平行线的判定和性质(综合篇)

1、.北京四中编稿：史卫红审稿：张杨责编：姚一民平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。难点：平行线的性质与平行线的判定的区分掌握推理论证的格式。二、例题：这部分内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念， 关键是把握住这些角的基本图形特征， 有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。上述类型题目大致可分为两大类。一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是 “由线定角 ”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。另一类题目主要是“由角定线 ”，也就是根据某些角的

2、相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。例 1 如图，已知直线a,b,c 被直线 d 所截，若1= 2， 2+ 3=180°，求证：1= 7分析： 运用综合法， 证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。1 与 7 是直线a 和 c 被 d 所截得的同位角。须证a/c 。法（一）证明： d 是直线（已知） 1+ 4=180°（平角定义） 2+ 3=180°， 1= 2（已知） 3= 4（等角的补角相等） a/c（同位角相等，两直线平行） 1= 7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明： 2+

3、 3=180°， 1= 2（已知） 1+ 3=180°（等量代换） 5= 1， 6= 3（对顶角相等） 5+ 6=180°（等量代换） a/c （同旁内角互补，两直线平行） 1= 7（两直线平行，同位角相等）。例 2 已知如图，1+ 2=180°， A= C， AD 平分 BDF ，求证： BC 平分 DBE 。.分析： 只要求得EBC= CBD ，由 1+ 2=180°推出 1= BDC ，从而推出AE/FC ，从而推出C= EBC 而 C= A 于是可得 A= EBC 。因此又可得 AD/BC ，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出 EB

4、C= DBC 。证明： 2+ BDC=180°（平角定义）又 2+ 1=180°（已知） BDC= 1（同角的补角相等） AE/FC （同位角相等两直线平行） EBC= C（两直线平行内错角相等）又 A= C（已知） EBC= A （等量代换） AD/BC （同位角相等，两直线平行） ADB= CBD （两直线平行，内错角相等） ADF= C（两直线平行，同位角相等）又 DA 平分 BDF （已知） ADB= ADF （角平分线定义） EBC= DBC （等量代换） BC 平分 DBE （角平分线定义）说明： 这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的

5、方法，见到“平行 ”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（ 1）同角（或等角）的余角相等；（ 2）同角（或等角）的补角相等；（ 3）对顶角相等；（ 4）两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补。以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器， 怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析， 在题设中给出了哪些条件，与其相关的

6、图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。例 3，如图 1= 2= C，求证 B= C。分析： 题设中给出三个相等的角，其中2 和 C 是直线 DE 和 BC 被 AC 所截构成的同位角，由 2= C 则 DE/BC 。再看题中要证明的结论是 B= C，由于 C= 1，所以只要证明 1= B ，而 1 与 B 是两条平行直线 DE ， BC 被直线 AB 所截构成的同位角， 1= B 是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：.证明： 2= C（已知）， DE/BC （同位角相等，两直线平

7、行）， 1= B （两直线平行，同位角相等），又 1= C（已知）， B= C（等量代换）。例 4、已知如图， AB/CD ， AD/BC ，求证： A= C， B= D。分析：要证明 A= C， B= D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是内错角或同旁内角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例 10 一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB/CD ，且 AB 与 CD 被直线BC 所截，构成了一对同旁内角， B 、 C，因此 B+ C=180 o，同时 B 又是另一对平行线 AD 、BC 被直线 AB 所截，构成的一对同旁内角 B、 A

8、， B+ A=180 o，通过 B 的中介，就可以证明得 A= C。同理，也可得到 B= D ，整个思路为：证明： AD/BC （已知）， A+ B=180 o （两直线平行，同旁内角互补）， AB/CD （已知）， B+ C=180 o（两直线平行，同旁内角互补）， A= C（同角的补角相等），同理可证B= D 。例 5、已知如图，AD BC 于 D ， EG BC 于 G， E= 3，求证：1= 2。分析： 要证明 1= 2，而从图中所示的1 和 2 的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下1、 2 与周边各角的关系，我们看到

9、直线AD 与 GE 被直线 AE 所截，形成同位角1、 E；被 AB 所截，形成内错角 2、 3；而题设明确告诉我们 3= E ，于是目标集中到证明 AD/GE ，根据题设中 AD BC ， EG BC ，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：证明： AD BC 于 D（已知）， ADC=90 o（垂直定义），. EG BC 于 G（已知）， EGD=90 o （垂直定义）， ADC= EGD （等量代换）， EG/AD （同位角相等，两直线平行）， 1= E （两直线平行同位角相等）， 2= 3（两直线平行内错角相等），又 E= 3（已知）， 1= 2（等量代换）。四、

10、两条直线位置关系的论证。两条直线位置关系的论证包括： 证明两条直线平行， 证明两条直线垂直， 证明三点在同一直线上。1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（ 1）同位角相等，两条直线平行；（ 2）内错角相等，两条直线平行；（ 3）同旁内角互补，两条直线平行。（二）利用直线间位置关系：（ 1）平行于同一条直线的两条直线平行；* （ 2）垂直于同一条直线的两条直线平行。例 6、如图，已知 BE/CF ， 1= 2，求证： AB/CD 。分析： 要证明 AB/CD ，由图中角的位置可看出AB 与 CD 被 BC 所截得一对内错角ABC和 DCB ，只要证明这对内错角相等，而图中的直线位

11、置关系显示， ABC= 1+ EBC ， BCD=2+ FCB ，条件中又已知1= 2，于是只要证明EBC= BCF 。证明： BE/CF （已知）， EBC= FCB （两直线平行，内错角相等） 1= 2（已知）， 1+ EBC= 2+FCB （等量加等量其和相等），即 ABC= BCD （等式性质）， AB/CD （内错角相等，两直线平行）。例 7、如图 CD AB ， EF AB ， 1= 2，求证： DG/BC 。分析： 要证明 DG/BC ，只需证明 1= DCB ，由于 1= 2，只需证明 2= DCB ， 2 与 DCB 又是同位角，只需证明 CD/EF 。根据题设 CD AB

12、，EF AB ，CD/EF ，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。（ 1）（平行线的判定）.（ 2） CD/EF 2= DCB （平行线的性质）（ 3） 1= DCBDG/BC （平行线判定）在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。证明： CD AB 于 D（已知）， CDB=90 o（垂直定义）， EF AB 于 F （已知）， EFB=90 o（垂直定义）， CDB= EFB （等量代换）， CD/EF （同位角相等，两直线平行）， 2= DCB （两直线平行，同位角相等）又 1= 2（已知）， 1= DCB （等量代换）， DG/BC （内错角相等，两直线平行）

13、。说明： 从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等， 根据图形找出两直线的同位角、 内错角或同旁内角， 设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（ 1）两直线垂直的定义（ 2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。（即证明两条直线的夹角等于 90o 而得到。）例 8、如图，已知EF AB ， 3= B， 1= 2，求证： CD AB 。分析： 这是

14、一个与例14 同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。证明 CD AB ，根据 “一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。”又由于已知条件EF AB ，只要证明 EF/CD ，要证 EF/CD ，结合图形，只要证明2= DCB ，因为 1= 2，只需证明DCB=1，而 DCB 与 1 是一对内错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG/BC ，要证明DG/BC根据平行线的判定方法只需证明3= B ，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次： 3= BDG/BC DCB= 2（ 1）平行线判定（2）平行线性质CDAB（ 3）平行线判定性质（ 4）垂直定义.证明： 3=

15、B （已知）， DG/BC （同位角相等，两直线平行） 1= DCB （两直线平行，内错角相等）， 1= 2（已知）， DCB= 2（等量代换）， DC/EF （同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法：接 DC/EF （同位角相等，两直线平行），又 EF AB （已知）， CD AB （一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、 O、 F 三点共线，通常采用EOF=180 o，利用平角的定义完成三点共线证明。此方法不再举例。五、一题多解。例 9、已知如图， BED= B+ D 。求证： AB

16、/CD 。法（一）分析：要证明AB/CD ，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB 、CD 同时平行的第三条直线或与AB 、CD 同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。能不能为此创造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线，使这条直线和AB 、 CD 中的一条平行，那么我们就有可能证明它也平行于另一条，从而得到AB/CD 。根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以这样的直线是存在的。接下来的问题是：过哪一点作这条平行线，考虑题设中的已知条件，三个角的关系围绕着E 点展开的，因而选择E 点作 A

17、B 的平行线是较为理想的位置。证明： 过点 E 作 EF/AB ， B= 1（两直线平行，内错角相等）， BED= 1+ 2（全量等于部分之和）， 2= BED- 1（等式性质），又 BED= B+ D （已知）， D= BED- B （等式性质） 2= D （等量代换） EF/CD （内错角相等，两直线平行）， EF/AB （作图），. AB/CD （平行于同一直线的两直线平行）。说明： 在光凭题设条件无法直接证得结论时，在图中添置新的线，以构成一个条件充分的图形，从而得出所求证的结论，像这样添置的线叫做辅助线，在画图时，辅助线用虚线画出。法（二）分析： 如果在 E 点的另一侧添置 AB 的

18、平行线（如图），同样可以凭此证得结论，但是由于所取的角的位置不同，推理的依据过程也有所不同。证明： 过点 E 作 EF/AB （如图）， B+ 1=180 o（两直线平行，同旁内角互补）， 1+ 2+ BED=360 o（周角定义）， BED= B+ D （已知）， B+ D+ 1+ 2=360 o（等量代换）， D+ 2=360 o-（ B+ 1）（等式性质）=360 o-180 o（等量代换）=180 o EF/CD （同旁内角互补，两直线平行）， EF/AB （作图）， AB/CD （平行于同一直线的两条直线平行）。注意： 在添置辅助线EF 时，只能过E 点作直线EF 平行于直线AB 、

19、 CD 中的一条，而不能同时平行于AB 和 CD 。从另一个方面考虑这个命题，仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分：即已知AB/CD ，能否得到 BED= B+ D 的结论，仍然像例 16 法（一）那样添置 AB 的平行线 EF，可得到 B= BEF ，又由于 AB/CD ，则 EF/CD 。于是又有 D= DEF ，很显然 B+ D= BEF+ DEF= BED 。可知，交换原命题的题设和结论部分，仍然得到一个真命题。北京四中池塘中的水浮莲有一种水生植物水浮莲，生长速度很快，每昼夜能长一个新的水浮莲。就是说，一昼夜能一变二，两昼夜后，就成4 棵，这样一天一天地增多。有一个小的池塘，放进1

20、 棵水浮莲， 20 天后，就长满了整个池塘。如果开始时放进2 棵水浮莲，几天可以长满池塘？是10 天吗？想一想，你会得出正确答案的！答案： 19 天因为水浮莲的繁殖速度是经过一天，就一变二，放进1 棵，第二天就变成了2棵。现在第一天放进2 棵，就相当于放1 棵经过一昼夜繁殖后池塘中的棵数。经过19 天后，池溏也同样满了。放进1 棵到池塘，其生长状况是：1， 2，4，8，16，32 ，64， ，放进 2 棵后的生长状况是2， 4， 8， 16， 32， 64， 128， ，从比较可以看出，放进2 棵，只相当于提早了一天。.北京四中平行线的性质考点扫描 :会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错

21、角相等、 同旁内角互补等性质进行推理和计算名师精讲 :平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下，能够得到的与图形有关的位置及数量关系平行线的性质有：（ 1）平行线永远不相交（定义）；（ 2）两直线平行，同位角相等（性质公理）；（ 3）两直线平行，内错角相等（性质定理1）；（ 4）两直线平行，同旁内角互补（性质定理2）平行线的判定和平行线的性质不能混淆，应分清定理（或公理）的条件结论：（ 1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的（ 2）性质定理说的是如果两条直线平行，它具有什么性质由此可见，判定定理与性质定理是因果关系倒置的两类定理（称为“互逆 ”定理）中考典例 :1（北

22、京海淀区）已知：如图，AB CD ， CE 平分 ACD ， A 110°，则 ECD 的度数等于（）A、 110°B、 70°C、 55°D 、 35°考点： 平行线的性质，角平分线评析： 因为 A 与 ACD 是同旁内角，又 AB CD ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可知 A+ ACD=180° 当 A 110°时， ACD=70° 又 CE 平分 ACD ，所以 ACE= ECD= ACD=35° ，故应选 D 2（福建福州）如图，已知：l 1/l 2， 1=100 °，则 2=.考点： 平行线的性质评析： 1 与 3 是同位角， 根据 “两直线平行， 同位角相等 ”的性质： 可知 1