高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

1、对数与对数函数1.对数(1) 对数的定义：如果ab=N (a > 0,1),那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN = b.(2) 指数式与对数式的关系：ab=N：= logaN = b( a>0，a 1, N >0) 两个式子表示的 a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化(3) 对数运算性质： loga ( MN ) =lOgaM+lOg aN. lOga M =log aM log aN.N logaMn= nlogaM. ( M >0, N >0, a>0, a 1) 对数换底公式：logbN= IM a N (a>0, a丰 1,

2、 b>0, b* 1, N>0).logab2.对数函数(1 )对数函数的定义 函数y=logax (a>0, a* 1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0, + m).注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应 b的值的。但是，根据对数定义：log aa=1 ;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如 log1 1也可以等于2, 3, 4 , 5，等等)第二，根据定义运算公

3、式：loga MAn=nlog a M如果a<0,那么这个等式两边就不会成立(比如，log(-2)4*2)就不等于(-2)*log(-2)4 ;一个等于1/16 ,另一个等于-1/16 )(2 )对数函数的图象I| y=l ogax（0<g<1）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.(3 )对数函数的性质： 定义域：(0, +m). 值域：R. 过点(1, 0)，即当x=1时,y=0.当a> 1时，在(0, +8)上是增函数；当 0v av 1时，在(0, + 8)上是减函数基础例题题型1 (对数的计算)1.求下列各式的值.111(2) log 2 X log

4、3 X log 5.25891(1)log5 +2 logi 2 - log5° log5 ；22.log 535 + 2|og1、2 log215 log 514;503.log1112 X log 3 X log 5.25894.1 logs?log? 4 - log? 3 .5.2 2lg 5 -lg 2 lg4练习题1.计算：1 5lg lg + lg12.5 log 89 log 272 842lg 2 lg31 1lg0.36 glg8(6).log 2 24 +lg 1 -log 3/27 + lg 2 -log 2 37.2例2.已知实数x、y、z满足3x= 4y=

5、6z> 1.212(1)求证：彳+丄=三；xyz 试比较3x、4y、6z的大小.练习题.已知log代9= a, 18b = 5,用a、b表示log 3645.题型二：(对数函数定义域值域问题)例1已知函数f x =log2 2 X的定义域为集合 A，关于X的不等式2a :：: 2-x的解集为B，若A B，求 x -1实数a的取值范围._n2 设函数y = log2(ax -2x 2)定义域为A .(1 )若A = R，求实数a的取值范围；(2)若log2(ax2 -2x 2) 2在1,2上恒成立，求实数 a的取值范围.2练习题1.已知函数f x=lg ax 2x 1(1 )若f x的定义

6、域是R,求实数a的取值范围及f x的值域；(2 )若f x的值域是R，求实数a的取值范围及f x的定义域2求函数y=2lg (x-2) lg (x-3)的最小值.题型三(奇偶性及其单调性)例题1.已知定义域为 R的函数f(x)为奇函数，且满足 f(x + 2) =-f(x)，当x 0,1时，f(x) = 2x- 1.(1)求f(x)在1,0)上的解析式；求f( log1 24)的值.22.已知f (x) =log 1 3-( x- 1) 2,求f (x)的值域及单调区间3已知y=loga (3-8乂)在0, 2上是x的减函数，求a的取值范围4 已知函数 f (x) =lg(2 x) lg(2

7、- x).(i)求函数y=f(x)的定义域；(n)判断函数y = f (x)的奇偶性；(川)若f (m2) ： f (m)，求m的取值范围练习题 1 已知函数 f(x) = log a(x + 1) - log a(1 x)(a > 0, a* 1)(1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性，并给出证明；当a > 1时，求使f(x) > 0的x的取值范围93已知f(x)是定义在R上的偶函数，且 x乞0时，f(x) Jogd-x 1).2(I)求 f(0) , f (1);(n)求函数f (x)的表达式；(川)若f(a -1) ： -1，求a的取值范围.题型4 (

8、函数图像问题)例题1函数f (x) =|log2x|的图象是B2求函数y= log2 I x丨的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间3 .设 f(x) = |lg x| , a, b 为实数，且 0v av b.(1)求方程f(x) = 1的解；fa +b 若a, b满足f(a) = f(b) = 2f I电上I 2丿求证：a b= 1,> 1.练习题：11 .已知 a 0且 a =1，函数 f (x) = loga(x 1) , g(x) =log a，记 F(x) =2f (x) g(x)1 -x(1) 求函数F(x)的定义域及其零点；x2 .已知函数 f(x) = log 4(

9、4 + 1) + kx(k R)是偶函数. (1)求k的值；a的取值范围.(2)设g(x) = log 4 a ?2x 4 a，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数133.函数y= log2 I ax 1 | (0)的对称轴方程是 x= 2,那么a等于 题型五：函数方程1 方程 lgx+lg (x+3) =1 的解 x=.(丄)x,xa：4,山2.已知函数f (x)=2则f (2+log23)的值为 f(x +1),X <4,4 .已知函数 f (x) = loga (ax；x)(a .0,a=1 为常数).(I)求函数f (x)的定义域；(n)若a =2 , x 1,9 1,求函数f (x)的值域；(川)若函数y二af(x)的图像恒在直线 y = -2x 1的上方，求实数a的取值范围1 xx5.已知函数 y log2 log2(2_x_8).2 42(I)令t =log2 x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围;(n)求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.6.设函数 f (x) =lg (1 x), g (x) =lg (1+x)，在 f (x)和 g (x)的公共定义域内比较|f (x) |与 |g