2019-2020学年苏教版必修四1向量的加法学案

1、2. 2向量的线性运算2.2.1 向量的加法学习目标核心素养（教师独具）1. 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物 理意义及其几何意义.（重点）2. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则， 并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运 算.（重点、易错点）3. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.（难点）通过学习本节内谷提升学 生的数学运算和直观想象 核心素养自主预习林揺新打 - -"FJKT 舁 iKl 吃 新知初採.：一、向量的加法1 .向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法.2. 向量加法的运算法则（1）三角形法则：如图

2、，已知向量a和b,在平面内任取一点 0,作0A= a, AB= b,则向量OB叫做a与b的和，记作a+ b,即a+ b= 0A+AB = OB.（2）平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量 a, b,作0A= a, 0C= b,以0A,0C为邻边作?0ABC,则以0为起点的对角线上的向量0B=a+ b,这个法则叫做向量加法的平行四边形法则.二、向量加法的运算律(1) 交换律：a+ b= b+ a.(2) 结合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c).(3) a+ 0= 0+ a = a.(4) a+ ( a)= ( a) + a= 0.:f初试身手1. 思考辨析两个向量相加就是两

3、个向量的模相加.()(2) 两个向量相加，结果有可能是个数量.()(3) 向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加.()解析(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加， 结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向 量相加.答案X X X 2. (AB+ MB) + (BO+ BC) + OM等于. AC (AB+ MB)+ (BO+ BC) + OM = AB+ BO+ OM + MB + BC = AC. 3. AB+ BC + CA=. 0 AB+ BC+ CA=AC+ CA= 0.合作採究吋是羞荐向量加法的三角形法则和平行四边形法则

4、空"【例11 如图，已知向量a, b, c,求作和向量a+ b+ c.思路点拨：根据三角形法则或平行四边形法则求解解法一：可先作a+ c,再作(a+ c)+ b,即为a+ b+ c(用到向量加法运算律).如图，首先在平面内任取一点0,作向量0A= a,接着作向量AB = c,则 得向量0B= a+ c,然后作向量BC= b,贝U向量0C= a+ b+ c为所求. 法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图， (1) 在平面内任取一点0,作0A= a, 0B= b; (2)作平行四边形A0BC,则0C =a+ b;再作向量0D = c；作？C0DE,则0E= 0C + c= a+

5、 b+ c.则0E即为 所求.拌 6 iA向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：1三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共 起点”；2三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适 用于不共线的两个向量求和联系：1当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则 是统一的；2三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 .1. 如图所示，求作向量和.(1)(2)(3)13解如图中，所示,图图图首先作OA= a,然后作AB= b,则 0B= a+ b.如图所示，TT T T作AB= a, BC= b,则AC = a+ b,再作CD

6、= c,则AD = AC+ CD= (a+ b) + c,T即 AD= a+ b+ c.向量的加法运算蹇型2 ,|TTT【例2】(1)在正六边形 ABCDEF中，AB= a, AF = b,则AC=,TTAD =, AE=.T T T T T(2) AB+ DF + CD + BC+ FA=.思路点拨：(1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解(2)由向量加法的三角形法则求解.(1)2a+ b 2a+ 2b a+ 2b (2)0 (1)如图，连结 FC 交 AD 于点 O,连结OB,由平面几何知识得四边形 ABOF,四边形ABCO均为平行四边形根据向量的平行四边形法则，有AO = AB

7、 + AF = a+ b.在平行四边形 ABCO 中，AC=AB + A0 = a+ a+ b= 2a+ b.AD= 2A0= 2a+ 2b.T T而 FE = A0 = a+ b,T T T由三角形法则得:AE = AF+ FE = b+ a+ b = a + 2b.T T TTTTTT T T(2)AB+ DF + CD + BC+ FA=AB+ BC+ CD + DF + FA= 0.患也0 1 解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向 量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将 0写成0.2运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一 个向量的起点指

8、向最后一个向量的终点.2. 如图，E，F，G，H分别是梯形 ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点, 化简下列各式：TTTTTTT T TDG + EA+ CB;T T T T(2)EG+ CG+ DA+ EB.TTTTTT解(1)DG + EA+ CB = GC+ BE+ CB = GC + CB+ BE = GB+ BE = GE.T T T T T T T T T T T T T(2)EG+ CG+ DA+ EB= EG+ GD + DA + AE= ED + DA + AE= EA+ AE= 0.向量加法在实际问题中的应用探究问题1 速度、位移等物理量是向量吗？为什么?提示：是向量.

9、因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素2.利用向量加法解决实际问题的关键是什么？提示：关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题【例3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h,问：(1) 小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2) 如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确 定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)思路点拨：(1)结合向量共线知识求解；(2)借助三角形的边角关系求解.解(1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km/h;小船逆流行驶 时实际速度最小，最小值为0 km/h,此时小船是

10、静止的.(2)如图所示，设MA表示水流的速度，MN表示小船实际过河的速度. 设 MC 丄 MA，|MA|= |MB匸 10,/ CMN = 30°. MA+ MB = MN，四边形MANB为菱形.则/ AMN = 60 ； AMN为等边三角形. 在厶MNB 中，|BN|= |MN|= |MB匸 10，a/ BMN = 60°,而/CMN = 30°,/ CMB = 30°,所以小船要由M直达码头N,其航向应为北偏西30.亡狀也 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题转化为数 学冋题正确画出示意图用向量表示实际量向量运算回扣实际冋题作 出

11、解答.3 .在某地抗震救灾中，一架飞机从 A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从 B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地 医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.解如图所示,设AB, BC分别表示飞机从A地按北 偏东35的方向飞行800 km,从B地按南偏东55的方向 飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是|AB|+ |BC|;两次飞行的位移的和指的是 AB+ BC=AC. 依题意，有 AB| + |BC匸 800+ 800= 1 600(km).又尸 35°, A 55ABC = 35°+ 55 = 90

12、：所以 |AC|=、|ABf+ |BC|2=,8002 + 8002 = 800 ,'2(km).其中/ BAC= 45；所以方向为北偏东35 + 45 = 80 ：从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km, 方向为北偏东80 ：ZM/血Q教师独具1. 本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用.2. 要掌握向量加法的三个问题(1) 求作向量的和.(2) 向量加法运算.(3) 向量加法的应用.3. 求作向量和时应注意以下两点利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.(2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点.当堂达标林固烈基 ABCD 中，BC+ DC + BA- 一.rJ 誥佣悄疋tltl岛=朋暑1 如图所示，在平行四边形) AD;DB;BC;CB.A B C.D A v四边形ABCD为平行四边形, BC = AD, 二 BC+ DC + BA=AD + DC + BA=AC+ BA= BC 2在 ABC 中，AB = a, BC= b,贝U a+ b =.AC a+ b=AB+ BC = AC 3在平行四边形 ABCD中，若|BC+ BA|= |BC + AB|,则四边形ABCD是1) 矩形由图知|BC+ BA|=|