高中物理--圆周运动--最全讲义及典型习题及答案详解

1、状元堂精品辅导资料第三节圆周运动【知识清单】（一）匀速圆周运动的概念1、 质点沿圆周运动，如果 ，这种运动叫做匀速圆周 运动。2、 匀速圆周运动的各点速度不同，这是因为线速度的 时刻在改变。（二）描述匀速圆周运动的物理量1、匀速圆周运动的线速度大小是指做圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值。 方向沿着圆周在该点的切线方向。2、匀速圆周运动的角速度是指做圆周运动的物体与圆心所连半径转过的角度跟所用 时间的比值。3、 匀速圆周运动的周期是指 所用的时间。（三）线速度、角速度、周期1、 线速度与角速度的关系是 V a ,角速度与周期的关系式是沪2 nT。2、 质点以半径r=0.1m绕定点做匀速圆

2、周运动，转速n=300r/min，则质点的角速度为rad/s,线速度为m/s。3、 钟表秒针的运动周期为 s,频率为 Hz，角速度为 rad/so（四）向心力、相信加速度1、向心力是指质点做匀速圆周运动时， 受到的总是沿着半径指向圆心的合力， 是变力。2、向心力的方向总是与物体运动的方向 ，只是改变速度的 ，不改变线速度的大小。3、在匀速圆周运动中，向心加速度的 不变，其方向总是指向 ，是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。4、向心加速度是由向心力产生的，在匀速圆周运动中，它只描述线速度方向变化的快 慢。5、 向心力的表达式 。向心加速度的表达式 。6、向心力是按照效果命名的力，

3、任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生 ，它就是物体所受的向心力。7、火车拐弯时，如果在拐弯处内外轨的高度一样，则火车拐弯所需的向心力由轨道对 火车的弹力来提供，如果在拐弯处外轨高于内轨，且据转弯半径和规定的速度，恰当选择内外轨的高度差，则火车所需的向心力完全由 和的合力来提供。8、汽车通过拱桥或凹的路面时，在最高点或最低点所需的向心力是由 的合力来提供。【考点导航】一、匀速圆周运动中，线速度、角速度、周期、频率、转速之间的关系T=1/fco=2 nT=2 n V=2 n/T = 2 nfgj=2 nn=f二、匀速圆周运动的特点加速度的大小不变， 方向总是指向圆心， 时刻在改变

4、，是变加速曲线运动，做匀速圆周运动的物体所受的合外力全部用来提供向心力，即合力的方向指向圆心。三、向心加速度、向心力1、根据F=ma知，向心力和向心加速度的方向相同，都时刻指向圆心，时刻在发生变化。2、向心力的来源：可以是任何一个力，可以是任何一个力的分力，也可以是某几 个力的合力。一、描述圆周运动的物理量及其相互关系1线速度定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度.s 2 二rv =大小：t T 单位为m/s.方向：某点线速度的方向即为该点的切线方向.（与半径垂直）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢.注：对于匀速圆周运动， 在任意相等时间内通过的弧长都相等，即线速度大小不

5、变，方向时 刻改变。2、角速度定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时, 间t的比值，就是质点运动的角速度 .大小：单位:rad/s.W2兀co =物理意t T 义：描述质点绕圆心转动的快慢.注：对于匀速圆周运动，角速度大小不变。说明：匀速圆周运动中有两个结论：同一转动圆盘（或物体）上的各点角速度相同.不打滑的摩擦传动和皮带 （或齿轮）传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。3、周期、频率、转速周期：做匀速圆周运动的物体，转过一周所用的时间叫做周期。用T表示，单位为s。频率：做匀速圆周运动的物体在1s内转的圈数叫做频率。用 f表示，其单位为转/秒（或赫兹），符号为r/s（

6、或Hz）。卩二防转速：工程技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间所转过的圈数，常用符号n表示，转速的单位为转/秒，符号是r/s,或转/分（r/min）。4、向心加速度定义：做圆周运动的物体，指向圆心的加速度称为向心加速度大小：方向：沿半径指向圆心 意义：向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢说明： 向心加速度总指向圆心， 方向始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。 向心加速度方向时刻变化，故匀速圆周运动是一种加速度变化的变加速曲线运动（或称非匀变速曲线运动）. 向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。对于匀速圆周运动， 其所

7、受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动。 如图所示，小球的合力不指向圆心， 因而其实 际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，其只改变速度的方向。而沿切线的分加速度只改变速度的大小。5、向心力定义：做圆周运动的物体受到的指向圆心的合外力，叫向心力。方向：向心力的方向沿半径指向圆心，始终和质点运动方向垂直,即总与圆周运动的线速大小：r m4?r2f2r = mv 询度方向垂直。36的效果：向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。补充知识：同轴传动、皮带传动和齿轮传动两个或者两个以上

8、的轮子绕着相同的轴转动时，不同轮子上的点具有相同的角速度，通过皮带传动的两个轮子上， 与皮带接触的点具有相同的线速度，齿轮传动和皮带传动具有相同的规律。、离心运动和向心运动i离心运动定义：做圆周运动的物体，在所受到的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力 的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向.受力特点当F= m® 2r时，物体做匀速圆周运动;当F= 0时，物体沿切线方向飞出；当F<m 3 2r时，物体逐渐远离圆心。F为实际提供的向心力如图所示.2、向心运动当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F

9、>m 3 2r,物体逐渐向圆心靠近.如图所示.三、圆周运动中的动力学问题分析1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的 合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2、向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.3、解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；(3) 分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；(4) 据牛顿运动定律及向

10、心力公式列方程；(5) 求解、讨论.四、圆周运动当中的各种模型分析1汽车转弯问题(1)路面水平时，转弯所需的向心力由静摩擦力提供，若转弯半径为R,路面与车轮之间的最大静摩擦力为车重的 卩倍，汽车转弯的最大速度为计算车辆通过倾斜弯道问题时应注意：公路弯道倾斜或铁路弯道外轨高于内轨，如果车辆转弯时的速度大于设计速度，此时汽车受到的静摩擦力沿斜面向内侧，火车受到外轨的压力沿斜面向内侧。(如图所示)这个力不是全部用于提供向心力。只有其水平分力提供向心力。原因是车辆做圆周运动的轨道平面是水 平面。yyN厂-字L_.xmg受力分析如下图受力分析如图所示，可得：Xcos=mg+/sinff2JVsin&qu

11、ot; + f cos（? = m解得：/'-r 2碌外轨 ££力:V =?mcosiJ-mgsinJV=ffitgcos6,+/wsinT如果车辆转弯时的速度小于设计速度，同理可得：V.Vf = mg9-m一cos;0（N二 jwgsinH加一cos）N = fflgcos+msin2、水流星模型（竖直平面内的圆周运动一一是典型的变速圆周运动）研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。（圆周运动实例） 火车转弯 汽车过拱桥、凹桥3 飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。 物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光

12、滑水平面上 绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等） 万有引力一一卫星的运动、库仑力一一电子绕核旋转、洛仑兹力一一带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力一一锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）（1）火车转弯：设火车弯道处内外轨高度差为 h，内外轨间距L,转弯半径R。由于外轨略高于内轨，使 得火车所受重力和支持力的合力 F合提供向心力。2 *由 F 合=mg ta nOmgsi n0=mg»=m* 得 v° =、i*Rgh （ v0 为转弯时规定速度）* = gta R（是内外轨对火车都无摩擦力的临界条件） 当火车行驶

13、速率V等于Vo时，F合 =尸向，内外轨道对轮缘都没有侧压力v2 当火车行驶V大于Vo时，F合 VF向，外轨道对轮缘有侧压力，F合+N=mR2 当火车行驶速率V小于Vo时，F合F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'= m VR即当火车转弯时行驶速率不等于 Vo时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度 不宜过大，以免损坏轨道。火车提速靠增大轨道半径或倾角来实现_ - -"a- - - - - - - - - 4- - " - - - -（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：受力：由mg+T=mv2恰好过最高点时，此时从高到低过程m

14、g2R= 2 mv2低点：T-mg=mv2/R = T=5mg ；恰好过最高点时，此时最低点速度：V低=2 gR 注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别: 低点，g都应看成等效的情况）/L知,小球速度越小，绳拉力或环压力T越小，但T的最小值只能为零，此时小球以重力提供作向心力. 结论：通过最高点时绳子（或轨道）对小球没有力的作用（可理解为恰好通过或恰好通不过的条件），此时只有 重力提供作向心力.注意讨论：绳系小球从最高点抛岀做圆周还是平抛运动。能过最高点条件：V > V临（当V > V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）讨论： 恰能通过最高点时:2v临mg= m ，临界速度V临

15、 =gR ；可认为距此点山丿2（或距圆的最低点）h =5R处落下的物体。_ 2此时最低点需要的速度为V低临=5gR最低点拉力大于最高点拉力 F=6mg 最高点状态：mg+T 1= m 高（临界条件t1=0,临界速度V临=,gR, V >V临才能通过）v低最低点状态:T2- mg = m l12 12高到低过程机械能守恒：2 mv低=2 mv高-mg2LT2- T1=6mg（g可看为等效加速度）1 2v2半圆：过程mgR= 2 mv 最低点T-mg= m R =-绳上拉力T=3mg ； 过低点的速度为V低=2gR小球在与悬点等高处静止释放运动到最低点，最低点时的向心加速度a=2g与竖直方向

16、成 涌下摆时，过低点的速度为v低=、2gR（1 - cost）,此时绳子拉力T=mg（3-2cos 7）（3）有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况:U 2 临界条件：杆和环对小球有支持力的作用（由mg-N=m知）当V=0时，N=mg （可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点） 当 当 当0 : v ：: gR时，支持力N向上且随v增大而减小，且v = gR 时，N =0v , gR时，N向下（即拉力）随v增大而增大，方向指向，速度v .；J：'gR时，受到杆的作用力mg N 0圆心。当小球运动到最高点时 但N ；： mg，（力的大小用有向线段长短表示）当小球运动到最高点时，速

17、度v = gR时，杆对小球无作用力当小球运动到最高点时，速度v>： gR时，小球受到杆的拉力N （支持）N =0N作用亍、滑"1丿环1不能过最高点条件：V<V临（实际上球还未到最高点就脱离了轨道）（以上规律适用于物理圆，但最高点，最竖直面内圆周运动的应用:汽车通过拱桥和凹型地面Namgf Nb*mg- N j = m rXV2NA=mg-m- mg - m 一N B = mg +m五、补充定理：在竖直平面内的圆周，物体从顶点开始无初速地沿不同弦滑到圆周上所用时 间都相等。（等时圆）一质点自倾角为的斜面上方定点 o沿光滑斜槽op从静止开始下滑，如图所示。为了使质点在最短时间

18、内从O点到达斜面，则斜槽与竖直方面的夹角：等于多少?六、注意：临界不脱轨有两种：1.达不到半圆 2.能到最高.【例1】质点做匀速圆周运动，则（BD ）在任何相等的时间里，质点通过的位移都相等在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等在任何相等的时间里，质点运动的平均速度的都相等在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等【解析】此题考查的是曲线运动的特点，即位移、速度的方向变化。故此题选BD【例2】质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（CD ）A .速度的大小和方向都改变B 匀速圆周运动是匀变速曲线运动C.当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D .向心加速度大小不

19、变，方向时刻改变解析:匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对.【例3】关于匀速圆周运动的说法，正确的是（BD ）A 匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B .做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C.做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D 匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体， 虽然速度大小不变， 但方向时刻

20、在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度.加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以 匀速圆周运动是变加速曲线运动故本题选B、D.【例4】在一个水平圆盘上有一个木块P,随圆盘一起绕过0点的竖直轴匀速转动，下面说法正确的是（AC ）圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力的方向指向圆心0点。圆盘匀速转动的过程中，P受到的静摩擦力为 0。在转速一定得条件下，P受到的静摩擦力跟 P到圆心0的距离成正比在P到圆心0的距离一定的条件下， P受到的静摩擦力的大小跟圆盘匀速转动的角速度成正比。【例5】如右图所示，一小球用细绳悬挂于 0点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小(CD )球以0点为圆心做圆周运动，运

21、动中小球所需的向心力是 A .绳的拉力B .重力和绳的拉力的合力C.重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力D .绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力【例6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整 条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.如图14甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义为:这个圆就叫做A点的曲率a角的方向以速度V0抛出，通过A点和曲线上紧邻 A点两侧的两点作一圆，在极限情况下， 圆，其半径p叫做A点的曲率半径.现将一物体沿与水平面成 如图乙所示.则在其轨迹最高点P处的曲率半径是图14v 02A.vTv02s in2B. T"v02cos2 a C. gv

22、02cos2 a D. gsin aP点可看做该点对应的竖直平面内圆周 mg= mv2，解得 p= v2 =pg g答案 C解析 物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知:v02cos2 a g【例7】如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点左侧是一轮轴，大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,b到小轮中心的距离为 r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上若在传动过程中，皮带不打滑则（AB ）A . a点与b点的线速度大小相等B. a点与b点的角速度大小相等C. a点与c点的线速度大小相等D. a点与d点的向心加速度大小相

23、等【解析】a和c是与皮带接触的两点，二者具有相同的 线速度，b、c、d属于同轴传动，它们具有相同的角速度, 由v=r 3、向心加速度的表达式和它们半径之间的关系，图_1不难选出正确答案为 AB 。【例8】如图一1所示,传动轮A、B、C的半径之比为2: 1 : 2, A、B两轮 用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于 A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之 比，即 3 a: 3 b: 3 c: 3 d 1:221,线速度之比，即 va:vb:vc:vc= 2:241向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad=2:4:8:1 .【例9

24、】下列关于离心现象的说法正确的是（C ）A 当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背 离圆心的圆周运动C. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动D 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动解析 物体只要受到力，必有施力物体，但 离心力”是没有施力物体的， 故所谓的离心力是 不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，口白 0-00- fl*00 p ° 0 右 ° A e a -o q ° 口* 口

25、打立鼻p D 电 ° ci 0-° 7当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对.【例10】如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在 匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服（C ）A .受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用B .所需的向心力由重力提供C.所需的向心力由弹力提供D .转速越快，弹力越大，摩擦力也越大解析衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所 受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN = mm2,转速越大，FN越大.C对，B、D错.【例11】如图，A、B两质点绕同一圆

26、心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点再次相距最 近？VB【例12】如图所示，线段 OA = 2AB , A、B两球质量相等.当它们绕（）点在光滑的水平桌 面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少？答案：5:3【例13】如图所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一端 0在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时 的速度v = gr/2,在这点时（B ）A .小球对杆的拉力是学B .小球对杆的压力是mg2C.小球对杆的拉力是2mgD .小球对杆的压力是 mg解析 设在最高

27、点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg FN =叮，得出FN =尹g，故杆对小球的支持力为1-mg,由牛顿第三定律知，小球对杆的压a不变，则下列说法中正确的向心力越大线速度越大向心力做功越多【例14】 飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技 演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模 型如图7所示.若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩 托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离 地面的高度为H，侧壁倾斜角度是（B ）A. 摩托车做圆周运动的 H越高, B .摩托车做圆周运动的 H越高, C.摩托车做圆周运动的 H越高,D .摩托车

28、对侧壁的压力随高度 H增大而减小解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H的变化而变化，A错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即正确；向心力与速度一直垂直，不做功,F合=m，随H的增大，r增大，线速度增大，B rC错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，D错误.1 力为qmg , B正确.【例15】如图所示，半径为 R的光滑圆形轨道竖直固定 放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互 作用力.下列说法中正确的是 (AD

29、)A .半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B. 半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C. 半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大解析小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg =mv 02R，即V0D .半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小v= 5gR，则最低点时的角速度3= V =选项D正确而C错误.=gR，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为【例16】长为L的细线一端拴一质量为 m的小球，另一端固定于 0点，让其在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，摆线L与竖直方向的夹角是 a时，求:线的拉力F小球运动的线速度的大小小球运动的角

30、速度及周期O解析： 孔曙川次(1)cusa 2(2) 狀r(3)卩二叔伽伽in aAsina【例17】在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的0.6倍.取g = 10 m/s2试问：汽车在这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时，其弯道的最小半径是多少？解析I汽车心平弯道上捞殍时.向心力山静摩擦力来提供.但 不施期过虽人静摩擦丿山汽铢水平路面上拐弯*可視为汽乍做匀速関周运动，恰好不滑动时右将打=31) mMtA.得竄小弯道半径一15(1 m.【例18】质量为m的飞机以恒定速率 v在空中水平盘旋，如图 其做匀速圆周运

31、动的半径为 R,重力加速度为g，则此时空气 对飞机的作用力大小为（C ）v2A. mB. mg解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F向=m.飞机受力R情况示意图如图所示，根据勾股定理得:F= I 叽 g. 2+ F 向2= m【例19】如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上, 半径r= 0.4 m，最低点处有一小球（半径比r小的多），现给 小球一水平向右的初速度vO,则要使小球不脱离圆轨道运动，vO 应满足（g = 10 m/s2）（ CD ）A . vO > 0B . vO > 4 m/sr9C. vO

32、 >25 m/s解析解决本题的关键是全面理解D . vO<2 2 m/s小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：（1）小球通过最高点并完成圆周运动；（2）小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道.对于第种情况，当vO较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg< mv2/r，又根据机械能守恒定律有mv2/2 + 2mgr = mv2/2，可求得 v0>2. 5 m/s, 故选项C正确；对于第种情况，当vO较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr= mv2/2,可求得v0&

33、lt;2 2 m/s，故选项D正确.【例20】用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图10所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动 的角速度为3,细线的张力为FT,贝U FT随32变化的图象是 下列选项中的（C ）解析 小球未离开锥面时，设细线的张力为FT,线的长度为L,锥面对小球的支持力为 FN , 则有：FTcos 肝 FNsin 9= mg 及 FTsin 9- FNcos 0= nmo 2Lsin 0 可求得 FT =mgcos 俨 mo 2Lsin2 0可见当o由0开始增大，FT从mgcos 0开始随o2的增大而线性增大，当角速度增大到小 球飘离锥面时，有

34、FTsin = mo 2Lsin a其中a为细线与竖直方向的夹角，即FT = mo 2L ,可见FT随o2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确.【例21】火车在某转弯处的规定行驶速度为v,则下列说法正确的是( AC )A、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向心力B、当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹力的合力提供了转弯的向心力C、当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨D、当火车以小于 v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨【例22】如图所示，物体 A放在粗糙板上随板一起在竖直

35、平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置i、n在同一水平高度上，则()A. 物体在位置i、n时受到的弹力都大于重力”B. 物体在位置i、n时受到的弹力都小于重力.C. 物体在位置I时受到的弹力小于重力，位置n时受到的弹力T屮都大于重力D. 物体在位置I时受到的弹力大于重力，位置n时受到的弹力都小于重力【例23】如图所示，位于竖直平面上的 1/4圆弧光滑轨道，半径为 R, OB沿竖直方向，上 端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上 C点处， 不计空气阻力，求：小球运动到轨道上的b点时，对轨道的压力多大？fPL®彳(2)小球落地点C与B点水

36、平距离s是多少？，役Jr答案：¥ 型()N = 3mg1c【例24】如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为I的细线悬挂一质量为m的小球圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向， 母线与轴线之间的夹角为 30?小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面 内做匀速圆周运动.(1)当 v1 =当v2 =时，求线对小球的拉力.解析 如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN = 0时，小球只受重力 mg和线的拉力FT的作用，其合力 F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F= mgta n 30又 f= m四=m-2-r Isin 30因为v1<v0，所以小球与锥面接触并产生支持力FN，此时小球受力如

37、图乙所示根据牛顿第二定律有FTsin 30 - FNcos 30 =mv 12Isin 30FTcos 30 + FNsin 30 -mg= 0+ 3 3由两式解得 FT =6心1.03mg因为v2>v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为a小球受力如图丙所示.则FTsinmv22=t IIsin aFTcos a mg = 0由两式解得FT = 2mg答案(1)1.03mg(2)2mg【例25】如图所示，用细绳一端系着的质量为M = 0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔0吊着质量为m = 0.3 kg的小球B, A的重心到O点的距离

38、为0.2 m .若A与转 盘间的最大静摩擦力为 Ff = 2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中 心O旋转的角速度 3的取值范围.（取g= 10 m/s2）答案 2.9 rad/sw6.5 rad/s解析 要使B静止，A必须相对于转盘静止 一一具有与转盘相同的角速度.A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供.角速度取最大值时,A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O;角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心 O.设角速度3的最大值为3 1,最小值为3 2对于 B : FT = mg对于 A : FT + Ff = Mr3 12或 FT Ff = Mr3 22代入数据解得 3 1= 6.5

39、rad/s, w2= 2.9 rad/s 所以 2.9 rad/s<6.5 rad/s.【例26】如右图所示，轻线一端系一质量为m的小球，另一端穿过光滑小孔套在正下方的图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为a、角速度为3的匀速圆周运动.现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被 A正上方距A高为h的图钉 在平台上做匀速圆周运动.求：(1) 图钉A拔掉前，轻线对小球的拉力大小？(2) 从拔掉图钉A到被图钉B套住前小球做什么运动？所用的时间为 多少？(3) 小球最后做圆周运动的角速度.叫解析|图钉乂拔掉亂 轻线的拉力大小为F »川P(2沙球沿切线力詞飞出做匀速盲线富动，直到线环械閤

40、钉胖套 住，小球速度为匀速运动的位- (a + A) 1 点由机械能守恒得 ？mv m2n = mg2r + mv02,可得小球在最低点瞬时速度的最小值为'5gr; 为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg,满足3mg v1211 =m,从最低点到最高点由机械能守恒得：mv max = mg-2r + ?mv12,可得小球在最低点 瞬时速度的最大值为.7gr. ；2ah f A答案 CD (如图)，则时河戸討還:h -(3归可分解为切向速度5和法向速度绳林紧麻盹小球以速度孙做匀速闘周运动*半暫F=森十乩 由巧=孑台。=挥得【例27】如图11所示，竖直环

41、A半径为r，固定在木板 B 上, 木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定 在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C, A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时 速度v,小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通图11过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足(CD )A .最小值，4grC.最小值.5grB .最大值,6grD .最大值，7gr解析要保证小球能通过环的最高点,在最高点最小速度满足v02mg = m;,由最低点到最高【例28】一轻杆一端固定质量为 m的小球，以另一端 0为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动

42、，如图所示，则下列/说法正确的是（A ）/ 尺A 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零:?jB .小球过最高点的最小速度是,gRC.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D .小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案 A解析因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零， A对;在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C、D错.【例29】如图甲所示，用一根长为I = 1 m的细线，一端系一质量为 m = 1 kg的小球（可视为 质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向

43、的夹角0 = 37 °,当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为3时，细线和张力为 （取g= 10 m/s2,结果可用根式表示）求：tr/NO甜引（rad/s）图乙（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度3 0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度 3 '为多大？细线的张力T与小球匀速转动的角速度3有关，请在如图乙所示的坐标纸上画出当3的取值范围在0到3之间时的T - 3 2图像（要求标明关键点的坐标值 ）.【解題样板1（1闹要小球刚好离开锥面，则小球受到咽力和细线拉儿 小球做匀速開周迄动的轨迹阀在水平面匕 故向心力水平.在 水平方

44、向运用牛顿第二定律及向心力公式玄（2分）解制19'即则=止盯门2.5洌分（2）同理，当细线与整点方向成60呼ft时.由牛顿第二定律及向心力 公式=（2分解社“ J盘即“ i住7分）（3）当毎二 0时.r=mffcustf =8 N（l）标册第 个特殊点唯标（1分）水平方向山存锁笫二足悴及向右力公式：竪直方向由丫衡条件知=卩分）解得 w T= E?CTMi+ mZfr/sdn28+m2（ 1 分）故25w =12*5md；#时，T 12.5 N标山第二个特殊点坐标（1分）当 &ZSr«V$W血W ；20 rad/sllt 小味黒开 向夹角为“Ttunfl1 分解待，分）

45、廿3=亦 =720rd/* 时.F2ON标出第2个特殊点坐标。分）Mii（r-«2pEl«itoira所示.（3分）【例30】如图所示，小球被长为 L的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平初速度，才能 使绳在小球运动过程中始终绷紧？満铤此余件的水平理度为珈3叭=寸辭匚Fh球只链挟动卿呈点高度卜的某一他SL 做不完樵的阕制忑动.砒肘小球在垦商点延动的绰度为审.这层妹荷小球的初速度存住某个垠大值也*姐:01洞mgL満足此誤件的过度为巩W血一2L敬木平初速度珈的2 z或* 如丄IMS：分析|错解I只耆虑小球运动隹鼠高点绳不松屯得血 询耳議；或者只唐馬运动高度不撅过恳点符出盹W 亦的

46、结趾错解2错嵌Hl认为小球做冏周试动通过最高点的速度是o面得出 错決结论却岀码好销解3做題彳也II致*把速度#M写廉 丽 W码茎话騒*此为绳 松业的*件.正解祎I金小球3过程中绳姑烫细箏.冇厲种诸况二（i）4-球能聞辻最崙点.傲完横的阀屈駅动*此时小球斎垠局点冇 星小连度心=伍址垠魅点的迪度为叭第由别械號守机庇彳IM：拆硏第三节圆周运动创新训练1.个物体以角速度 3做匀速圆周运动时.下列说法中正确的是：（A ）A .轨道半径越大线速度越大C.轨道半径越大周期越大B .轨道半径越大线速度越小D .轨道半径越大周期越小(B )2.下列说法正确的是：（C ）A 匀速圆周运动是一种匀速运动B 匀速圆周

47、运动是一种匀变速运动C.匀速圆周运动是一种变加速运动D 物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改 变线速度大小3如图所示，小物体 A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A的受力情况是：（B ）A 受重力、支持力B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C .受重力、支持力、向心力、摩擦力D .以上均不正确4. 一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则：A .绳的拉力突然变小B .绳的拉力突然变大C .绳的拉力没有变化D.无法判断拉力有何变化5、如图一3所示的皮带传动装置中，轮 A和B同轴，A、B、C分别 是三个轮边缘的质点，且 Ra=Rc=2Rb，则三质点的

48、向心加速度之比 aA: as： ac等于（A ）A. 4： 2: 1B. 2: 1 : 2 C. 1 : 2: 46. 质量为m的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是：（A ）A、6mg B、5mgC、2mgD、条件不充分，不能确定。7. 两个质量分别是 m1和m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为 接，水平杆随框架以角速度 3做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图 示，求两球离转动中心的距离 R1和R2及细线的拉力.解析：绳对m1和m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意R1 + R?= L , R?= L-R1对 m1 ： F = m1

49、3 R1对 m?: F = m? 3 R2 = m? 3 (L- R1) 所以 m 3 R1 = m23 (L- R1)即得:m2Lmim22m Lmm2m2Lmm2mm2 2Lmm2答案:m2Lmim2miL厂mim2 2L；F =mim2mim28 A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是 B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（DA. 1 : 1B. 2: 1 C. 4: 1 D. 8: 19、 如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r, a为它边缘上一点；左侧 是一轮轴，大轮半径为 4r，小轮半径为2r, b点在小轮上，到小轮中心的距 离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则：（C ） a点和b点的线速度大小相等 a点和b点的角速度大小相等 a点和c点的线速度大小相等 a点和d点的向心加速度大小相等A.B. C. D.10、 如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，