平面几何探究试题

1、几何探究试题1.我们知道， 三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮 ”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（ 1）若 O 是 ABC 的重心（如图 1），连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明：；（ 2）若 AD 是 ABC 的一条中线（如图2），O 是 AD 上一点，且满足，试判断 O 是 ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；解答：（ 1）证明：如答图1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E点 O 是 ABC 的重心， CE 是中线，点 E 是 AB

2、的中点 DE 是中位线， DE AC ，且 DE=AC DE AC ， AOC DOE ，=2， AD=AO+OD ，（ 2）答：点 O 是 ABC 的重心证明：如答图2，作 ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点Q 为 ABC 的重心由（ 1）可知，= ，而，点 Q 与点 O 重合（是同一个点） ，点 O 是 ABC 的重心2.（自贡市）将两块全等的三角板如图摆放，其中ACB1ACB 90°，1A1A 30°（ 1）将图中的A1 B1C 顺时针旋转 45°得图，点P1 是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1 与 BC 的交点，求证： CP1

3、 CQ ；（ 2）在图中，若AP12 ，则 CQ 等于多少？（ 3）如图，在 B C上取一点 E，连接 BE 、P E，设 BC1 ，当BEPBPBE面积的最大值 111时，求1（ 1）证明：B1CB45°， B1CA190°B1CQBCP145 ° ···· (1 )又 B1CBC ，B1BB1CQBCP1 （ ASA） ·· (2 )CQCP1 ··· (3 )（ 2）作 PDCA于D，A 30°，PD11AP1 ····

4、······ (4 )1211°1sin 45 °· ··· (5 )CP12PD12 ·· (6)45PD2PCDCP21又 CP1CQ ，CQ2·························(7 )（

5、3）解：PBE90°，ABC60°ACBE30°AC3BC·(8)1由旋转的性质可知ACP1BCEAPC BEC ··········· (9 )1AP:BEAC:BC设 AP1 xBE3x ··············(10 )13在 RtABC 中，A30 °AB2 BC2S PBE13x(2

6、x)3x23x3( x 1)23·······(11 )1236366x1 时SP BE ( max)3·······················(12 )163.（ 2013?衢州）【提出问题】（ 1）如图 1，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点B、C），连结 AM

7、，以 AM 为边作等边 AMN ，连结 CN 求证： ABC= ACN 【类比探究】（ 2）如图2，在等边 ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变， （ 1）中结论 ABC= ACN 还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（ 3）如图3，在等腰 ABC 中， BA=BC ，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点B 、 C），连结 AM ，以 AM为边作等腰 AMN ，使顶角 AMN= ABC 连结 CN试探究 ABC 与 ACN 的数量关系，并说明理由（ 1）证明： ABC 、 AMN 是等边三角形， AB=AC ， AM=AN ， BAC= MAN=60 &

8、#176;， BAM= CAN ，在 BAM 和 CAN 中， BAM CAN （ SAS）， ABC= ACN （ 2）解：结论 ABC= ACN 仍成立理由如下： ABC 、 AMN 是等边三角形， AB=AC ， AM=AN ， BAC= MAN=60 °， BAM= CAN ，在 BAM 和 CAN 中， BAM CAN （ SAS）， ABC= ACN （ 3）解： ABC= ACN 理由如下： BA=BC ， MA=MN ，顶角 ABC= AMN ，底角 BAC= MAN ， ABC AMN ， = ，又 BAM= BAC MAC ， CAN= MAN MAC ， BAM

9、= CAN ， BAM CAN ， ABC= ACN 4.（ 2013?烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A ， B 重合），分别过 A ， B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E， F， Q 为斜边 AB 的中点（ 1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是AE BF，QE 与 QF 的数量关系式QE=QF；（ 2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（ 3）如图 3，当点 P 在线段 BA （或 AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予

10、证明解：（ 1） AE BF， QE=QF，理由是：如图1， Q 为 AB 中点， AQ=BQ ， BF CP， AE CP， BF AE ， BFQ= AEQ ，在 BFQ 和 AEQ 中 BFQ AEQ （ AAS ）， QE=QF ，故答案为：AE BF ， QE=QF （ 2） QE=QF ，证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D， AE BF ， QAD= FBQ ，在FBQ 和DAQ 中 FBQ DAQ （ ASA ）， QF=QD ， AE CP， EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线， QE=QF=QD ，即 QE=QF （ 3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图 3

11、，延长 EQ、FB 交于 D ，AEBF， 1=D，在 AQE 和 BQD 中， AQE BQD （ AAS ）， QE=QD ， BF CP， FQ 是斜边 DE 上的中线， QE=QF 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意： 全等三角形的判定定理有 SAS， ASA ，AAS ， SSS， 全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等5.（潍坊市）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF .现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至CE&#

12、39;F 'D' ,旋转角为 .（ 1）当点 D ' 恰好落在 EF 边上时，求旋转角的值；（ 2）如图 2， G 为 BC 的中点，且 0° 90°，求证： GD 'E'D ；（ 3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，DCD'与CBD ' 能否全等？若能，直接写出旋转角 的值；若不能，说明理由 .答案 ：(1) DC/EF, DCD =CD E= CD E= . sin = CECE1, =30°CD'CD2(2) G 为 BC 中点， GC=CE =CE=1， D CG= DC

13、G+ DCD =90 °+ , DCE =D CE + DCD =90 ° + , D CG= DCE 又 CD =CD, GCD E CD, GD=E D(3) 能 . =135°或 =315°考点 ：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评 ：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论 . 此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力6（.黑龙江龙东地区） 正方形 ABCD 的顶点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角

14、线 AC 、BD 的交点，过点 O 作 OE MN 于点 E，过点 B 作 BFMN 于点 F（ 1）如图 1，当 O、 B 两点均在直线MN 上方时，易证：AF+BF=2OE （不需证明）（ 2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的位置时，线段 AF 、 BF、 OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明分析：（ 1）过点 B 作 BG OE 于 G，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ， AOB=90 °，再根据同角的余角相等求出 AOE

15、= OBG ，然后利用 “角角边 ”证明 AOE 和 OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据 AF EF=AE ，整理即可得证；（ 2）选择图2，过点 B 作 BG OE 交 OE 的延长线于G，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ， AOB=90 °，再根据同角的余角相等求出 AOE= OBG ，然后利用 “角角边 ”证明 AOE 和 OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF EF=AE ，整理即可得证；选择图

16、3 同理可证解答：（ 1）证明：如图，过点B 作 BG OE 于 G，则四边形BGEF 是矩形， EF=BG ， BF=GE ，在正方形ABCD 中， OA=OB ， AOB=90 °， BG OE， OBG+ BOE=90 °，又 AOE+ BOE=90 °， AOE= OBG ，在 AOE 和 OBG 中， AOE OBG （AAS ）， OG=AE ， OE=BG ， AF EF=AE ， EF=BG=OE ，AE=OG=OE GE=OE BF， AF OE=OE BF ， AF+BF=2OE ；（ 2）图 2 结论： AF BF=2OE ，图 3 结论：

17、AF BF=2OE 对图 2 证明：过点 B 作 BG OE 交 OE 的延长线于 G，则四边形 BGEF 是矩形， EF=BG ， BF=GE ，在正方形 ABCD 中， OA=OB ， AOB=90 °， BG OE， OBG+ BOE=90 °，又 AOE+ BOE=90 °， AOE= OBG ，在 AOE 和 OBG 中， AOE OBG （AAS ）， OG=AE ， OE=BG ， AF EF=AE ， EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ， AF OE=OE+BF ， AF BF=2OE ；若选图 3，其证明方法同上点评： 本题

18、考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点7.（?绥化）已知，在 ABC 中， BAC=90 °， ABC=45 °，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与点 B ，C 重合）以 AD 为边做正方形 ADEF ，连接 CF（ 1）如图（ 2）如图1，当点 D 在线段 BC 上时求证CF+CD=BC ；2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF， BC ，CD三条线段之间的关系；（ 3）如图 3，当点 D 在线段 请直接写出CF，BC ，CD

19、若正方形ADEF 的边长为BC 的反向延长线上时，且点A ， F 分别在直线BC三条线段之间的关系；2，对角线AE ， DF 相交于点O，连接 OC求的两侧，其他条件不变；OC 的长度证明：（ 1） BAC=90 °， ABC=45 °， ACB= ABC=45 °， AB=AC ，四边形 ADEF 是正方形， AD=AF ， DAF=90 °， BAD=90 ° DAC ， CAF=90 ° DAC ， BAD= CAF ，则在 BAD 和 CAF 中， BAD CAF （ SAS ）， BD=CF ， BD+CD=BC ， CF+

20、CD=BC ；（ 2） CF CD=BC ；（ 3） CD CF=BC BAC=90 °， ABC=45 °， ACB= ABC=45 °， AB=AC ，四边形 ADEF 是正方形， AD=AF ， DAF=90 °， BAD=90 ° BAF ， CAF=90 ° BAF ， BAD= CAF ，在 BAD 和 CAF 中， BAD CAF （SAS ）， ACF= ABD ， ABC=45 °， ABD=135 °， ACF= ABD=135 °， FCD=90 °， FCD 是直角三角形

21、正方形ADEF 的边长为2且对角线AE 、 DF 相交于点O DF=AD=4 ，O为 DF中点 OC=DF=2 点评：本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键8.（ 2013?本溪）在 ABC 中， ACB=90 °， A 45°，点 O 为 AB 中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点 O 重合，一边 OE 经过点 C，另一边 OD 与 AC 交于点 M 222；（ 1）如图 1，当 A=30 °时，求证： MC =AM+BC（ 2）如图 2，当 A 30°时，（ 1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，

22、请写出你认为正确的结论，并说明理由；（ 3）将三角形ODE 绕点 O 旋转，若直线 OD 与直线 AC 相交于点 M ，直线 OE 与直线 BC 相交于点 N ，连接222成立吗？MN ，则 MN =AM +BN答：（填 “成立”或 “不成立 ”）分析： （ 1）过 A 作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF ，根据相似求出 AF=BC ，CO=OF ，求出 FM=CM ，根据勾股定理求出即可；（ 2）过 A 作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF，根据相似求出 AF=BC ，CO=OF ，求出 FM=CM ，根据勾股定理求出即可；（ 3）结论依然成立解答：（ 1）证明

23、：如图1，过 A 作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF ， ACB=90 °， BC AF ， BOC AOF ，=， O 为 AB 中点， OA=OB ， AF=BC ，CO=OF ， MOC=90 °， OM 是 CF 的垂直平分线，CM=MF ，22222，即在 RtAMF 中，由勾股定理得： MF =AM+AF =AM+BC222；MC =AM+BC（ 2）解：还成立，理由是：如图2，过 A 作 AF AC 交 CO 延长线于 F，连接 MF， ACB=90 °， BC AF ， BOC AOF ，= ， OA=OB ， AF=BC ， CO

24、=OF ， MOC=90 °， OM 是 CF 的垂直平分线， CM=MF ，22222，在 RtAMF 中，由勾股定理得： MF =AM+AF =AM+BC222；即 MC =AM+BC（ 3）成立点评： 本题考查了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似（ 2013?临沂）如图，矩形 ABCD中， ACB=30 °，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线 AC ， BD的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ， BC 所在的直线相交，交点分别为 E，

25、F（ 1）当 PE AB ， PF BC 时，如图 1，则的值为；（ 2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （ 0° 60°）角，如图 2，求的值；（ 3）在（ 2）的基础上继续旋转，当60° 90°，且使 AP ： PC=1： 2 时，如图3，的值是否变化？证明你的结论分析：（ 1）证明 APE PCF，得PE=CF；在Rt PCF 中，解直角三角形求得的值；（ 2）如答图1 所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PME PNF，并利用（1）的结论，求得的值；（ 3）如答图2 所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APM PCN，求得的值；然后证明 PM

26、E PNF ，从而由求得的值与（ 1）（2）问相比较，的值发生了变化解：（ 1）矩形ABCD ， AB BC ， PA=PC； PE AB ， BC AB ， PE BC ， APE= PCF； PF BC，AB BC ， PF AB ， PAE= CPF在 APE 与 PCF 中， APE PCF（ ASA ）， PE=CF在 Rt PCF 中，=tan30 °=，=（ 2）如答图 1，过点 P 作 PM AB 于点 M ， PNBC 于点 N，则 PM PN PM PN， PE PF， EPM= FPN，又 PME= PNF=90 °， PME PNF，由（1）知，=，=（ 3）答：变化证明：如答图 2，过点 P 作 PM AB 于点 M ，PN BC 于点 N ，则 PM PN， PM BC，