2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析

1、2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2014湖北）i为虚数单位，（）2=（）a1b1cidi考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：计算题；数系的扩充和复数分析：可先计算出的值，再计算平方的值解答：解：由于，所以，（）2=（i）2=1故选a点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2（5分）（2014湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）a2bc1d考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：二项式定理分析：利用二项式定理的展开式

2、的通项公式，通过x幂指数为3，求出a即可解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x3项的系数为84，所以tr+1=，令7+2r=3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：c点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查3（5分）（2014湖北）设u为全集，a，b是集合，则“存在集合c使得ac，buc”是“ab=”的（）a充分而不必要的条件b必要而不充分的条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果解答：解：由题意ac，则ucua，

3、当buc，可得“ab=”；若“ab=”能推出存在集合c使得ac，buc，u为全集，a，b是集合，则“存在集合c使得ac，buc”是“ab=”的充分必要的条件故选：c点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题4（5分）（2014湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x345678y4.02.50.50.52.03.0aa0，b0ba0，b0ca0，b0da0，b0考点：线性回归方程菁优网版权所有专题：概率与统计分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b0，且回归方程经过（

4、3，4）与（4，3.5）附近，所以a0故选：b点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查5（5分）（2014湖北）在如图所示的空间直角坐标系oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为，的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）a和b和c和d和考点：简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选：d点评：本题考查三视图的画法，做到心中有

5、图形，考查空间想象能力，是基础题6（5分）（2014湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f（x）=sinx，g（x）=cosx；f（x）=x+1，g（x）=x1；f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间1，1上的正交函数的组数是（）a0b1c2d3考点：微积分基本定理菁优网版权所有专题：综合题；导数的综合应用分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论解答：解：对于：sinxcosxdx=（sinx）dx=cosx=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数；对于：（x+1）（x1）dx=（x2

6、1）dx=（）0，f（x），g（x）不为区间1，1上的一组正交函数；对于：x3dx=（）=0，f（x），g（x）为区间1，1上的一组正交函数，正交函数有2组，故选：c点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题7（5分）（2014湖北）由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）abcd考点：几何概型；简单线性规划菁优网版权所有专题：概率与统计分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论解答：解：平面区域1，为三角形aob，面积为，平面区域2，为四边形bdco，其中c（0，1）

7、，由，解得，即d（，），则三角形acd的面积s=，则四边形bdco的面积s=，则在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为，故选：d点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键8（5分）（2014湖北）算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积v的近似公式vl2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么，近似公式vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）abcd考点：

8、棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据近似公式vl2h，建立方程，即可求得结论解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则l=（2r）2，=（2r）2h，=故选：b点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题9（5分）（2014湖北）已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点且f1pf2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）abc3d2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论解答：解：设椭圆的长

9、半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（aa1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|pf1|=r1，|pf2|=r2，|f1f2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2f1pf2=，由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）22r1r2cos，在椭圆中，化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，在双曲线中，化简为即4c2=4a22+r1r2，即，联立得，=4，由柯西不等式得（1+）（）（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：a点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键难度较大10（5分）（2014湖北）已知函数f（x）是定

10、义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=（|xa2|+|x2a2|3a2），若xr，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为（）a，b，c，d，考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：把x0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x0时的函数的最大值，由对xr，都有f（x1）f（x），可得2a2（4a2）1，求解该不等式得答案解答：解：当x0时，f（x）=，由f（x）=x3a2，x2a2，得f（x）a2；当a2x2a2时，f（x）=a2；由f（x）=x，0xa2，得f（x）a2当x0时，函数f（x）为

11、奇函数，当x0时，对xr，都有f（x1）f（x），2a2（4a2）1，解得：故实数a的取值范围是故选：b点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对xr，都有f（x1）f（x）得到不等式2a2（4a2）1，是中档题二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分11（5分）（2014湖北）设向量=（3，3），=（1，1），若（+）（），则实数=±3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论解答：解：向量=（3，3），=（1，1），向量|=3

12、，|=，向量=33=0，若（+）（），则（+）（）=，即1822=0，则2=9，解得=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础12（5分）（2014湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆c：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式菁优网版权所有专题：直线与圆分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45°，由此求得a2+b2的值解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，=cos45&

13、#176;=，a2+b2=2，故答案为：2点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到=cos45°=，是解题的关键，属于基础题13（5分）（2014湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为i（a），按从大到小排成的三位数记为d（a）（例如a=815，则i（a）=158，d（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495考点：程序框图菁优网版权所有专题：计算题；算法和程序框图分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案

14、解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321123=198；第二次循环a=198，b=981189=792；第三次循环a=792，b=972279=693；第四次循环a=693，b=963369=594；第五次循环a=594，b=954459=495；第六次循环a=495，b=954459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495故答案为：495点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法三、解答题14（2014湖北）设f（x）是定义在（0，+）上的函数，且f（x）0，对任意a0，b0，若经过点（a，

15、f（a），（b，f（b）的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为mf（a，b），例如，当f（x）=1（x0）时，可得mf（a，b）=c=，即mf（a，b）为a，b的算术平均数（1）当f（x）=（x0）时，mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x0）时，mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（1）设f（x）=，（x0），在经过点（a，）、（b，）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论（2）设f（x）=x，（x0），在经过点（a，a）

16、、（b，b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论解答：解：（1）设f（x）=，（x0），则经过点（a，）、（b，）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，当f（x）=，（x0）时，mf（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：（2）设f（x）=x，（x0），则经过点（a，a）、（b，b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，当f（x）=x（x0）时，mf（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题15（2014湖北）如图，p为o外一点，过p点作o的两条切线，切点分别为a，b，过pa的中点q作割线交o于c，d两点，若qc=

17、1，cd=3，则pb=4考点：与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题：选作题；几何证明分析：利用切割线定理可得qa2=qcqd，可求qa，可得pa，利用圆的切线长定理，可得pb解答：解：qa是o的切线，qa2=qcqd，qc=1，cd=3，qa2=4，qa=2，pa=4，pa，pb是o的切线，pb=pa=4故答案为：4点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题16（2014湖北）已知曲线c1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是=2，则c1与c2交点的直角坐标为（，1）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；

18、参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：直线与圆分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 c1与c2交点的直角坐标解答：解：把曲线c1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 （x0，y0）曲线c2的极坐标方程是=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4解方程组 ，求得 ，c1与c2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题17（11分）（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10，t0，

19、24）（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=asin（x+）的图象变换菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）102sin（t+），t0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差（）由题意可得，当f（t）11时，需要降温，由f（t）11，求得sin（t+），即 t+，解得t的范围，可得结论解答：解：（）f（t）=10=102sin（t+），t0，24），t+，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得

20、最小值为102=8，故实验室这一天的最大温差为128=4（）由题意可得，当f（t）11时，需要降温，由（）可得f（t）=102sin（t+），由102sin（t+）11，求得sin（t+），即 t+，解得10t18，即在10时到18时，需要降温点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题18（12分）（2014湖北）已知等差数列an满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得sn60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由

21、考点：等差数列的性质；数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得（）利用（）中数列的通项公式，表示出sn根据sn60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断解答：解：（）设数列an的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d24d=0，解得d=0或4，当d=0时，an=2，当d=4时，an=2+（n1）4=4n2（）当an=2时，sn=2n，显然2n60n+800，此时不存在正整数n，使得sn60n+800成立，当an=4n2时，sn=2n2，令2n260n+

22、800，即n230n4000，解得n40，或n10（舍去），此时存在正整数n，使得sn60n+800成立，n的最小值为41，综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，当an=4n2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆19（12分）（2014湖北）如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dp=bq=（02）（）当=1时，证明：直线bc1平面efpq；（）是否存在，使面efpq与面

23、pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）建立坐标系，求出=2，可得bc1fp，利用线面平行的判定定理，可以证明直线bc1平面efpq；（）求出平面efpq的一个法向量、平面mnpq的一个法向量，利用面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论解答：（）证明：以d为原点，射线da，dc，dd1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则b（2，2，0），c1（0，2，2），e（2，1，0），f（1，0，0），p（0，0，），=（

24、2，0，2），=（1，0，），=（1，1，0）=1时，=（2，0，2），=（1，0，1），=2，bc1fp，fp平面efpq，bc1平面efpq，直线bc1平面efpq；（）设平面efpq的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（，1）同理可得平面mnpq的一个法向量为=（2，2，1），若存在，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角，则=（2）（2）+1=0，=1±存在=1±，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用20（12分）（2014湖北）计划在某

25、水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立（）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x限制，并有如下关系：年入流量x40x8080x120x120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该

26、台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）先求出年入流量x的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到解答：解：（）依题意，p1=p（40x80）=，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（）记水电站的总利润为y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润y=5000，e（

27、y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当 40x80时，一台发电机运行，此时y=5000800=4200，因此p（y=4200）=p（40x80）=p1=，当x80时，两台发电机运行，此时y=5000×2=10000，因此，p（y=10000）=p（x80）=p2+p3=0.8，由此得y的分布列如下y420010000p0.20.8所以e（y）=4200×0.2+10000×0.8=8840（2）安装3台发电机的情形，依题意，当 40x80时，一台发电机运行，此时y=50001600=3400，因此p（y=3400）=p（40

28、x80）=p1=0.2，当80x120时，两台发电机运行，此时y=5000×2800=9200，因此，p（y=9200）=p（80x120）=p2=0.7，当x120时，三台发电机运行，此时y=5000×3=15000，因此，p（y=15000）=p（x120）=p3=0.1，由此得y的分布列如下y3400920015000p0.20.70.1所以e（y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，

29、属于中档题21（14分）（2014湖北）在平面直角坐标系xoy中，点m到点f（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点m的轨迹为c（）求轨迹c的方程；（）设斜率为k的直线l过定点p（2，1），求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设出m点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到m的轨迹c的方程；（）设出直线l的方程为y1=k（x+2），和（）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y1=k（x+2）中取y=0得到然后分判别式小于0、等于0、大

30、于0结合x00求解使直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解答：解：（）设m（x，y），依题意得：|mf|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x点m的轨迹c的方程为；（）在点m的轨迹c中，记c1：y2=4x（x0），c2：y=0（x0）依题意，可设直线l的方程为y1=k（x+2）由方程组，可得ky24y+4（2k+1）=0当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹c的方程，得故此时直线l：y=1与轨迹c恰好有一个公共点（）当k0时，方程ky24y+4（2k+1）=0的判别式为=16（2k2+k1）设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y1=k（x+2）

31、，取y=0得若，解得k1或k即当k时，直线l与c1没有公共点，与c2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点若或，解得k=1或k=或即当k=1或k=时，直线l与c1只有一个公共点，与c2有一个公共点当时，直线l与c1有两个公共点，与c2无公共点故当k=1或k=或时，直线l与轨迹c恰好有两个公共点若，解得1k或0k即当1k或0k时，直线l与c1有两个公共点，与c2有一个公共点此时直线l与c恰有三个公共点综上，当k0时，直线l与c恰有一个公共点；当k1，时，直线l与c恰有两个公共点；当k时，直线l与轨迹c恰有三个公共点点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法