高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

1、高中数学辅导网高中数学典型例题分析第八章 平面向量与空间向量§ 8.1平面向量及其运算、知识导学1. 模（长度）：向量AB的大小，记作| AB |。长度为0的向量称为零向量，长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。2. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。3. 相等向量：长度相等且方向相同的向量。4. 相反向量：我们把与向量 a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量。记作-a。5. 向量的加法：求两个向量和的运算。已知a , b。在平面内任取一点，作 AB = a , BC = b，则向量AC叫做a与b的和。记作a + b。6. 向量的减法：求两个向量

2、差的运算。已知a , b。在平面内任取一点 0,作OA=a , OB=b，则向量BA叫做a与b的差。记作a - b。7. 实数与向量的积：（1）定义： 实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，并规定: 入a的长度|入a |=|入| a | ； 当入0时，入a的方向与a的方向相同； 当入v 0时，入a的方向与a的方向相反；当入=0时，入a = 0入、1为实数，则（2）实数与向量的积的运算律：设 入（a ）=（入口 ） a （入 + 1） a = a +1 a 入（a + b）=入a +入b8. 向量共线的充分条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入，使得b =入a。另外，设 a

3、= （X1 ,y 1） , b = （x 2,y 2），贝U a / bxy X2y1=09. 平面向量基本定理：如果e1、e?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 入1、入2使 a =入y +入2曳，其中不共线向量 ei、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。10.定比分点设Pi,P2是直线I上的两点，点P是不同于Pi,P2的任意一点则存在一个实数入，使RF2=入P1P2,入叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1,y1), (x,y),gy 2)，则有京翰教育 X<H x2X2y1 y y =2特别当入=1，即当点P是

4、线段P1P2的中点时，有11.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a和b ,它们的夹角为0 ,则数量| a | b |cos 9叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a b，即a b = | a | b |cos 9规定：零向量与任一向量的数量积是0。(2)几何意义：数量积a b等于a的长度| a |与b在a的方向上的投影| b |cos 9的乘积。 性质：设a , b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量， 9是a与e的夹角，则e a = a e = | a |cos 9, a 丄 b：= a b = 0当a与b同向时，a b = | a| b |当a与b反向时，a b =- |

5、a | b |=»/-）aa*I =»特别地，a a = | a| 或|a| = a aa b-cos 9 =| a b | <| a | b |环b运算律：a b = b a （交换律）（入 a） b =入（b a ） = a （入 b ）（ a + b ） c = a c + b c(5)平面向量垂直的坐标表示的充要条件:设 a= (X1 ,y 1) , b = (x 2,y 2)，贝Ua_b：= a b =| a | lb |cos90 ° =0a _ b ：= X1X2+y1y2=012.平移公式：设P (x, y)是图形F上的任意一点，它在平移后图

6、形F/上对应点为P (x/, y/),且设PP/ 的坐标为(h，k),则由 OP，= OP + PP/，得：(x/, y/) = ( x, y) + ( h, k)二、疑难知识导析1.向量的概念的理解，尤其是特殊向量"零向量”向量是既有大小，又有方向的量.向量的模是正数或0,是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的.两个向量的模相等，方向相同，我们 称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线 向量；2在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时

7、，一定要区分好两 个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；4.定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开 计算的；5平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的 坐标给出，同时注意顺序。三、经典例题导讲例1和a = (3, 4)平行的单位向量是 134a,5即(3，5)错解：因为a的模等于5,所以与a平行的单位向量就是 错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。4a= (3, 4)垂直-13正解：因为a的模等于5，所以与a平行的单位向量是-5a，即(5，点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和 的单

8、位向量”，结果也应该是两个。例2已知A (2, 1), B (3, 2), C (-1 , 4),若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。错解：设D的坐标为(x, y),则有x-2=-1-3 , y-1=4-2 ，即x=-2 , y=3。故所求D的坐标 为(-2 , 3)。错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD勺顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD因此，还需要分类讨论。正解：设D的坐标为(x, y)当四边形为平行四边形 ABCD寸，有x-2=-1-3 , y-仁4-2 ，即x= -2 , y= 3。解得D的坐标为(-2 , 3)；

9、当四边形为平行四边形 ADBC时，有x-2=3- (-1 ), y-仁2-4 ，即x= 6 , y= -1。解得D 的坐标为(6, -1 );当四边形为平行四边形 ABDC寸，有x-3=-1-2 , y-2= 4-1 ，即x= 0, y= 5。解得D的坐标为(0，5)。故第四个顶点 D的坐标为(-2，3)或(6，-1 )或(0, 5)。例3已知R(3,2) ，P2( 8，3)，若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐 标。19 8错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P( 一，)3 3 错因：对于|P1P| = 2|PP

10、 2|这个等式，它所包含的不仅是点 P为P1，P2的内分点这一种情况， 还有点P是P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：19 8当点P为P1, P2的内分点时，P分RP2所成的比为2,此时解得P ( 一，一)；3 3当点P为P1, P2的外分点时，P分P1P2所成的比为-2，此时解得P (13 , 4)。19 8则所求点P的坐标为(一,-)或(13, 4)。3 3点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的 数学思想。例 4设向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，b = 0，则 a/b ”是 *"2 二 x2y1 ”的A.充

11、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可.解：若 a/b , b = 0，则 a = rb，代入坐标得：(x，yj = r(X2,y2)，即 xrx2 且y1 =ry2 消去 r，得 xy2 =X2y1 ；反之，若 xy2 二 x2y1，贝U= rx2且= ry2，即(x，y)= r(x2, y2)则 a = rb a/b故"a/b ”是"x°2二X2y1 ”的充要条件.答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示.例 5.已知 a= (1, -1 ) , b = (-1 , 3), c

12、 = ( 3, 5)，求实数 x、y，使 c =xa +y b 分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可.解：由题意有x a +y b =x (1, -1 ) +y (-1 , 3) = (x-y , -x+3y ).又 c = (3, 5)/x -y=3 且-x+3y=5 解之得x=7且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法.1J-1、例 6已知 A (-1 , 2), B (2, 8), AC= AB , DA = - BA，求点 C、D和向量 CD 33的坐标.分析：待定系数法设定点 C、D的坐标，再根据向量 AC AB , DA和CD关系进行坐标 运算，用方

13、程思想解之.解：设C D的坐标为(xy1)、(X2,y2)，由题意得AC= ( X1 1,y1 -2) , AB= (3, 6), DA= ( - 1 X2,2 - y2), BA= (-3 , -6 )1 1 又 AC= AB , DA = - BA3311.( X1 1, y 2) = ( 3, 6),( 1 'X2,2 y2) =-(-3 , -6)33即(X1 1, y -2)=(1,2) , ( 1 'X2,2 y2)=(1,2)X1，1=1 且 y1-2=2,-1-X2=1 且 2-y2=2二X1= 0 且y1= 4，且X2-2y2= 0点C、D和向量CD的坐标分别

14、为（0, 4）、（ -2 , 0）和（-2 , -4 ） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高.(A)1(B)2)a,b, c 满足 a b c-Oa b,|aF1,|b|=2,则 | c | -(D)5(C)43.4.4x，则向量a =5，贝U B点坐标为_5.的夹角为以为邻边作平行四边形。求平行四边形对角线的长。6.（ 2006年高考辽宁卷）已知AABC的三内角 代B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p =(a c,b),q =(b -a,c - a)，若 p/q,则角 C 的大小为兀(A)6兀(B)3ji(C) 2(D)§ 8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、

15、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和, 弦的积的2倍，即222abc-2bccosAbac-2accosB222cab-2abcosC减去这两边与它们夹角的余2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直 径，即卩a bsin Asin B、疑难知识导析csi nC=2R1 初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当JTC=时，cosC =0,此时2有 c2 二 a2b2 ；2 由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥 曲线等知识非常熟悉方可。三经典例题导讲已知a2= b2+ bc + c2,则

16、角 A为(jiA.3错解：选A 错因：公式记不牢,B. C.63误将余弦定理中的“减”22222正解：Ta = b + bc + c = b + c 2bc(记作“加”。1 2 2)=b + c 2bc 2cos./ A=3选 C.例2在厶ABC中，已知acosA二bcosB，试判别其形状。错解：等腰三角形。错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由a cos A = b cos B 得,si rAco sA =si nBco sB，即sin2A二sin 2B，贝y 2A = 2B。接着下结论，所求三角形为 等腰三角形正解：由 acosA=bcosB 得，sinAcosA=sin Bco

17、sB，即 sin 2A = sin2B例3在三角形的形状。错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最 值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。正解：由正弦定理,得 a=2( 62 )sinA, b=2(62 )sinB.a+b=2(. 62 )(sinA+sinB)=4(. 6、2 )sin2A B A- Bcos -2sin A 旦=sin75 o2a+b=(、6.2 )2 cos B < (.6.2 )2=8+4 . 3 .2当a=b时，三角形周长最大，最大值为8+4 . 3 + . 62 .此时三角形为

18、等腰三角形例1在ABC中，中，,其内切圆面积为,求分析：题中涉及到内切圆, 又由边联系起来了。而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理解：由已知，得内切圆半径为2.、3 .由余弦定理，得三角形三边分别为 16,10,14.例5已知定点 A(2,1)与定直线l:3x-y+5=0,点B在丨上移动，点M在线段AB上,且分AB的 比为2,求点M的轨迹方程.分析：向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，形成了代数与几何联系的新纽带.解：设 B(x o,y o),M(x,y) AM =(x-2,y-1), MB =(xo-x,y o-y),由题知 AM =2MB'x

19、-2 =2(Xo -x)畀 j =2(yo -y)x0 -yo =3x -223y -123x 2 3y _1由于 3xo-y o+5=O, 3X-+5=02 2化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0例6过抛物线:y 2=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA OB如图),求证：直线AB过一定点，并求出这一定点.OA=(S,t1), OB=(2p证明：由题意知可设 A点坐标为(2 2t1一t2,t 1),B点坐标为(,t 2)2p2p6 OB,-OA?OB=0=工Jt1?t2=02p 2p分析：对于向量a=(xi, yi), b=(X2,y2),有a/ b= xiy2-X2yi=0

20、.可以用来处理解析几何中的三 点共线与两直线平行问题=t 1?t 2=-4卩2n ,t 1-t2p2),由于向量BM与BA是共线向量，'（ a-2p(t 1-t 2)= (b-tt;2p”t2. t2设直线 AB过点 M(a,b),则 BM =(a- ,b-t 2), BA=(-2p2p化简得 2p（a-2p）=b（t1+t 2）显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立直线AB过定点，且定点坐标为 M（2p,0）四典型习题导练1 已知锐角三角形的边长分别为2, 3, x，则第三边x的取值范围是（）的面积为1< xv 53. ABC中，若边 a： b: c=2 : (1 +3) :

21、 2,则内角 A= 4.某人在C点测得塔顶 A在南偏西80°,仰角为45°,此人沿南偏东 40°方向前进10米到0,测得塔顶 A仰角为30°,则塔高= 。5 .在 ABC中，已知B= 30°, b= 50, c= 150,解三角形并判断三角形的形状。6.在 ABC中，已知cot A cotB cotC，判定 ABC是什么三角形。探§ 8.3空间向量及其运算1，这个基底叫单z、知识导学1 +空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 位正交基底，用i,j,k表示；（2）在空间选定一点 0和一个单位正交基 底i,

22、j,k，以点O为原点，分别以i, j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系0-xyz，点O叫原点，向量i, j, k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的 平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组（x, y,z），使OA = xi yj zk，有序实数组（x, y,z）叫作向量 A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作 A(x, y,z) , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.3空间向量的直角坐标运算律：(1)若 (a1)a

23、2,a3) , (,b2,b3),则 a b=(a b!,a2 p,a3 戈)，a-b = (ad,a2-b2,a3-d)， ( a1, a2, a3)( R)，a b 二印!azbasbs，a/b：= 耳 Vb|,a2 W-b2,a3 Vb3( 二 R)， a _ b：= a1b1 a2b2 a3b -0 .(2)若 乂为1,乙),BXyz)，则 AB =区-为，y? -zj .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标.4 模长公式：若 a = (a1, a2,a3), 贝H | a | = a a 二，a, a22 a32 .5.夹角公式:a b|

24、a| |b|a1b1a2b2a3b32 2 a1 a22 f2 22a3 , bib2b36.两点间的距离公式:若,呱也,则 |A3| = AJ 二* x彳 2/ ) Z二、疑难知识导学1、对于这部分的一些知识点， 读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间 问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法.如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，

25、找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：(1) 判断空间两条直线平行(共线)或垂直；(2) 求空间两点间的距离；(3) 求两条异面直线所成的角.4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。三、经典例题导讲例1下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是()ABCD错解：B C D中任选一个错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系.正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选 (C).例2已知点A( 3, 1 , 1)，点B(

26、2, 2, 3)，在Ox Oy、Oz轴上分别取点 L、M N, 使它们与A B两点等距离.错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x , 0, 0)，由题意可得关于 x的一元方程，从而解得x的值类似可求得点 M N的坐标.解：设 L、M N 的坐标分别为(x , 0, 0)、(0, y, 0)、(0, 0, z).由题意，得(x + 3)2+ 1 + 1 = (x + 2)2+ 4+ 9,9+ (y + 1)2+ 1 = 4+ (y 2)2+ 9,9+ 1 + (z 1) 2= 4+ 4+ (z 3)2.3分别解得x = 3. y =1,

27、 z二,23故 L(3,0,0),M (0,1,0), N(0,0,)2评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(X1,y1, Z1)、(x 2, y2, Z2)，贝U P、Q 的距离为PQ 二(X2 -X1)2 (y2 - )2(Z2 -Z1)2必须熟练掌握这个公式.例 3设 a=(q,a2,a3),，且 a = b，记 |a-b|=m，求 a-b 与 x 轴正方向的夹角的余弦值错解：取x轴上的任一向量c=(x,0,0)，设所求夹角为:-, (a _b)。二個-04 -鸟耳 七)(x,0,0)二佝-bjx(a b) c 佝一bjx 印一R一 cos1111

28、 ,|a_b| |c| mxm即余弦值为_a1 fm错因：审题不清。没有看清“x轴正方向”，并不是x轴正解：取x轴正方向的任一向量 c = (x,0,0)，设所求夹角为：， (a -b) c 二 勺包 -6,直"3) (x,0,0) -b)xai_bl，即为所求+m(ab)，c(qE)x-cos<|a b|，|c|mx例 4在厶 ABC中，已知 AB = (2,4,0), BC = ( 1,3,0)，则/ ABC=解： BA 二(一2, -4,0), BC 二(-1,3,0),cos ： BA, BC =BA BC| BA | BC |2 -122510/ ABC= 135 &

29、#176; .例 5已知空间三点 A(0,2,3),B( 2,1,6),C(1, 1,5),求以向量 AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量 AB, AC垂直，且| a| = . 3，求向量a的坐标”AB AC| AB|AC |C1EC分析：.AB =(-2,-1,3), AC =(1,-3,2),. cos BAC -/ BAC= 60°, . S=|AB|AC|sin60 =7,3设 a = (x,y,z)，贝U a _ AB = -2x - y 3z = 0, a _ AC = x -3y 2z = 0,| a |= 3= x2 y2 z2 = 3解得 x= y= z = 1 或 x = y = z = 1 , a = (1,1,1) 或 a = ( 1, 1, 1).例6已知正方体 AG的棱长为a , E是CG的中点，O是对角线BD1的中点,求异面直线CC1和BD1的距离+ 解：以D为原点