2019-2020学年苏教版必修41平面向量基本定理学案

1、2. 3 向量的坐标表示2. 3.1 平面向量基本定理L士 I躬1了解平面内所有向量的一组基底的含义.2理解平面向量基本定理.3.掌握平面向量的正交分解.新知提炼y1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 九 茏，使a = dei+茏e2,我们把不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底.一个平面向量用一组基底ei, e2表示成a=孔e+农e?的形式，我们称它为向量a的分解.当ei与e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解.2. 向量共线定理与平面向量基本定理的关系(1) 由平面向量

2、共线定理知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示， 而且这种表示是唯一的；(2) 由平面向量基本定理知，任一平面向量可以用不共线的两个非零向量来线性表示， 而且这种表示是唯一的；上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“唯一性”定理.«自我尝试1. 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2) 若e1, e2是同一平面内两个不共线向量，则?1e1+ te(入，加为实数)可以表示该平面内所有向量.()(3) 若 ae1 + be2= ce1 + de2(a, b, c, d R)，贝U a

3、= c, b = d.()解析：(1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2) 正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1, e2线性表示.(3) 错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.答案：(1)X (2) V (3) X2. 设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A . 2e1, 3e2B. e1 + e2, 3e1 + 3e2D. ei, ei + e2C. ei, 5e2答案：B3. 如图，设点P, Q是线段AB的三等分点，若oA = a, OB = b,则OP =, OQ（用a, b表

4、示）.解析：OP = AP-AO = 3aB+ OA1 t t t 1 t 2 f=3（OB-OA） + OA = 3OB + 3OA12 t t t 2 t t=3b + 3a, OQ = AQ AO= 3AB+ OA2 t t t 2 T 1 t=3（OB OA） + OA = 3OB + 3OA1 2=3a+3b.讲练互动答案：12 123b+ 3a 3a + 3b探究点1 用基底表示向量仪I 如图所示，在?ABCD中，点E, F分别为BC, DC边上的中点，DE与BF交于点G,若AB= a, AD = b,试用a, b表示向量DE , BF.【解】DE=DA + AB+ BET T 1

5、 T=AD + AB + ?BC一 AD + AB + 1ad = a 2b.BF = eBa+Ad + Di =AB+Ad + 2AB = b2a.|* -若本例中的基向量“ AB, AD”换为“ CE, CF”即若CE = a, CF = b,试用a, b表示 向量DE, BF.->解：DE = DC + CE = 2FC + CE =2CF +CE =2b+ a.bF = BC + CF = 2EC+ CF=2CE + CF = 2a + b.用基底表示向量的两种方法(1) 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止.通过列向量方程或方程组的形式 ，利用基底表

6、示向量的唯一性求解.1如图所示，四边形OADB是以向量OA= a, OB =b为邻边的平行四边形.又 BM= BC, CN= 3CD,试用a, b表示OM ,ON.解：由题意，得OB+CA = oa,所以 BA= a b,则BC =：（a b）,C 1 C 1 CCC 1BM = 3BC = 6（a b）, OM = OB + BM = b+ 6（a b）=156a + 6b.4 -C4OCC C C C 1 CON = OC + CN = OC + 3CD =2 2=3X 2（a + b）= §a+ 3b.探究点2 向量正交分解在物理学中的应用EE 如图所示，用绳子 AC和BC吊一

7、重物，绳子与垂直方向夹 角分别为60°和30°,已知绳子AC和BC所能承受的最大拉力分别为 80 N和150 N，那么重物的重力的大小应不超过多少？【解】 设重物的重力为 G,如图所示可知CB方向上的力的大小为G|cos 30°=f|G|.CA方向上的力的大小为|G|cos 60o=2|G|.'32 |G|< 150根据题意，得，12|G|w 80解得 |G|w 160,所以重物的重力大小应不超过160 N.物理学中的受力分析、速度分解与合成，特别是作正交分解，充分体现了平面向量基本a的斜定理的思想内涵，使复杂的问题简单化、特殊化 ，从而便于解决.面

8、匀加速下滑，设g= 10 m/s2,摩擦系数为 i求木块在下滑过程中加速 度a的大小.解：由题意知，对木块进行受力分析，如图可知，AG= mg= 10m,|AF|= |AG|sin a= 10msin a,|AE|= |AG|cos a= lOmcos a,|AM|= JAE|= 10 jirncos a,所以，加速度大小为|AF| |AM|a=m = 10(sin a pcos a .探究点3平面向量基本定理的综合应用匸平面内有一个 ABC和一点0（如图），线段的中点分别为 E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为 L、=a, OB = b, 0C= c.试用a、b、c表示向量EL、FM、G

9、N;（2）证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分.【解】 连结 EL、FM、GN、OL、0M、ON.因为 0E =苏，Ol = 2（b+ c）,-> -> -> 1所以 EL = 0L 0E = 2（b+ c-a）.同理可得FM = 2（a + c b）,f 1GN = 2（a + b c）.(2)证明：设线段EL的中点为Pi,则f 1 f f 10Pi= 2(0E+ 0L)= 4(a + b + c).设FM、GN的中点分别为 P2、P3,f 1f 1同理可求得 0P2= 4(a + b+ c), 0P3 = 4(a+ b+ c).且互相平分.所以 0P1 = 0P2

10、= 0P3.即 EL、FM、GN 交于一点，方i去归用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等找点时，要考虑运算的简便性.I®'站鋼3如图，在矩形0ACB中，E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE, BC= 3BF，若0C = DE+ 侨，其中 人 吐R,求入的值.解：在矩形 0ACB 中，0c= 0A+ 0B , 0C= DE + qF = x0A+ AE) + OB + E3F) =f 1 f f 1 f 3 + qf 3入 f入 OA + 3OB + q 0B+ 3OA =3OA +3OB ,3入 + q

11、 所以= 1,=1,、素养提升上规律呈现1. 对平面向量基本定理的理解(1) 实质：平面向量基本定理的实质是向量的分解.(2) 平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一 组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.(3) 零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底.(4) 这个定理体现了转化与化归的数学思想.2. 对基底的理解基底具备两个主要特征：(1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不唯一的平面 内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.注意零向量与任意向量共线,故不能作为基底.3. 平面向量基本定理唯一性的应用,亠X1=

12、 X2,设a, b是同一平面内的两个不共线向量，右X1a+ y1b= X2a + y2b，贝Vy1= y2.4. 重要结论设e1, e2是平面内的一组基底,当入e1 +恋2 = 0时恒有y = y=0a=力e1+ ye当y= 0时，a与e1共线当y= 0时，a与e2共线当 y = y= 0 时，a = 0易俣明范m 已知8工0, 入 R , a= e1+ ?e2, b= 2e1，贝U a与b共线的条件为 【解析】 若e1, e2共线,则a与b共线.1 = 2k若 e1, e2不共线,贝U a/ b? （e1 + 急）与 2e1 共线？ e1+ 匕2= 2ke#k R）?,即 a=0与b共线的条

13、件为=0.【答案】e1, e2共线或入=01 = 2k,本题常见错解为：由a与b共线知a = kb,即ei+2= k2ei,所以所以入入=0,=0此解法由a = ei+血,直接想到平面向量基本定理，将ei, e2看作基底忽视了ei与e2共线的情况.（2）防范：在应用平面向量基本定理时，要注意等式a =入ei+茏e2中，ei, e2不共线这个条件，若没有指明，则应对ei, e2分共线与不共线两种情况加以讨论.i .如图在矩形 ABCD 中，若 BC = 5ei, DC = 3ez,则 0C=()A7BrB.+ 3e2)12 (5ei 3e2)iC. 2(3e2 5ei)i2(5e2 3ei)解析

14、：选 A . (DC = 1Ac+ AB)=i(BC+ DC) =+ 3e2).2如图，已知AP=4AB，用OA、OB表示O）P, 则赤等于解析：因为ap=3ab ,3->-> 4 >所以 OP OA= 3(OB OA), i 4 即 op= 3OA+3Ob.答案：i 4 i0A+40B砌裁四凡固提旺学生用书Pi06（单独成册）A 基础达标i .若ei, e2是平面a内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（） 心+ &（人 吐R）可以表示平面 a内的所有向量； 对于平面a中的任一向量a,使a=心+心的实数人有无数多对； 若为，w,尼，国均为实数，且向量 ?iei +

15、（j）e2与尼ei+俘e2共线，则有且只有一个实 数入使 Xei + we2= X茏ei+昨）； 若存在实数入使心+ Q2 = 0,则冶尸0.A .B .C.D .解析：选B .由平面向量基本定理，可知说法正确，说法不正确对于 ，当？i =X= W= w= 0时，这样的 入有无数个.故选 B.2. ei, e2为基底向量，已知向量 AB = ei ke2, Cb= 2ei e2, CD = 3ei 3e2，若 A, B,D三点共线，则k的值是（）A . 2B. 3C. 2D. 3解析：选 A . DB = Cb CD = ei+ 2e2= （ei 2e2）.又 A, B, D 三点共线，则 D

16、B和AB 是共线向量，所以k= 2.3 .已知 ABC的边BC上有一点D，满足BD = 3 DC，则AD可表示为（）-> 3 i ->-> i -> 3 >A . AD = TAB +-ACB . AD = ；AB + ；AC4 444tttt 2 f i tC. AD = 2AB+ 3 ACD . AD = -AB + -AC>>>>>>3 t >3 t > i ->3 t解析：选 B .由 BD = 3 DC,得 AD = AB + BD = AB + "BC= AB + （AC AB）= 4AB

17、 + 4AC.4. 设非零向量 a, b, c满足|a|=|b|=|c|, a + b = c,则向量a, b的夹角为（）A. i50°B. i20°C . 60 °D . 30°解析：选B.设向量a, b的夹角为0,作BC= a, CA = b,贝V c= a+ b = BA（图略）,a, b的夹角为i80°/ C.因为 |a|=|b|=|c|,所以/ C= 60°,所以 0= i20 °.5. 若D点在三角形 ABC的边BC上，且CD = 4DB = rAB + sAC,贝V 3r + s的值为（1258C. 5解析：选

18、 C .因为 CD = 4DB = rAB + sAC,t 4 f 4 f f f f所以 CD= 4cb = 4（AB - AC）=rAB +sAC,441248CD和BC的中点，若AC=瓜E + A，其所以 r = 5, s= 5.所以 3r + s= 5= 5.6. 在平行四边形 ABCD中，E和F分别是边中入 口 r，y 入+ (1=.解析：如图所示,设AB= a, AD = b,则AE= £a+ b,1->AF = a+ 尹，又因为 AC= a+ b,f 2 > ->2所以 AC= 3（AE + AF）,即 X= i= 3,所以H尸3.答案：47. 在？A

19、BCD 中, AB = a, AD = b, N是AC上一点且AN = 3NC, M是BC的中点，若 用a, b表示MN，贝U MN =解析：如图所示，连结BD交AC于0点，则0为AC, BD的中点，又因为AN = 3NC ,所以AN = 3NC,即N为OC的中点， 又M是BC的中点，所以MN|bO,又 BD = AD aB = b a, 所以 MN = 2BO = BD = 4（b a）.1答案：4（b a）8. 如图，在 ABC 中，已知 AB = 2, BC = 3，/ ABC = 60° , AH丄 BC于H , M为AH的中点，若AM = 2AB + 1C，贝U入 +尸.解

20、析：因为AB = 2, ZABC= 60°, AH丄BC,所以BH = 1,又M为AH的中点，BC= 3,T 1 T 1 T T1 T 1T所以 AM = 2AH = 2（AB + BH） = 2（AB + §BC）21 T+ _BC，所以H62答案：39. 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.BC, AC, AB证明：如图所示，设D、E、F分别是 ABC的三边 的中点，令AC = a, BC = b为基底，T-T1-T1则AB= a b, AD = a 2b, BE = 2a+ b.设AD与BE交于点G1,且 AG1= A）, BG1=恒E,” ， T入一Th则有 AG

21、1 =右一2b, BG1= ?a + jjb.又有 AG1 = AB+ BG1= 1 2 a+ （卩一 1）b,所以解得匸尸f.T 2 T 所以 AG1 = fAD.f一 T 2 T 再设AD与CF交于点G2,同理求得AG2= fAD.所以点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点.所以三角形的三条中线交于一点.10. 如图，已知点 G是厶ABC的重心，若 PQ过厶ABC的重心 G , 且AB = a, AC= b, AP= ma, AQ = n b(m>0 , n>0),试问 m, n 的倒数和 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.TTT 1解：因为AB = a,

22、 AC = b, AD = 2（a+ b）,所以AG = 3AD = *a+ b）,T T TT由于P、G、Q三点共线,则PG/GQ? PG = GQ(入为正实数),-> -> -> 1 因为 PG= AG AP = 3(a+ b) ma11=二一 m a + -b,33，- -1 1 1 1 1 1 1GQ = AQ AG = nb 3(a + b) = 3*+ n 3 b,所以 3 一 m a + §b=入一3a + n 3 b ,可得11113 m+ 3入a + 3入+ 3入b = 0,由于a, b不共线，1 1 1 1 则必有 3 m+3?= 3 入 n 3

23、 = 0,11消去?整理得3mn = m + n,所以帚+ £= 3为定值.B 能力提升1.已知平行四边形 ABCD中，E为CD的中点，aP = yAD , Aq= xAB,其中x, y R, 且均不为0若PQ / BE,则X=.y 解析：因为 PQ = AQ AP = xAB yAD,由 PQ /BE,可设 PQ = BE ,即 xAB yAD = ?CEt1 t t则x=12.1?t tx= 2 入=2AB+ BAD,所以y= B答案：22如图，A, B, C是圆O上的三点，CO的延长线与线段 BA的延长线交 于圆O外一点D，若OC= mOA+ nOB,贝U m+ n的取值范围是 .解析：由点D是圆O外一点，可设BD = BA（B> 1）,则OD = 0B+ ?bA= -t-t-t-t-t入一tQA+ （1 ?OB.又 C, O, D 三点共线，令OD = QC（卩> 1）,则OC