湖北2019届高考冲刺模拟考试数学(理)试题(一)附答案

1、湖北部分重点中学2019 年高考冲刺模拟试卷（一）数学（理科）试题一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.( 原创，容易 ) 已知全集1=|0 ,a=1,2,4,5xuxncuax则（）a.3 b.0，3，5 c.3，5 d.0，3 答案 d 解析 全集 u=0，1，2， 3，4，则 cua=0，3 考点 分式不等式及集合运算. 2.( 原创，容易 ) 已知 i 为虚数单位，现有下面四个命题p1：复数z1=a+bi与z2=a+bi，（ a，br）在复平面内对应的点关于实轴对称；p2：若复数z满足 (1-i)z=1

2、+i ，则z为纯虚数；p3：若复数z1，z2满意z1z2r，则z2=1z；p4：若复数z满足z2+1=0，则zi. 其中的真命题为（）a.p1，p4 b.p2，p4 c.p1，p3 d.p2，p3 答案 b 解析 对于p1：z1与 z2关于虚轴对称，所以p错误；对于p2：由 (1 i)z=1+iz=11iii，则 z 为纯虚数，所以p2正确；对于p3：若 z1=2，z2=3，则 z1z2=6，满足 z1z2r，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p3不正确；p4正确 . 考点 复数与命题真假的综合. 3.( 原创，容易 ) 已知2:2,:,10p aqxr xaxpq是假命题 , 则 是 的(

3、 )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件 答案 a 解析 2:,10qxr xaxq是假命题 , 则非 :xr,使210 xax是真命题，24022,aaapq或则 是 的充分不必要条件. 考点 二次不等式及充分、必要条件. 4.( 原创，容易 ) 在某次学科知识竞赛中（总分100 分），若参赛学生成绩服从 n （80，2）(0) ，若在(70 ，90) 内的概率为0.8 ，则落在 90 ， 100 内的概率为（）a.0.05 b.0.1 c.0.15 d.0.2 答案 b 解析 由题意可得1(070)(90100)(10.8)0.12pp. 考点 正态

4、分布 . 5.( 原创， 容易 ) 某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（）a.5 b.10 c.13 d.4 答案 c 解析 由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3 的长方体中， 该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是5，10，13，则最长的棱长为13. 考点 三视图还原 . 6.( 原创，容易 ) 要使右边的程序框图输出的s=2cos3992 cos32cos99,则判断框内（空白框内）可填入（）a.99n b.100n c.99n d.100n 答案 b 解析 要得到题中的输出结果，则1,3

5、,99n均满足判断框内的条件，101n不满足判断框内的条件，故空白框内可填入100.n 考点 程序框图 . 7.( 原创，中档 ) 已知等差数列na的第 6 项是二项式62()xyx展开式的常数项，则210aa=（）a.160 b.160 c.320 d.320 答案 d 解析 二项式62()xyx展开式的常数项是由3 个x和 3 个2x相乘得到的，所以常数项为3333632()160,cxcx所以6160a，由等差数列的性质可得21062aaa=320. 考点 二项式定理及等差数列的性质. 8.( 原创，中档 ) 将函数sin()3yx的图象按以下次序变换： 纵坐标不变，横坐标变为原来的2

6、倍， 向右平移3个单位，得到函数( )yf x的图象，则函数( )( )f xyfx在区间0,2上的对称中心为（）a.( ,0),(2,0) b.(,0)c.(0,0),(,0) d.(0,0),(,0),(2,0) 答案 d 解析 111( )sin()( )cos().22222f xxfxx故( )12tan()( )22f xxfx，令122x=(1) (),2kxkkz故 k 所有可能的取值为1，0，1， 故所求对称中心为（ 0，0）， （，0）， （2，0）. 考点 三角函数的图象变换及正切函数的对称中心. 9.( 原创，中档 ) 已知点 p是双曲线c：22124yx的一条渐近线上

7、一点，f1、f2是双曲线的下焦点和上焦点，且以 f1f2为直径的圆经过点p，则点 p到 y 轴的距离为（）a.14 b.12 c.1 d.2 答案 d 解析 不妨设点p 在渐近线22yx上，设00(2,),pyy又12(0,6),(0,6)ff，由以f1f2为直径的圆经过点 p，得120000(2,6) (2, 6)pf pfyyyy=20360y，解得02y，则点 p到 y 轴的距离为02 | 2y. 考点 双曲线的几何性质10.( 原创，中档 ) 已知 o是平面上的一定点，a、b、c是平面上不共线的三点，若动点p满足(),(0,),|sin|sinabacopoaabbacc则点 p的轨迹

8、一定通过 abc的（）a.内心 b.外心 c.重心 d.垂心 答案 c 解析 在abc中，由正弦定理得|,|sin|sin,sinsinabacabbacck bccb设边上的中点为d，由已知可得2(),(),abacopoaapabacadkkkk即故 p 点的轨迹在三角形的中线上，则p 点轨迹一定通过三角形的重心. 考点 平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用. 11.( 原创，难 ) 设直线43yx与椭圆22:12516xye交于 a、b两点，过a、b两点的圆与e交于另两点c、d，则直线cd的斜率为（）a.14 b.2 c.14 d.4 答案 d 解析 本题来源于教材选修4-4 中第

9、 38 页例 4，如图所示， ab 、cd是中心为点o的椭圆的两条相交弦，交点为p，两弦 ab 、cd与椭圆长轴的夹角分别为1，2，且 1=2，则|pa| | |pbpcpd. 考点 直线与圆、椭圆的综合12.( 改编，难 )若函数2( )lnlnxf xaxxxx有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) a.1(1,)1eee b.11,1eee c. 1(, 1)1eee d. 1, 11eee 答案 a 解析 由题意可得ln,(0,)lnxxaxxxx有 3 个不同解，令ln( ),lnxxg xxxxx22221ln1lnln(1ln)(2ln)(0,),( ),(ln)(ln)x

10、xxxxxgxxxxxxx则当(0,)x时 ， 令2lnyxx， 则12112,(0,),0,2xyxyyxx当递减；当1(,),0,2xyy递增，则min11ln1ln 20,(0,)2yx则当时，恒有2ln0.( )0,xxg x令得1x或,(0,1),( )0, ( )xexg xg x且时递减；(1, ),( )0, ( )xeg xg x时递增；( ,)xe时，( )0,( )g xg x递减，则( )g x的极小值为(1)1,( )gg x的极大值为1( ),1eg eee结合函数图象可得实数a的取值范围是1(1,)1eee. 考点 函数的零点与导数的综合应用. 二、填空题：本大题

11、共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13. ( 原创，容易 ) 设命题2:,4 ,npnn np则为 . 答案 2,4nnn n. 解析 特称命题的否定是全称命题. 考点 全（特）称命题的否定. 14.( 原创，容易 ) 直线sin30()xyr的倾斜角的取值范围是 . 答案 3,44 解析 若sin0，则直线的倾斜角为90 ；若sin0，则直线的斜率k1(, 11,),sin设直线的倾斜角为，则tan(, 11,)，故,)423(,24，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3,44. 考点 直线的倾斜角与斜率的关系. 15.( 原创，中档 ) 设实数,x y满足250,20,220,xxy

12、xyxyy则的最小值是 . 答案 18 解析 不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)yuux则 在点处取得最小值，min141,33u在点（ 1， 2）处取得最大值，max123,u故u的取值范围是34111,3,.32816u则() 考点 求线性约束条件下目标函数的最值. 16.( 改编，难) 已知g 为 abc 的重心，点m， n 分别在边ab， ac 上，满足,agxamyan其中31.,4xyamab若则abc和amn 的面积之比为 . 答案 209 解析 连接 ag并延长交bc于 d ，此时 d为 bc的中点，故12(),23adabacagad1(3ab),ac设3,4anac

13、amab因为所以34agxamy anxaby ac. 所以31343,1,153xxyy又因为解得，则| |4520339| |s abcabacs amnaman. 考点 平面向量的综合应用三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.( 本题满分12 分) ( 原创，容易 ) 在等差数列5100,10.naaa中,（）求数列na的通项公式；（）若数列101()2nannbb满足，求数列nnb的前n项和 sn. 解：（）设数列na的公差为d，则1(1) ,naand由5100,10,aa得方程组11140,8910,2adaadd，解得，4 分所

14、以8(1)2210.nann6 分（ ) 由(i) 得，210 1011()() ,244nnnnnnbnb所以8 分1211,444nnns231111,4444nnns ，得121111(1)31114434444444nnnnnnns，所以43499 4nnns12 分 考点 等差数列基本量运算、数列求和. 18.( 本题满分12 分) （原创， 中档）如图，在四棱锥p-abcd中，ad 平面 pcd ，pd cd ，底面 abcd 是梯形， ab dc ， ab=ad=pd=1，cd=2ab ，q为棱 pc上一点 . ( ) 若点q是 pc的中点，证明：bq平面 pad ；( ),pq

15、pc试确定的值使得二面角q-bd-p 为 60 . 解析：( ) 证明：取pd的中点 m ，连接 am ，mq，qpc点 是的中点，mqcd ，1.2mqcd1 分又 abcd ，1,2abcdqm则ab，qm ab ，则四边形abqm 是平行四边形 .bqam.3 分又am平面 pad ，bq平面 pad ，bq平面 pad. 4 分（）解：由题意可得da ，dc ，dp两两垂直，以d为原点， da ，dc ，dp所在直线为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 p(0，1，1) ，c(0，2，0)，a(1，0，0) ，b(1，1，0). 5 分令000000(,),(,1),(

16、0,2, 1).q xyzpqxyzpc则000,(,1)(0,2, 1),pqpcxy z(0,2,1).q 7 分又易证 bc 平面 pbd ，( 1,1,0).pbd是平面的一个法向量n设平面 qbd 的法向量为( , , ),x y zm,0,0,22(1)0,.0,1xydbxyyzzydq则有即解得mm令21,( 1,1,).1y则m9 分60qbdp二面角为，2|21|cos,|,|2222()1m nm nm n解得36.11 分q在棱 pc上，01,36.12 分 考点 线面平行证明及二面角计算19. （本题满分12 分）（原创，中档）中华人民共和国民法总则（以下简称民法总则

17、）自2017 年 10 月 1 日起施行。作为民法典的开篇之作，民法总则 与每个人的一生息息相关. 某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50 人，他们的年龄都在区间25 ， 85 上，年龄的频率分布及了解民法总则的人数如下表：年龄25 ，35) 35 ，45) 45 ，55) 55 ，65) 65 ，75) 75 ，85) 频数5 5 10 15 5 10 了解民法总则1 2 8 12 4 5 （） 填写下面2 2 列联表， 并判断是否有99% 的把握认为以45 岁为分界点对了解民法总则 政策有差异；（）若对年龄在45 ，55），65 ，75）的被调研人中各随机选取2 人进行深

18、入调研，记选中的4 人中不了解民法总则的人数为x ，求随机变量x的分布列和数学期望. 解：（） 2 2列联表：2 分2250(3 11729)6.276.635,104032 18k 4 分没有 99% 的把握认为以45 岁为分界点对了解民法总则政策有差异. 5 分（） x的所有可能取值为0，1，2，3，22842210584(0),225c cp xc c211128482422105104(1),225c cc c cp xc c11122824242210535(2),225c c cc cp xc c2124221052(3),225c cp xc c10 分则 x的分布列为x 0 1

19、 2 3 p 84225104225352252225所以 x的数学期望是10470640.2252252255ex12 分 考点 统计案例，超几何分布的分布列与期望. 20. （本题满分12 分）（改编，难）已知椭圆2222:1(0)xycabab的一个焦点与抛物线23:12exy的焦点相同， a为椭圆c的右顶点，以a为圆心的圆与直线byxa相交于 p，q两点，且0,3.ap aqopoq（）求椭圆c的标准方程和圆a的方程；（）不过原点的直线l与椭圆 c交于 m 、n两点，已知om ，直线l，on的斜率12, ,kk k成等比数列，记以om 、on为直径的圆的面积分别为s1、s2，试探究12

20、ss的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由. 解： ( ) 如图，设t 为 pq的中点，连接at ，则 at pq ，10, |,2ap aqapaqatpq即3,| |,opoqotpq又所以|11,|22atbota2 分由已知得3c, 所以224,1,ab椭圆 c的方程为2214xy 4 分222| ,atotoa2222|4 |4, |5,|10,55atatatap228(2).5xy圆a的方程为 6 分( )设直线l的方程为1122(0),(,),(,),ykxm mmx yn xy由22222,(4)84(1)01,4ykxmxkxkmxmxy得，2121 22284(

21、1),.1414kmmxxx xkk由题设知，22212121212121212()()(),y ykxm kxmkm xxmkk kkx xx xx x8 分22221228()0,0,14k mkm xxmmk210,4mk10 分则12ss22221212(11)444xxxx22212121233()()2=162162xxxxx x2222223648(1)16 (14)142k mmkk223544(1)1624mm故12ss为定值，该定值为54. 12 分 考点 椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系 . 21. （本题满分

22、12 分）（改编，难）已知函数2( )ln,( )().2af xxx g xxxa ar（）若直线(0)( )( ),xt tyf xyg xa b与曲线和分别交于两点,且曲线( )yf x在 a 处的切线与( )yg x在 b处的切线相互平行，求a的取值范围；（ ） 设( )( )( )h xfxg x在 其 定 义 域 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点12,x x且12.0,xx 已知若 不 等 式112exx恒成立，求的取值范围 . 解：（）依题意，函数( )f x的定义域为（ 0，），( )ln1 ,( )1.fxxg xax因为曲线( )yf x在a 处 的 切 线 与( )

23、yg x在b 处 的 切 线 相 互 平 行 ， 所 以( )( )(0,)ftg t 在有 解 ， 即 方 程ln0(0,)tat在有解 . 2 分方程ln0(0,)tat在有解转化为函数lnyxyax与函数的图像在(0,)上有交点，如图，令过原点且与函数lnyx的图像相切的直线的斜率为k，只须0.ak令 切 点 为000000ln1(,ln),|,xxxa xxkykxx则又， 所以000ln1,xxx解得01,xeke于是，所以10.ae5 分（）2( )( )( )ln(0),( )ln.2ah xf xg xxxxxa xh xxax所以因 为12,( )x xh x为在 其 定 义

24、 域 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 所 以12,ln0 x xxax是方程的 两 个 根 ， 即12112212lnlnln,ln,.xxxaxxaxaxx作差得6 分因为120,0,xx 所以112121lnln1exxxx1212121()axaxa xxaxx121121212212lnln(1)()1lnxxxxxxxxxxxx112122(1)(1)ln.xxxxxx8 分令12xtx，则(0,1)t，由题意知，不等式(1)(1)ln(0,1)tttt在上恒成立 . 令2222(1)(1)1(1)(1)()( )ln,( ).()()tttttttttt t则如果21,(0,1),( )0,tt对一切所以( )(0,1)t 在上单调递增，又(1)0,所以( )0t(0,1)在上恒成立，符合题意. 10 分如果221,(0,)t当时，2( )0;(,1),tt当时2( )0,( )(0,)tt所以在上单调递增， 在2(,1)上单调递减，又(1)0,( )t所以在(0,1上不能恒小于0，不符合题意，舍去. 综上所述，若不等式112exx恒成立，只须21.0,1又所以. 12 分 考点 导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题. 选做题（请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22.