2022年2022年向量正余弦定理知识点

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载其次章平面对量1.向量：既有大小,又有方向的量数量：只有大小,没有方向的量有向线段的三要素：起点.方向.长度（模）零向量：长度为 0 的向量叫零向量 、 记作： 0 零向量的方向为任意的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载单位向量：长度等于 1个单位的向量 与 ab 共线的单位向量为ab ；| ab |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a . b 叫做平行向量,记作： a b ,规定零向量和任何向量平行；留意：相等向量肯定为共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条

2、直线平行为不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 、但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性（由于有0 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三点 a.b.c共线ab.ac共线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量有传递性相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量为 a ；以下命题：（1）如 ab ,就 ab ；（2）两个向量相等的充要条件为它们的起点相同, 终点相同；（ 3）如 abdc,就 abcd 为平行四边形；（ 4）如 abcd 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平行四边形,

3、 就 abdc ；（5）如 ab 、bc,就 ac ；（ 6）如 a / b、b/其中正确选项 c,就 a / c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（答：（4）（5）2. 向量的表示方法 ：（ 1）几何表示：用带箭头的有向线段表示,如ab ,留意起点在前,终点在后；（ 2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；（ 3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系,以与x 轴. y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx、 y ,称x、 y为向量 a 的坐标, a x、 y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量的起点

4、在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3.向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载三角形不等式：ababab （几何意义：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边）运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc； a00aa 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标运算：设ax1、 y1, bx2 、 y2,就 abx1x2 、 y1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.向量减法运算：三角形法就的特点：共起点,连终点,方向指向被减向量（留意：此处减向量与被减向量的起点相同

5、）c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标运算：设 ax1、 y1, bx2 、 y2,a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 abx1x2 、 y1y2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设.两点的坐标分别为x1、 y1,x2 、 y2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 ab x2x1 、 y2y1 abcc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.向量数乘运算：实数与向量 a 的积为一个向量,记作a aa ；当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时,a 的方向与 a 的方向相反

6、；当0 时,a0 运算律：aa ；aaa ；abab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载坐标运算：设ax、 y,就a x、 yx、y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.向量共线定理：向量 aa0与b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 ba 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 ax1、 y1, bx2 、 y2,其中 b0 ,就当且仅当x1 y2x2 y10 时,向量 a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b b0 共线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.平面对量基本定理： 假如e1 . e2为同一平面内的两个不共线向量,那么对

7、于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1 .2 ,使 a1e12 e2（不共精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线的向量e1 .e2 作为这一平面内全部向量的一组基底精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：（ 1）如 a1、1、b1、 1、c1、2 ,就 c （答： 1 a3 b ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22（ 2）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的为精品学习资料精选学习资料 - -

8、- 欢迎下载a.e10、0、 e21、 2b.e11、2、 e25、7c.e3、5、 e6、10d.e2、3、e 1 、3（答： b）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212248.分点坐标公式： 设点为线段12 上的一点,1 .2 的坐标分别为x1、 y1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 、 y,当时,点的坐标为1x2 、 y1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2212119.平面对量的数量积：（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 oaa、obb ,aob0称为向量 a , b 的夹角,当0 时, a , b 同向,当时

9、, a , b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载反向,当时, a , b 垂直；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）平面对量的数量积 ：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载量| a | b | cos叫做 a 与b 的数量积（或内积）,记作： ab ,即 ab a b cos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载规定：零向量与任一向量的数量积为0,留意数量积为一个实数, 不为向量；（ 3）平面对量的数量积的性质：设 a 和b 都为非零向量,其夹角为就 aba b0 当 a 与 b 同向时,

10、a ba b；当 a 与 b 反向时, aba b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aaa22a或 aa a 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a ba b （ 4）运算律： abba ；aba bab； abcacbc 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 5）坐标运算： 设两个非零向量ax1、 y1, bx2 、 y2,就 a bx1x2y1 y2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2如 ax、 y,就 ax2y2 ,或ax2y 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精

11、选学习资料 - - - 欢迎下载（ 6）向量垂直的充要条件： abab0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 a . b 都为非零向量,ax1、 y1, bx2 、 y2,为 a 与b 的夹角,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosa ba bx2x1x2y2y1 y2x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载112210.b 在 a 上的投影 为| b | cos,它为一个实数,但不肯定大于0；精

12、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11.平移公式 ：假如点p x、 y 按向量ah、 k平移至p x、 y ,就xxh ；yyk精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载曲线 f x、 y0 按向量ah、k平移得曲线f xh、 yk0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12.重心问题 ： papbpc0p 为abc 的重心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载重心坐标公式： 在abc 中,如a x1、 y1、 bx2 、 y2、 cx3、 y3,就其重心的坐精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

13、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载标为 gx1x2x3 、 y1y2y3；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载正余弦定理1.正弦定理： 在c 中, a .b .c 分别为角.c 的对边, r 为c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的外接圆的半径,就有abc sinsinsin c2r 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.正弦定理的变形公式： a2rsin, b2r sin, c2rsin c ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sina , sin 2rb , sin cc；

14、2r2r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a : b : csin:sin:sin c ；abcabcsinsinsin csinsinsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.三角形面积公式：sc1 bc sin1 ab sin c1 ac sin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.余弦定理： 在c 中,有 a 2222,bc2bc cosb22,ac2ac cos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c2a 2b 22ab cos c 精品

15、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.余弦定理的推论： cosb 2c22bca 2,cosa 2c22 acb 2,cos ca2b2c222ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b6.设 a .b .c 为c 的角.c 的对边,就：如 a 22c ,就 c90 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a 2b2c2 ,就 c90 ； 如 a 2b2c2 ,就 c90 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7.射影定理： ab cos cc cos b、 ba coscc cos a、 ca cos bb cos a8 .解三角形常用三角关系式：abc;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin ab sin c 、 cos ab cos c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢