圆锥曲线参数方程

1、一、椭圆的参数一、椭圆的参数方程方程xyACBOP2636)23(sin)21(cos)23(sin)21(cossin) 1(cos)sin,(cos)23,21(),23,21(),0 , 1 (,)(sincosCMBMAMCBAyxxCBABC则设点的坐标分别为为参数是那么外接圆的参数方程轴对称关于，时点如图的平面直角坐标系，建立的外接圆的半径为、解：不妨设复习：圆的参数方程与普通方程的互化复习：圆的参数方程与普通方程的互化sincosryrxx x2 2+y+y2 2=r=r2 2222)()(rbyaxsincosrbyrax注：注：1、参数方程的特点是没

2、有直接体现曲线上点的、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。例例4 4 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y= ， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。解：（1）把x=3cos 代入椭圆方程，得到229cos1,94y224(1 cos)4sin,2所以 y2sin即 y。22si

3、n143cos()2sinyx2x由参数 的任意性，可取 y。所以，椭圆的参数方程是9为参数y参数方程。轴上的椭圆的，焦点在这是中心在原点为参数一个参数方程为的我们得到了椭圆由例xObyaxbabyax)(sincos)0( 142222如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a a，b b（a ab b0 0）为半径）为半径作两个圆，点作两个圆，点B B是大圆半径是大圆半径OAOA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A A作作ANOXANOX，垂足为，垂足为N N，过点，过点B B作作BMANBMAN，垂足为，垂足为M M，求当半径，求当半径OAOA绕点绕点O O旋转时点旋转

4、时点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. . OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=一、知识构建一、知识构建如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a a，b b（a ab b0 0）为半径）为半径作两个圆，点作两个圆，点B B是大圆半径是大圆半径OAOA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A A作作ANOXANOX，垂足为，垂足为N N，过点，过点B B作作BMANBMAN，垂足为，垂足

5、为M M，求当半径，求当半径OAOA绕点绕点O O旋转时点旋转时点M M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. . OAMxyNB解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. .sinbycosax)( 为参数消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. .2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数

6、规定参数的取值范围是的取值范围是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴1 .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.cosxasinyb说说 明：明：知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是:XOP=P椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是半径是半径OA的的

7、旋转角旋转角；是；是AOX=,不是不是MOX=.OAMxyNB探究：探究：P29 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分它们可以分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆。周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？你能说明它的构造原理吗？ABM提示：可以用直尺提示：可以用直尺AB和横槽

8、所成的角为参数，求出点和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。0ABMxyA，B，M三点固定，设三点固定，设|AM|=a，|BM|=b， 。MBx设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,所以M点的轨迹为椭圆。【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx(1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 co s(1)3 sinxycos(2)4 sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx巩固练习巩固练习为参数）(

9、为参数）(4_. _, _, _, ),( sin2cos 3.为为离心率离心率焦点坐标为焦点坐标为长为长为短轴短轴则此椭圆的长轴长为则此椭圆的长轴长为是参数是参数已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 yx2)0 ,3( 2/3二、知识应用二、知识应用例例1.在椭圆在椭圆 上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离的距离最小，并求出最小距离 14922yx（见课本（见课本P28）例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P设

10、设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例2、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin2016sincos160sin 2AD

11、ABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习练习21、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yxM最大值和最小值吗？的的前提下，求出满足进行类比，你能在实数

12、与简单的线性规划问题思考：yxzyxyx211625,2289,89 1 , 1)cos()cos(89sin8cos5)sin4 ,cos5(00zzM是椭圆上的一点，则设思考：思考：实数实数x x、y y满足满足 ，试求，试求x-yx-y的最大值与最小值，并指出何时取的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值最大值与最小值19)2(16) 1(22yxM解：解：由已知可设由已知可设 为参数），则为参数），则(sin32cos41yx)cos(53)sin33cos54(53)sin3cos4(3)sin32()cos41 ( yx,53sin,54cos其中其中 当当54cos)2cos

13、(cos,2, 1)cos(kZkk时54sin)2sin(sink519)53(32,5215441yx当 时，时，x-y的最大值为的最大值为8同理，当同理，当x=-11/5,y=-1/5时，时，x-y的最小值为的最小值为-2三、课堂总结三、课堂总结1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程2.椭圆的参数方程应用椭圆的参数方程应用四、布置作业：四、布置作业：1.P34 二、双曲线的参数方程二、双曲线的参数方程baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosbsec ,bsec()tanxaMyb所以的轨迹方程是为参数所以的

14、轨迹方程是为参数2a22222 2xyxy消去参数后，得-=1,消去参数后，得-=1,b b这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说

15、明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec ,btan ）：

16、b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。4.4.3 4.4.3 参数方程的应用参数方程的应用(3)(3) - -抛物线的参数方程抛物线的参数方程 引入引入: 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/

17、s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应如何确定飞行员应如何确定投放时机呢？投放时机呢？xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s思考：思考： 对于一般的抛物线，怎

18、样对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？建立相应的参数方程呢？xyoM(x,y)的参数方程不包括顶点这就是抛物线为参数，得到解出由定义可得数的的终边上，根据三角函在因为点设抛物线的普通方程为)(5()(tan2tan2,)6(),5()6.(.tan)5.(.222pypxyxxyMpxy的倒数。一点与原点连线的斜率的任意表示抛物线上除顶点外示抛物线。参数时，参数方程就表因此当的顶点点正好就是抛物线时，由参数方程表示的当为参数则有如果令ttttptyptxtt),()0 , 0(0)(22), 0()0 ,(,tan12思考：思考：参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？抛物线的参

19、数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当 =0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：思考： 怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的的参数方程？参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y2121212121212121,1,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线( )c练练 习习2122212122222121121212112222)2 ,2(),2 ,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于的轨迹方程。，求点相交于点并于且上异于顶点的两动点，是抛物线是直角坐标原点，、如图例MMABABOMOBOAppxyBAO,)0(2,32xyoBAM)8.(.1, 0)2()2(,