2019-2020学年苏教版选修1求曲线的方程学案

1、抽象问遞情境化.新知无师自通曲线与方程y兀n舂料在平面直角坐标系中：问题1直线x= 5上的点到y轴的距离都等于5，对吗?提示：对.问题2:到y轴的距离都等于5的点都在直线x= 5上，对吗? 提示：不对，还可能在直线 x= 5 上.问题3:到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x= ±5.曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与个二元方程f(x, y) = 0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这 条曲线叫做方程

2、的曲线在平面直角坐标系中，已知A(2,0), B( 2,0).问题1:平面上任一点 P(x, y)到A的距离是多少？提示：|PA|=x-22+ y2.问题2:平面上到A, B两点距离相等的点(x, y)满足的方程是什么?提示：一 x 2 2+ y2= ' x+ 2 2+ y2.问题3:到A, B两点距离相等的点的运动轨迹是什么?提示：轨迹是一条直线.1. 求曲线的方程的步骤2. 解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程.通过曲线的方程，研究曲线的性质.归纳*升华领悟、正确理解曲线与方程的概念(1) 定义中两个条件是轨迹性质的体现条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”

3、，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在 曲线上而毫无遗漏(完备性).(2) 定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可.从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x, y) = 0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x, y) = 0是曲线C的方程的充分条件因此，在判断或证 明f(x, y)= 0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立.高额掉点题组化.名师一点就通|曲线与方程的概念 例1分析下列曲线上的点与相应

4、方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|= 2之间的关系；与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy= 5之间的关系；第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x + y= 0之间的关系.思路点拨按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.精解详析(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程 |x|= 2的解；但以 方程|x|= 2的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此，|x|= 2不是 过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.与两坐标轴的距离的积等于 5的点的坐标不一定满足方程 xy= 5，但以方程xy= 5的 解为坐标的点与两坐标轴

5、的距离之积一定等于5因此，与两坐标轴的距离的积等于 5的点的轨迹方程不是xy= 5.第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+ y= 0;反之，以方程 x+ y= 0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x+ y= 0.一点通(1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好 组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可.这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程, 曲线是不是所给方程的曲线的准则.(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形变形过程中一定要注意与原方程的等 价性，否则变形后的方程表示的曲线

6、就不是原方程的曲线另外，变形的方法还有配方法、 因式分解法.1. 命题“曲线 C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A .方程f(x, y)= 0的曲线是CB. 方程f(x, y)= 0的曲线不 -定是 CC. f(x, y) = 0是曲线C的方程D .以方程f(x, y) = 0的解为坐标的点都在曲线 C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”，但“以方程f(x, y) = 0的解为坐标的点”不一定在曲线 C上，故A、C、D都不正确，B正确.答案：B2. 方程4x? y2 + 6x 3y= 0表示的图形是()A .直线 2x

7、 y = 0B .直线 2x+ y+ 3 = 0C.直线 2x y= 0 或直线 2x+ y+ 3= 0D .直线 2x+ y = 0 和直线 2x y+ 3 = 0解析：方程可化为(2x y)(2x+ y+ 3)= 0,即 2x y= 0 或 2x+ y+ 3= 0.表示两条直线2x y= 0或2x+ y+ 3 = 0.答案：C|曲线与方程关系的应用例2已知方程x + (y 1) = 10.(1)判断点P(1 , 2), Q(.2, 3)是否在此方程表示的曲线上; 若点皿(罗，m)在此方程表示的曲线上，求m的值.，就是把点思路点拨对于，只需判断点P, Q的坐标是否满足方程即可；对于M的坐标代

8、入方程，从而得到关于m的方程，进而求出 m的值.精解详析/ 12+ ( 2 1)2= 10, ( 2)2+ (3 1)2= 6工 10,点P(1, 2)在方程x2+ (y 1)2= 10表示的曲线上，点Q( 2, 3)不在方程x2+ (y 1)2= 10表示的曲线上.(2) 点Mm， m)在方程x2 + (y 1)2 = 10表示的曲线上， x =罗,y = m适合上述185，方程,即(罗)2+ ( m 1)2= 10.解之得 m= 2 或 m= m的值为一点通(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否 适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说

9、明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范 围问题.3. 已知直线 I: x+ y 3 = 0 及曲线 C: (x 3)2 + (y 2)2 = 2,则点 M(2,1)()A .在直线I上，但不在曲线C上B .在直线I上，也在曲线C上C.不在直线I上，也不在曲线C上D .不在直线I上，但在曲线C上解析：将M点的坐标代入直线I、曲线C的方程验证可知点 M在直线I上，也在曲线C上.答案：B4如果曲线 ax2 + by2= 4 过 A(0, 2), B(* 3),贝V a=, b =1解析：曲线过A(0, - 2), B(2 ,3)两点，1 A(0

10、, 2), B(2,. 3)的坐标就是方程的解.4b = 4,- 1-'b = 1, a= 4.)4a+3b= 4,答案：415. 若曲线y2 xy+ 2x+ k= 0过点(a, a)(a R)，求k的取值范围.解：曲线y2 xy+ 2x+ k= 0 过点(a, a),2 2'a + a + 2a+ k= 0.k = 2a2 2a = 2(a +2 +1 k < 1,1 'k的取值范围是(一g, .|求曲线的方程例3已知圆C： x2 + (y 3)2= 9,过原点作圆C的弦OP,求OP中点Q的轨迹方程.思路点拨关键是寻找 Q点满足的几何条件.可以考虑圆的几何性质，

11、如CQ1OP , 还可考虑Q是0P的中点.精解详析法一：(直接法)如图，因为 Q是OP的中点，所以/ OQC = 90° 设Q(x, y)，由题意，得|OQ|2+ |QC|2=|OC|2,即 x2 + y2 + x2 + (y 3)2 = 9,所以x2 + (y1)2 = 9去掉原点).法二：(定义法)如图所示，因为Q是0P的中点，所以/ OQC = 90°则Q在以0C 为直径的圆上，故 Q点的轨迹方程为x2+ （y1）2 = |（去掉原点）.法三：（代入法）设 P(Xi, yi), Q(x, y),由题意，得r _X1x 2，xi= 2x,< 叭2_yilyi=2y

12、.y 2，又因为x1+ (yi 3尸=9, 所以 4 + 4(y 3)2 = 9, 即x2+ (y 3)2= 9(去掉原点).一点通求曲线的方程的常用方法及特点直接法动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x, y的等式就得到曲线的轨迹方程定义法动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量代入法动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我 们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得 动点的轨迹方程待定系数法根据条件能确疋曲线的类型，可设出方程形式，再根

13、据条件确疋待疋的 系数6等腰三角形的顶点是A（4,2），底边一个端点是 B（3,5），求另一个端点 C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.解：设动点C的坐标为（x, y）.BC为以A为顶点的等腰三角形,|AB|= AC|,彳(X4卄(V 2$ =弋(4 3$+( 2-5$,即(x 4)2 + (y 2)2= 10(xM 3,5).所以点C的轨迹方程为(x 4)2 + (y 2)2= 10,它表示以(4,2)为圆心，以10为半径且去掉(3,5)，(5， 1)的圆.7.已知 ABC, A( 2,0), B(0, 2)，第三个顶点 C在曲线y= 3x2 1上移动，求ABC的重心的轨迹方程.解：设ABC

14、的重心为G(x, y),顶点C的坐标为X, y1).由重心坐标公式得2+ 0+ X1 x=3，0 2 + y1y=3，|x1 = 3x+ 2,-代入 y1= 3x2 1，得y1 = 3y+ 2.23y+ 2= 3(3x+ 2) 1. = 9x2 + 12x+ 3即为所求轨迹方程.方法*规律小结'1求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称 性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁.应用2. 求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程

15、， 而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等.课下训镰经典化，贵在触类旁通1."点M在曲线y2= 4x上”是"点M的坐标满足方程y= 2 x”的()A .充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D既不充分又不必要条件M不一定解析："=一 2 x< 0,而y2= 4x中y可正可负，.点M在曲线y2 = 4x上，但 在y= 2 x上.反之点 M在y= 2 x上时，一定在 y2= 4x上.答案：B2.如图,B中方程C错；D解析：A中方程x2+ y2= 1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故 A错;x2 y2= 0 可化为(x

16、y)(x+ y) = 0,表示两条直线 x y= 0, x+ y= 0，故 B 错;1C中方程lg x+ Ig y= 1可化得y= x(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故x, x>0,中的方程y= |x|去绝对值得y=表示两条射线，所以 D正确.、一x, x<0,答案：D3. 动点C在曲线x2+ /= 1上移动时，它和定点 B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )2 2 2 2A . (x+ 3) + y = 4B . (x 3) + y = 1223 22C. (2x 3)2 + 4y2= 1D . (x+ ?)2 + y2= 1解析：设动点C的坐标为(x0, y&

17、#176;),P点坐标为(x, y),则由中点坐标公式可得x°+ 3y°+ 0即 X0= 2x 3, y0= 2y.又动点C(xo, yo)在曲线x2 + y2= 1上,2 2(2x- 3)2+ 4y = 1.答案：C4. 已知A(- 1,0), B(2,4), ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A .4x- 3y16= 0或4x- 3y+ 16= 0B. 4x 3y 16= 0或4x 3y+ 24= 0C. 4x 3y + 16= 0或4x 3y+ 24= 0D. 4x 3y+16= 0或4x 3y 24= 0解析：由两点式，得直线 AB的方程是y 0 x +

18、14 02 + 1即 4x 3y+ 4 = 0,线段 AB 的长度 |AB|= - ； 2+ 1 2+ 42= 5.设C的坐标为(x, y),1|4x 3y+ 4|则 2X 5x5= 10,即 4x 3y 16 = 0 或 4x 3y+ 24= 0.答案：B5. 方程x?+ y2 3x 2y+ k= 0表示的曲线经过原点的充要条件是 k =.解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k= 0.答案：06. 已知点 A( 2,0), B(3,0)，动点P(x, y)满足FA> PB = x2，则点P的轨迹方程是解析：FA = ( x 2, y), FB = (3 x, y), 则 FA PB = ( x 2)(3 x) + ( y)2= x2, 化简得y2 = x+ 6.答案：y2 = x+ 67. 求方程(x + y 1)、Jx y 2= 0表示的曲线.解：（x+ y 1）- x y 2= 0 写成 x+y1=0,5或 x y 2= 0.x y 2> 0,x+ y 1 = 0 ,x+ y 1 = 0,由得 3x y 2> 0,x> 2，x+ y 1 = 0,3表示射线 x+ y 1 = 0(x> 2),x y2> 0,3原方程表示射线x+ y 1 = 0(x> 2)或直线x y 2 = 0.&