平面解析几何知识点归纳

1、平面解析几何知识点归纳 知识点归纳直线与方程1.直线的倾斜角规定：当直线l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角的取值范围为 0,)2.斜率： k tan (a) ， kR2斜率公式：经过两点P1( x1 , y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) ( x1x2 ) 的直线的斜率公式为kP1P2y2y1x2x13.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式ykxbk 是斜率b 是纵截距与 x 轴不垂直的直线点斜式yy0k( xx0 )(x0 , y0 ) 是直线上的已知点两点式yy1xx1(x1, y1 ), (x2 , y2 ) 是直线上与两坐标轴均不垂直y2y1x2

2、x1的两个已知点的直线( x1x2 , y1y2 )截距式xya 是直线的横截距不过原点且与两坐标a1bb 是直线的纵截距轴均不垂直的直线一般式AxByC0当 B0时，直线的横截距C( A2B20)为A当 B0时，所有直线ACC,分别为直线BAB的斜率、横截距，纵截距能力提升斜率应用例 1.已知函数f (x) log 2 (x 1) 且 ab c 0 ，则 f (a) ,f (b) ,f (c) 的大小关系abc例 2.已知实数x, y 满足 yx22x2( 1x1) ，试求 y3 的最大值和最小值x2两直线位置关系两条直线的位置关系位置关系平行重合相交垂直设两直线的方程分别为：相交，交点坐标

3、为方程组直线间的夹角：l1 : y k1 x b1l 1 : A1 x B1 y C10l 2 : y k 2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1 (A1 B2-A2B1=0)A2B2C2k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C2k1k2A1B1A2B2k1 k21A1 A2B1B20l1 : yk1 xb1或 l 1 : A1 xB1 yC10；当 k1 k2或 A1B2A2 B1 时它们l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20yk1 x b1 或A1 x B1 y C10y k2 x b2A2 x B2

4、y C 20若为 l 1 到 l 2的角 ， tank2 k1或 tanA1 B2A2B1 ；1 k2k1A1 A2B1B2为 l 1 和 l 2k2k1A1 B2A2 B1若的夹角 ，则 tan或 tanA1 A2；1 k2 k1B1B2当 1 k1 k2 0 或 A1 A2 B1 B20 时，90o ；直线 l1 到 l 2 的角与 l1 和 l 2 的夹角：()2或() ；2距离问题1.平面上两点间的距离公式P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 )则P1P2(x2x1 )( y2 y1 )2.点到直线距离公式点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : AxBy C0 的距

5、离为： dAx0By0CA2B 23.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 ： AxBy C10，l2 ： Ax By C20 ，则 l 1 与 l 2 的距离为 dC1C2A2B 24.直线系方程 : 若两条直线 l1 ： A1 xB1 yC10 ， l 2： A xB yC20 有交点，则过 l1 与 l 2 交点的22直线系方程为 ( A1xB1 yC1)( A xByC)0 或222(A2 x B2 y C2 ) +( A1 xB1 y C1 )0 ( 为常数 )对称问题x1x2A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 A, B

6、中点 H (x, y)x21.中点坐标公式：已知点的坐标公式为y2y1y2点 P(x0 , y0 ) 关于 A( a, b) 的对称点为 Q( 2a x0 ,2b y0 ) ，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2. 轴 对 称 ：点 P(a,b)关 于 直 线AxByc0(B0) 的 对 称 点 为 P' ( m,n) ， 则 有n - b(A)1m - aB，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。ambnABC 022（ 1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 A(a, b) 关于 C (c,d ) 的对称点 ( 2ca,2d

7、b)直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用l 1 / l 2 由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线l1 : 2x3 y60 关于点 P(1, 1) 对称的直线 l 2 的方程。点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点 A( 3,5) 关于直线 l : 3x4y40 对称的坐标。直线关于直线对称： （设 a,b

8、关于 l 对称）、若 a, b 相交，则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；若 a / l ，则 b/ l ，且 a, b 与 l 的距离相等。、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设 P(x, y) 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于 l 的对称点 P' 的坐标适合 a 的方程。如：求直线a : 2xy40 关于 l : 3x4 y10 对称的直线 b 的方程。能力提升例 1. 点 P( 2,1) 到直线 mxy30(mR) 的最大距离为例 2. 已知点 A(3,1) ，在直线yx 和 y0上各找一点M 和 N ，使AMN 的周长最

9、短，并求出周长。线性规划问题：（ 1）设点 P(x0 , y0 ) 和直线 l : AxByC0 ，若点 P 在直线 l 上，则 Ax0By0C0；若点 P 在直线 l 的上方，则 B( Ax0By0 C ) 0 ；若点 P 在直线 l 的下方，则 B(Ax 0By0C) 0；（ 2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式AxByC0(0) ，当 B0 时，则AxByC0 表示直线 l : AxByC0 上方的区域；AxByC0表示直线l : AxByC0 下方的区域；当 B0 时，则 AxByC0 表示直线 l : AxByC0 下方的区域；AxByC0表示直线 l : AxB

10、yC0 上方的区域；注意：通常情况下将原点( 0,0) 代入直线AxByC 中，根据0 或0 来表示二元一次不等式表示平面区域。（ 3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当 B0 时，将直线 AxBy0 向上平移，则 zAx By 的值越来越大；直线 AxBy0 向下平移，则 zAxBy 的值越来越小；当 B0 时，将直线 Ax By0 向上平移，则 z AxBy 的值越来越小；直线 AxBy0 向下平移，则

11、zAxBy 的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数yC(4,2)z xay 取得最小值的最优解有无数个，则a 为；（ 1）设点 P(x0 , y0 ) 和直线 l : AxByC0 ，OA(1,1)B(5,1)x若点 P 在直线 l 上，则 Ax0By0C0 ；若点 P 在直线 l 的上方，则 B( Ax0 By0 C ) 0 ；若点 P 在直线 l 的下方，则 B(Ax 0By0C )0 ；（ 2）二元一次不等式表示平面区域：当对于任意的二元一次不等式B0 时，则 AxByCAxByC0 表示直线l :0( Ax0) ，ByC0 上方的区域；Ax 当

12、By BC0 表示直线0 时，则 AxByl : AxCByC0 表示直线0 下方的区域； l : Ax By C0 下方的区域；AxByC0 表示直线 l : AxByC0 上方的区域；注意：通常情况下将原点( 0,0) 代入直线AxByC 中，根据0 或0 来表示二元一次不等式表示平面区域。（ 3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当 B0 时，将直线 AxBy0 向上平移，则 zAx By 的值越来越大；

13、直线 AxBy0 向下平移，则 zAxBy 的值越来越小；当 B0 时，将直线 Ax By0 向上平移，则 z AxBy 的值越来越小；直线 AxBy0 向下平移，则 zAxBy 的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数yC(4,2)zxay 取得最小值的最优解有无数个，则a 为；OA(1,1)B(5,1)x圆与方程2.1 圆的标准方程： ( x a) 2( y b) 2 r 2 圆心C(a, b) ，半径 r特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2 y 2 r 2.2.2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：(1

14、)点在圆上d=r ； (2) 点在圆外d r ；(3) 点在圆内d r 2.给定点 M (x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( xa) 2(yb) 2r 2 .M在圆C内( x0a) 2( y0b) 2r 2M在圆 C上（ x 0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2M在圆C外( x0a) 2( y0b) 2r 22.3 圆的一般方程：x 2y 2DxEyF0.当 D 2E24F0 时，方程表示一个圆，其中圆心CD ,E，半径 rD2 E2 4F.222当 D 2E 24F0 时，方程表示一个点DE,.2 2当 D 2 E2 4F 0 时，方程无图形（称虚圆） .注：（ 1）方程 Ax 2

15、BxyCy 2Dx EyF0 表示圆的充要条件是：B0且A C 0且D2 E24AF 0.圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径A( x1, y1) B(x2 , y2 )(xx1 )( xx2 ) ( yy1)( yy2 )02.4 直线与圆的位置关系：直线 AxByC0与圆 (x a)2( yb) 2r 2 的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离， ( dAaBb CA2B2（ 1）（ 3）drdr相离0 ； (2) dr相切0 ；相交02.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1， O2，半径分别为 r1， r2， O1O2d 。（ 1） dr1r2外离4条公切线 ；（ 2） d r1r 2外切3条公切线 ；（ 3）1r2d1r2相交2条公切线 ；（ 4）dr1 r2内切1条公切线 ；rr（5） 0dr1r2内含无公切线 ；外离外切相交内切内含圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆 x 2 y2r 2 的斜率为k 的切线方程是y kx 1 k 2 r 过圆 x 2 y 2 Dx Ey F0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为： x 0 xxx 0Ey y 0F0 .y 0 y D22一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(