等差等比数列中的子数列问题

1、等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列nb是由数列na的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列nb是数列na的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、 学生举例：（1）设aaan(为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）nan中有子数列nbnbnbnnn5,2,12等。（3）123nan中有子数列2129, 13nbnbnn等小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、 从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。（2）新的等差数

2、列的公差等于原等差数列的公差的k 倍。3证明结论：设na是等差数列， d 是公差，若nmaa ,是子数列的相邻两项，dmnaamn)(，当kmn为常数时，kddmnaamn)(也是常数。三、 讨论等比数列是否存在等比子数列1、 学生举例：（1）设aaan(为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）nna2中有子数列122nnb和nnb52等。（3）1)31(2nna中有子数列nnb)91(2等。小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比子数列。2从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）等比数列中下标成等差数列（公差

3、为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k 个原等比数列的公比的积。3证明结论：设na是等比数列，q 是公比，若nmaa ,是子数列的相邻两项，mnmnqaa，当kmn为常数时，kmnmnqqaa也是常数。四、 讨论等差数列是否存在等比子数列1。学生举例：na=n 中有子数列nb=12n和nb=13n等。（自然数列是学生最容易想到的，除了自然数列之外，其他的数列不容易想到）2 给出一个例子一起研究。例1已知：等差数列na，且13nan。问：等差数列na中是否存在等比子数列nc（1）写出na的一些项： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，学生尝试后找出结果有

4、： 2， 8， 32， 128， 512， ，;421n2,14,98,686,4802, ，172n; 2,20,200,2000, ，;1021n 5,20,80,320, ，145n; 2,26,338, ，1132n(2) 猜想：142nnc；172nnc；1102nnc；145nnc；1132nnc（3）提问：这些猜想是否正确呢我们可以从两个方面进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。（4）学生分组证明猜想分析：142n的项被 3除余 2，从而得出利用二项式定理证明的方法。证 1： （用二项式定理）)(26)13(2)13(24211nk

5、kknn，即142n除以 3 余 2，nc是na的子数列。分析 ：由前面几项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证 2： （数学归纳法）当 n=1 时，111132ac假设当 n=k 时，)(13212nmamcmkk，那么当n=k+1 时，1kc1412121)1(21) 14(3)13(42422mkkkamm. 由、得nc是na的子数列。（5）同理证明;, 23)16(27211nkkcnnn23)13(545,23)19(21021111kcnkkcnnnnnn，.,23)112(2132;11nkkcnknnn（6）引申：让学生找规律以na中任一项为首项，以)(

6、13nkk为公比的等比数列均是该等差数列的等比子数列（7）小结：归纳法是从特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。（8）思考：对给定的等差数列可以构造出等比数列，不确定的等差数列中是否存在等比数列例 2 已知：数列na是首项,21a公差是 d 的等差数列。数列nb是等比数列，且2211,abab。问：是否存在自然数d，使得数列nb是数列na的子数列如存在，试求出 d 的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4， 5，6。发现当 d 是奇数时，不可能。2a是奇数，公比22a为分数，则12)2(2nnab从第三项开始就不是自

7、然数取 d=2，na：2，4，6，8，nb：2，4，8，16，nnnnbna2,2,2是偶数， d=2 时，数列nb是数列na的子数列取 d=4，na： 2，6，10，14，18，nb：2，6，18，54，nnbna,24)(224)14(2)14(23211nkkknn， d=4 时，数列nb是数列na的 子 数 列。 同 理d=6 时， 数 列nb也 是 数 列na的 子 数列 。 由 此猜 想 当)(2nmmd时，数列nb是数列na的子数列。可以用二项式定理或数学归纳法证明。证 1：（用二项式定理） 在na中，.2)1(2,2,21mnamdan在nb中，1b=2，12)1 (2,122

8、2,22nnmbmmqmb。令),3( kabnk则1) 1(2km=.2)1(2mn21111,)1(1)1(kkkkmcmmnmmnmckk)1(1121， 可解出,1213112ncmcmnkkkkk即kb为na中的某一项。证 2： （数学归纳法）当n=1 时，11ab；假设kb是na的第 p 项，即),1(22)1(21pmmk则) 1()1(22)1(1mpmmbbkk=2+11)1(2ppmm即1kb是na中的第 m （p-1 ）+p+1 项。由、得，数列nb是数列na的子数列。小结： 这个问题的解决还没有完成一般情况的讨论。一是首项可以不确定，二是子数列并非要前面两项相同五、 课

9、后思考（1）例 2 中，若31a呢（?),3nmmd（2）若1a不确定呢（)1nad（3）等比数列是否存在等差数列奉贤区致远高级中学高二数学竞赛试题（2006 年 5 月）一、填空题（本题 16 小题，每小题 4 分，共 64 分）1 函数xxfcos21log)(在)2,0(x时的单调递增区间是_.2 一个等差数列共有12 项,前 4 项的和是10, 后 4 项的和是 4, 则中间 4 项的和是_.3 定义在r上的奇函数)(xf, 在,0上是增函数 , 若)1() 1(xff, 则x的取值范围是 _4 已知函数6523)(22xxxxxf，则函数)(xf的最大值与最小值之差是 _5 函数)c

10、os(sin xy的值域是 _6 已知n个向量的和为零向量, 且其中一个向量的坐标为)4 ,3(, 则其余)1(n个向量和的模是 _7 若sin是方程0132xx的根 ,则)4(2sin的值是 _8 若双曲线122yx的右支上有一点),(bap到直线xy的距离为2, 则_ba9 如图，正四面体abcd的棱长为cm6，在棱cdab,上各有一点fe,，若cmcfcmae2,1，则线段ef的长为 _cm10. 设正三棱锥底面的边长为a, 侧面组成直二面角, 则该棱锥的体积等于_11. 如图所示， 在两面竖直墙壁ab和cd之间的一点p放一个梯子， 梯子靠上ab时，与地面成075角，靠上cd时，与地面成

11、045角。已知墙ab的高度为m7，那么两墙之间的距离为_m12. 三角形的边长分别为6,3,2, 则能将它完全覆盖的最小的圆的面积是_13. 如果方程axx642有两个不同的实数根, 那么实数a的取值范围是_14. 定义“等和数列” ：在一个数列中， 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列na是等和数列，且, 21a公和为5，那么18a的值为 _, 这个数列的前n项和ns的计算公式为 _15. 一个正三角形abc内接于椭圆14922yx, 顶点a的坐标为)2,0(, 过顶点a的高在y轴上 , 则此正三角形的边长为_16. 对 任

12、意 实 数yx, 函 数)(xf满 足1)()()(xyyxfyfxf, 若1)1 (f, 则对负整数)(,nfn的表达式为 _二、（本题 12 分）已知数列na中，znnaann(21且) 1n，（1）若na是等差数列，求na的通项公式；（2）na能否为等比数列若可能，求出此等比数列的通项公式，若不能，说明理由三、（本题 12 分）设bxaxxf2)(， 求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正数b， 使)(xf的定义域和值域相同四、（本题 12 分）设),(11yxa),(22yxb两点在抛物线22xy上，l是ab的垂直平分线。（1）当且仅当21xx取何值时，直线l经过抛物线的焦点f证明你

13、的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围参考答案一、1)2, 0(； 2. 7； 3. 0 x或2x; 4. 0; 5. 1 , 1cos;6. 5; 7. 421; 8. 21; 9. 23; 10.361a; 11. 7; 12. 23; 13. ,62a; 14. ,3当n为偶数时 ,nsn25,当n为奇数时 ,2125nsn; 15. 31372; 16. 223)(2nnnf二、解： （1）设公差为d，则由naann12，得ndnadna)2(2) 1(11，即)1,(0) 1(31nzndnda)(?当01d且031da，即3,11ad时，)(?恒成立，所以n

14、a的通项公式为2)1(1dnaan（2）若na是等比数列，设公比为q，则由naann12得,2211aqa32121qaqa解得23,41qa，但不满足422131qaqa，所以na不可能是等比数列三、解：若0a，则对每个正数b，bxaxxf2)(的定义域和值域都是,0，故0a满足条件；若0a，则对正数b，bxaxxf2)(的定义域02bxaxxd=,0,ab， 但)(xf的值域,0a， 故ad，即0a不符合条件；若0a， 则 对 正 数b，bxaxxf2)(的 定 义 域abd,0， 由 于 此 时ababfxf2)2()(max，故)(xf的值域是ab2,0，abab2aaa204a，综上所述0a或4a四、解： （1）bafbfalf,两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是x轴的平行线，0,021yy，依题意，21, yy不同时为0，上述条件21yy,0)(21212221xx