(教材专用)质数,合数,分解质因数

1、,Q数论（四）质数、合数、分解质因数>【专题知识点概述】一、质数与合数的概念1. 质数：一个数除了 1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数2. 合数：一个数除了 1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数3. 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1.0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，即，0和1，质数，合数。2. 最小的质数是2,最小的合数是4。3. 常用的100以内的质数：2 ，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59

2、，61，67， 71， 73， 79， 83， 89， 97其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为1 ， 3, 7, 94. 部分特殊数的分解：111 =3 37 1001 =7 11 1311111 =41 27110001 =73 1371995 =3 5 7 191998 =2 3 3 3 372007 =3 3 2232008 =2 2 2 25120072008 =4015=5 11 7310101 =3 7 13 375. 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以唯一分解成几个质数乘积的形式， 并且分解的形式是唯一的。【典型例题】 例1、两个质数的和

3、是 49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49- 2=47，从而得到它们的积是 2X 47=94。例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是 2和4，只能排3所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3所以最后排出的质数有 2、3、23、43这

4、四个。例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2X 2X 2X 3X 3X 5=23X 32X 5,所以 360 有(3+1)X( 2+1)X( 1 + 1) =24 个因数。因数的和是：(1+2+22+23)X( 1+3+32)X( 1+5) =1170例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？解：每次拿的个数都是 96的因数(除96和1之外)，这样问题转化为求 96的因数个数，将96分解 质因数，得 96=2 X 2X 2 X 2 X 2X 3,除去96和1之外，96的因数有1

5、0个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。【精英班】例5、504乘一个自然数a,得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23 X 32 X 7=22 X 32X( 2 X 7),还少(2X 7),使得504X a是个平方数，所以所求的 a的最小值是2X 7=14 ;这个平方数是 504 X 14=7056。【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？说明理由。14, 33, 35, 30, 75, 39, 143, 169.解：14=2 X 7, 33=3X 11, 35=

6、5 X 7, 30=2 X 3X 5, 75=3X 5X 5, 39=3 X 13, 143=11 X 13, 169=13 X13.这八个数分解质因数后共有质因数18个(包括相同的)，其中：质因数 2有两个，质因数 3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该 平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：(1) (14, 75, 33, 169)和(30, 35, 39, 143)或(2) (14, 75, 39, 143)和(30, 35, 33, 169).【课后分层练习】A组：入门级1、 有7个不同的质数，它们的和是60,其中最小的质数是多少？

7、解：6个奇质数的和是偶数，60减去偶数仍是偶数，所以剩下的一个质数应当是唯一的偶质数2，即这7个数中最小的是2.2、 如果“O”是一个质数，“”是一个合数，下列第(4 )项的值一定是一个质数。(1)O + (2 )0 口(3)09(4)Ox 十口3、210的因数有几个。这些因数的和是多少？解：210=2 X 3X 5X 7,根据因数个数和及因数和定理有：210的因数有(1 + 1) X (1+1) X (1 + 1)X( 1 + 1) =16 个。这些因数的和是 1+2)X( 1+3)X( 1+5)X( 1+7) =576.1、用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？解：

8、105=3 X 5X 7; 105共有(1+1 )X( 1+1)X( 1 + 1) =8个因数，所以共有不同 8- 2=4 (种)拼 法。2、 有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄的乘积是1620.这三个学生的年龄分别是几岁。解：1620=2X 2X 3X 3X 3X 3X 5=9X 12X 15他们的年龄分别是 9岁、12岁、15岁。B组：进阶级1、 哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1?解：个位数字是 1 的两位质数有 11, 31, 41, 61, 71;其中 168 11=157, 1

9、68 31=137，168 41=127, 168 61=107，都不是两位数，只有 168 71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97.2、 甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的因数。最后不能写的人为失败者。如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法。解：甲必胜。甲先写 6,这样除去6的因数1, 2, 3, 6,乙只能写4, 5, 7, 8, 9, 10中的一个数，甲心中把(4, 5),(乙9), (8, 10)分组，乙写任何一组中的某个数，甲写这一组中的另一个数， 则甲总可获胜。3将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成

10、三组，第一组数的连乘积与第三组数的连乘积相等， 第二组各数的和是 15,问每组的数各是多少？解：2, 4=2 X 2, 6=2 X 3, 8=2 X 2 X 2,由于两组的积相等，显然是4和6在一组，1、2、5、7只出现一次，其和正好为15这样3,4,6,8, 9分成两组，即为3,4, 6和8,9因此三组数是：（3, 4,6）; （1, 2, 5, 7）； （8, 9）。4、1X 2X 3X , X 40 能否被 90909 整除？3解：首先将90909分解质因数，得 90909=3 X 7X 13X 37。因为 33 （=27）, 7, 13, 37 都在 1 40 中，所以 1X 2X 3

11、X-X能被 90909 整除。C组：挑战级1、学区举行团体操表演， 有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？解：按题意，每队人数X队数 =1430,每队人数在100至200之间，所以问题相当于求 1430有多少 个在100至200之间的因数。为此，先把1430分解质因数，得1430 = 2X 5X 11X 13。从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。2X 5X 11=110, 13; 2X 5X 13=130, 11; 11X 13=143, 2X 5=10。所以共有三种分法， 即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。2、试求不大于50的所有因数个数为6的自然数。解：因为这个数有六个因数，6=5+仁（2+1）X（ 1 + 1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5;当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2x b。因为这个数 不大于50,所以对于a5，只有a=2,即25=32;对于a2X b,经试算得到，22 X 3=12, 22X 5=20, 22X 7=28, 22X 11=44, 32X 2=18, 32X 5=45, 52X 2