不是零向量。r r r r r r(11)若a b |a | | b|，则a/b。(

4、若|a b| |a b|，则：b。题型 2.向量的加减运算rrr r1. 设a表示“向东走 8km” ,b表示“向北走 6km” ,则| a b | _uuu uuiruuur uuu uuuu2. 化简(AB MB) (BO BC) OM _。uuuuuu3. 已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为 _LULTUUUUULTLUJLT4. 已知AC为AB与AD的和向量，且ACuuur 3 uuu5. 已知点 C 在线段 AB 上，且AC3AB5题型 3.向量的数乘运算1. 计算：(1)3(a b) 2(a b)2. 已知a (1, 4),b( 3,8)，则3a -b2题

5、型 4.作图法球向量的和已知向量a,b，如下图，请做出向量3a题型 5.根据图形由已知向量求未知向量r uuurruuuUULTa, BDb，贝9 AB，AD。uuuuuiuuuuuuu则ACBC，ABBC。r rrr rr(2)2(2a5b 3C)3( 2a 3b2C)1 r r 3 r-b和2a b2241.已知在 ABC 中，D 是 BC 的中点，请用向量AB,AC表示AD,uuurruuu r ” uuu十uuur2.在平行四边形 ABCD 中，已知AC a,BD b，求AB和AD。题型 6.向量的坐标运算1. 已知AB (4,5),A(2,3)，则点 B 的坐标是_ 。uur2. 已

6、知PQ ( 3, 5)，P(3,7)，则点Q的坐标是_ 。3. 若物体受三个力 F (1,2) , F ( 2,3) , F ( 1, 4),则合力的坐标为_54.已知a ( 3,4),b (5,2)，求a b,5 b,3 21buuuuuuuuuruuu6.已知AB (2,3),BC (m, n),CD ( 1,4)，则DAuuu uuuA(2, 1),B( 4,8), 且AB 3BC题型 7.判断两个向量能否作为一组基底u in1.已知,e是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:uuu Luuu2.已知 O 是原点，点 A 在第一象限，| OA| 4、3，xOA 60，求O

7、A的坐标题型 9.求数量积rrrr1.已知|5| 3,|b |4，且 a 与b的夹角为60， 求(1)a b，(2)a (a b)，r 1r rrrrr(3)(a丄b) b，(4)(2a b) (a 3b)o2.rrtr rr rr r r2.已知a (2, 6),b( 8,10)，求(1)心|小|，(2)a b，(3)a (2 a b)，rr(4)(2a b) (a 3b)o题型 10.求向量的夹角rrr5.已知A(1,2), B(3,2),向量5(x 2,xuuu3y 2)与AB相等，求 x,y 的值7.已知 O 是坐标原点,r uuur0，求OC的坐标uuuiriuuriuiuirA.

8、e e,和 e e2B. 3 2e2和 4e, 62.已知5(3,4)， 能与 5 构成基底的是(ur uu uu ur uu ur urC. e3e2和 e3e1D.e2和 e2e)A.(3,4)B.(4,3)C.(3,4)D.( 1,4)5 55 5553题型 8.结合三角函数求向量坐标uuu1.已知 0 是坐标原点，点 A 在第二象限，|OA| 2，uuxOA150，求OA的坐标61.已知a I 8,|b I 3，a b 12，求 a 与b的夹角2.已知a (、3,1),5 ( 2.3,2)，求 a 与b的夹角73.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5)，求 cos BAC。题型

9、11.求向量的模1.已知心|3,|b| 4，且 a 与b的夹角为60。，求(1)|a b |, (2)|2a 3b |rrr Tr Tr12. 已知a (2, 6),b( 8,10)，求(1)|a|,|b|, (5)|a b|, (6)|a -b|2rrr3. 已知|a | 1,| b | 2，|3a 2b | 3，求|3a b |。题型 12.求单位向量【与a平行的单位向量：e 臣】|a|1. 与a (12,5)平行的单位向量是_ 。2. 与mn ( 1,1)平行的单位向量是。2题型 13.向量的平行与垂直1.已知a (6,2)，b( 3,m)，当n为何值时，(1)a/ID？( 2)a b？

10、rr(3,2)，( 1) k 为何值时，向量ka b与a 3b垂直?(2)k 为何值时，向量ka b与a 3b平行?3.已知 a 是非零向量，a b a c，且b c，求证：a题型 14.三点共线问题1.已知A(0, 2)，B(2, 2)，C(3,4)，求证:A, B,C三点共线2.已知舌(1,2)，b(b C)。84.在平面直角坐标系内,uuuuuuUULTOA ( 1,8),OB( 4,1),OC题型 16.平面向量的综合应用rrr1. 已知a (1,0)，b (2,1)，当 k 为何值时，向量ka b与a 3b平行？2. 已知a c, 3, , 5)，且a b，|b| 2，求b的坐标。3

11、. 已知a与b同向，b (1,2)，则a b 10，求a的坐标。rr3. 已知a (1,2)，b (3,1)，c (5,4)，则 c _a _b。rr4. 已知a (5,10)，b ( 3, 4)，c (5,0)，请将用向量a,b表示向量 c。rr5. 已知a (m,3),b (2, 1), (1)若 a 与b的夹角为钝角，求m的范围；uuu J2rr uuu2.设AB (a 5b), BC2r r uuu r r2a 8b,CD 3(a b)，求证：A B、D 三点共线。uuu r r uuu3.已知AB a 2b, BCr r uuu r r5a 6b,CD 7a 2b，则一定共线的三点是

12、4.已知A(1, 3),B(8, 1)，若点C(2a 1,a2)在直线 AB 上，求a的值5.已知四个点的坐标0(0,0)，A(3, 4)，uuu uuuB( 1,2)，C(1,1)，是否存在常数 t，使OA tOBuuurOC成立？题型 15.判断多边形的形状uuu r uuu r uuur uuu1.若AB 3e，CD 5e，且|AD|BC|,则四边形的形状是 _2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形 ABCD 是梯形。3.已知A( 2,1)，B(6, 3)，C(0,5)，求证：ABC 是直角三角形(1,3),求证:ABC 是等腰直角三角形9(2)若 a

13、 与b的夹角为锐角，求m的范围。6. 已知a (6,2),b ( 3,m)，当m为何值时，(1) a 与b的夹角为钝角？( 2) a 与5的夹角 为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为A( 1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且 AB/DC，AB 2CD， 求点 C 的坐标。8. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B( 1,3) ,C(3,4)，求第四个顶点 D 的坐标。9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0

14、)，C(c,0)，uuu uuur(1)若AB AC 0，求c的值；(2)若 c 5，求 sinA 的值。【备用】r1. 已知|a| 3,|b| 4,|a b| 5,求|a b|和向量a,b的夹角。rrrurr r r r r r u2. 已知x a b，y 2a b，且|a|b|1，a b，求x, y的夹角的余弦。1.已知a (1,3),b( 2, 1)，则(3：2b) (2a 5b)65。4. 已知两向量a (3,4),b (2, 1)，求当a xb与a b垂直时的 x 的值。rrr r5. 已知两向量a (1,3),b (2, )，a与b的夹角 为锐角，求 的范围。变式：若a (,2),b (3,5)，a与b的夹角为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：全品P27: 4。因为 M,N 在 AB,AC 上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即 M,N 与 B,C 重合时，可以得到 m n 1， m n 2。102.代入验证法例：已知向量a (1,1),b (1, 1),C ( 1, 2)，则C( D )4x5，y3.排除法uuuruuur uuuruuuu uuur uuuA.AMMB BCB.3AMACC.ABuuu解：观察前三个选项都不与AB共线，所以选Do“ 1r3rc1r3r