Chapter维纳滤波实用PPT学习教案

1、会计学1Chapter维纳滤波实用维纳滤波实用2021-9-27Norbert Wiener美国美国数学家数学家BS at Tufts CollegePhD at Harvard University1949年年出版的书籍出版的书籍Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series （平稳时间序列的外平稳时间序列的外延、内插和平滑延、内插和平滑）被引用次数：被引用次数：41602/31第1页/共46页2021-9-27)(nx)(ns)(nw真实信真实信号号 观察观察/测量数据测量数据加性噪声加性噪声/干干

2、扰扰 ms nx nh nh m x n m nsnsne线性估计问题线性估计问题最小均方误差估计最小均方误差估计(minimum mean-square error)估计误差估计误差 22( ( )( ) minE e nE s ns nh n维纳滤波维纳滤波-对真实信号的最小均方误差估计问题对真实信号的最小均方误差估计问题.3/31第2页/共46页2021-9-27平滑平滑滤波滤波预测预测 这里我们只考虑滤波和预测问题！这里我们只考虑滤波和预测问题！ -1-1-nm nps nh n m x m 0-nms nh n m x m -10-Nms nh n m x m4/31第3页/共46页

3、2021-9-27l5.2.1 因果的维纳滤波器因果的维纳滤波器将上式对将上式对h(m)求偏导求偏导(m=0,1,2,)，得：，得：5/31第4页/共46页2021-9-27即：即：用相关函数用相关函数R来表达上式，则得到维纳霍夫方程的来表达上式，则得到维纳霍夫方程的离散形式：离散形式： 6/31第5页/共46页2021-9-27从维纳霍夫方程中解出的从维纳霍夫方程中解出的h就是最小均方误差下的就是最小均方误差下的最佳最佳h: hopt(n)。求到。求到hopt(n) ,这时的均方误差为最小这时的均方误差为最小： 7/31第6页/共46页2021-9-27l5.2.2 有限脉冲响应法求解维纳有

4、限脉冲响应法求解维纳-霍夫方程霍夫方程如何求解维纳霍夫方程，即下式如何求解维纳霍夫方程，即下式hopt(n) 。有限脉冲响应指有限脉冲响应指h(n)是因果序列，并且序列长度为是因果序列，并且序列长度为N，则，则：8/31第7页/共46页2021-9-27转化成矩阵形式：转化成矩阵形式：简化形式：简化形式：自相关矩自相关矩阵阵待求单位脉冲响应待求单位脉冲响应互相关序列互相关序列9/31第8页/共46页2021-9-27只要只要Rxx是非奇异的，就可以求单位脉冲响应是非奇异的，就可以求单位脉冲响应H：求到求到hopt(n) ,这时的均方误差为最小：这时的均方误差为最小： 进一步简化：进一步简化：

5、10/31第9页/共46页2021-9-27当有限长的当有限长的N较大时，可以通过下式求解：较大时，可以通过下式求解：举例：若信号举例：若信号s(n)与噪声与噪声w(n)互不相关，即：互不相关，即：则有：则有：11/31第10页/共46页2021-9-27【例例5-1】参见教材参见教材pp.7212/31第11页/共46页2021-9-27 本节主要用当前观测信号本节主要用当前观测信号x(n)和过去观测数据和过去观测数据x(n-1)、x(n-2)、x(n-3)来估计当前或将来的信号值。来估计当前或将来的信号值。 也是用也是用真值和估计值的均方差最小真值和估计值的均方差最小为估计准则。为估计准则

6、。13/31第12页/共46页2021-9-27l5.3.1 因果的维纳滤波预测器因果的维纳滤波预测器 与维纳滤波器的推导一样，设与维纳滤波器的推导一样，设h(n)是物理可实现的是物理可实现的，即因果序列：，即因果序列： h(n)=0，当，当n0时，则有时，则有14/31第13页/共46页2021-9-27 即：即：用相关函数用相关函数R来表达上式：来表达上式： 如果是如果是N点长序列，则有：点长序列，则有：15/31第14页/共46页2021-9-27l5.3.2 一步线性预测器一步线性预测器 然而预测的问题往往建立在过去的然而预测的问题往往建立在过去的p个观测值个观测值的基础上来预测当前值

7、，即：的基础上来预测当前值，即： 这就是一步线性预测公式，常用如下式子表示这就是一步线性预测公式，常用如下式子表示：16/31第15页/共46页2021-9-27式中，式中，p为阶数，为阶数， 。预测的均方误差为：。预测的均方误差为：要使均方误差最小，将上式右边分别对要使均方误差最小，将上式右边分别对 求偏导，求偏导，得得p个等式：个等式：最小均方误差为：最小均方误差为：17/31第16页/共46页2021-9-27Yule-Walker方程方程Yule-Walker方程与维纳方程与维纳-霍夫方程比较：霍夫方程比较：（1）维纳）维纳-霍夫方程要估计的量是霍夫方程要估计的量是s(n), Yule

8、-Walker方程估计方程估计的量是的量是x(n)本身；本身；（2）维纳）维纳-霍夫方程要已知霍夫方程要已知x(n)与与s(n)的互相关函数，实际中的互相关函数，实际中往往是未知的，往往是未知的，Yule-Walker方程只需方程只需x(n)的自相关函数。的自相关函数。结论：结论： Yule-Walker方程比维纳方程比维纳-霍夫方程更具有实用价值。霍夫方程更具有实用价值。维纳维纳-霍夫方程霍夫方程18/31第17页/共46页2021-9-27pp.81,【例例5-5】19/31第18页/共46页2021-9-271、滤波器的目的？、滤波器的目的？信号和干扰以及随机噪声同时输入滤波器时，在输信

9、号和干扰以及随机噪声同时输入滤波器时，在输出端能将信号的尽可能精确的还原出来。出端能将信号的尽可能精确的还原出来。2、维纳滤波器的输入与输出的关系？、维纳滤波器的输入与输出的关系？20/31第19页/共46页2021-9-273、平滑（内插）、滤波、预测的概念？、平滑（内插）、滤波、预测的概念？平滑平滑滤波滤波预测预测 21/31第20页/共46页2021-9-274、判断维纳滤波器的类型、判断维纳滤波器的类型有限脉冲维纳有限脉冲维纳-霍夫方程霍夫方程因果维纳因果维纳-霍夫方程霍夫方程信号与噪声不相关的有限信号与噪声不相关的有限脉冲维纳脉冲维纳-霍夫方程霍夫方程Yule-Walker方程方程2

10、2/31第21页/共46页2021-9-275、将、将【例例5-5】中的中的p=3，实现一步线性预测器，实现一步线性预测器，并求最小均方误差。并求最小均方误差。23/31第22页/共46页2021-9-27维纳滤波器的传递函数：维纳滤波器的传递函数：( )( )( )( )snsS wH wSwS wN两信号的相干函数：两信号的相干函数：12( )( )|( )( )|xyxyxxyySwwSw Sw前前i次观测信号的功率谱密度和前次观测信号的功率谱密度和前i-1次的关系修正如下次的关系修正如下：11( , )( ,1)( , )( , )xxxiS w iS w iw i Sw iii噪声修

11、正如下：噪声修正如下：11( , )( ,1)(1( , )( , )nnxiS w iS w iw i Sw iii( , )( , )( , )( , )snsS w iH w iSw iS w iN相干函数加权构造的维纳滤波器：相干函数加权构造的维纳滤波器：24/31第23页/共46页2021-9-27对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示（对每次观测用短时傅立叶变换求时频表示（TFR）：）：对对N次观测的时频表示（次观测的时频表示（TFR）求平均：）求平均：样本平均为：样本平均为：样本平均的时频表示（样本平均的时频表示（TFR）为：）为：25/31第24页/共46页2021-9-27得到

12、一个基于样本平均的简单时频平面后验维纳滤波器得到一个基于样本平均的简单时频平面后验维纳滤波器： 分别对分别对 和和 修正：修正：26/31第25页/共46页2021-9-27流程图如下：流程图如下： 27/31第26页/共46页2021-9-27结果如下：结果如下： （a）原信号是两个正弦波，观测信号混有白噪声）原信号是两个正弦波，观测信号混有白噪声 测量的单个样本测量的单个样本样本平均样本平均TFPW滤波滤波原始信号原始信号（b）原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声）原信号是线性调频信号，观测信号混有白噪声 测量的单个样本测量的单个样本样本平均样本平均TFPW滤波滤波原始信号原始信号28

13、/31第27页/共46页2021-9-271、掌握：维纳滤波的数学模型；、掌握：维纳滤波的数学模型；2、熟悉：维纳滤波器的时域解；、熟悉：维纳滤波器的时域解；3、了解：维纳预测器和维纳滤波的应用。、了解：维纳预测器和维纳滤波的应用。29/31第28页/共46页2021-9-271、总结和归纳维纳滤波器。、总结和归纳维纳滤波器。30/31第29页/共46页2021-9-27下集预告下集预告第六章第六章 卡尔曼滤波卡尔曼滤波31/31第30页/共46页2021-9-27clear allnp = 0:99;% p = sin(pi/5*np); % 正弦正弦% p = exp(-0.06*np);

14、 % 指数衰减指数衰减% p = sin(pi/5*np).*exp(-0.06*np); % 指数衰减正弦指数衰减正弦p = ones(size(np); % 方波方波figure;subplot(2,2,1); plot(np,p);n = 0:1000;w = randn(size(n);s = zeros(size(n);A = 3; % 衰减系数衰减系数s(100:199) = s(100:199)+A*p;s(500:599) = s(500:599)+A/3*p;s(800:899) = s(800:899)+A/3/3*p;x = s+w;figure;subplot(3,1,

15、1); plot(n,w); title(Noise);subplot(3,1,2); plot(n,s); title(Signal);subplot(3,1,3); plot(n,x); title(Signal with Noise);p = p,zeros(1,length(x)-length(p); % 如果要求归一化相关系数（相干系数），两个序列要同样长如果要求归一化相关系数（相干系数），两个序列要同样长Rpw = xcorr(w,p,coeff);Rps = xcorr(s,p,coeff);Rpx = xcorr(x,p,coeff);n2 = (n(1)-n(end):(n(

16、end)-n(1);figure;subplot(3,1,1); plot(n2,Rpw); title(Rpw of p(n) and w(n);title(Rpw of p(n) and w(n);subplot(3,1,2); plot(n2,Rps); title(Rps of p(n) and s(n);title(Rps of p(n) and s(n);subplot(3,1,3); plot(n2,Rpx); title(Rpx of p(n) and x(n);title(Rpx of p(n) and x(n);源程序：源程序：32/31第31页/共46页2021-9-27

17、1、模板为方波信号，、模板为方波信号，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为105010000.511.5201002003004005006007008009001000-505Noise01002003004005006007008009001000024Signal01002003004005006007008009001000-10010Signal with Noise-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000

18、-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)33/31第32页/共46页2021-9-272、模板为正弦信号，、模板为正弦信号，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1050100-1-0.500.5101002003004005006007008009001000-505Noise01002003004005006007008009001000-505Signal01002003004005006007008009001000-10010Signal wi

19、th Noise-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)34/31第33页/共46页2021-9-273、模板为指数衰减信号，、模板为指数衰减信号，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为105010000.20.40.60.8101002003004

20、005006007008009001000-505Noise01002003004005006007008009001000024Signal01002003004005006007008009001000-505Signal with Noise-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.200.2Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.500.5Rp

21、x of p(n) and x(n)35/31第34页/共46页2021-9-274、模板为指数衰减正弦信号，、模板为指数衰减正弦信号，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1050100-1-0.500.5101002003004005006007008009001000-505Noise01002003004005006007008009001000-505Signal01002003004005006007008009001000-505Signal with Noise-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p

22、(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.200.2Rpx of p(n) and x(n)36/31第35页/共46页2021-9-275、只改变模板信号的形状，、只改变模板信号的形状，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-200

23、02004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)-1000-8

24、00-600-400-20002004006008001000-0.200.2Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.500.5Rpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps o

25、f p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.200.2Rpx of p(n) and x(n)方波方波正弦波正弦波指数衰减波指数衰减波指数正弦衰减波指数正弦衰减波37/31第36页/共46页2021-9-276、模板信号为方波，、模板信号为方波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为0.5、1和和2-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps

26、 of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-2000200400600

27、8001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.500.5Rpx of p(n) and x(n)噪声均值为噪声均值为0，方差为，方差为0.5噪声均值为噪声均值为0，方差为，方差为1噪声均值为噪声均值为0，方差为，方差为238/31第37页/共46页2021-9-277、模板信号为方波，、模板信号为方波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1，3种函数：种函

28、数：-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)线性互相干函数线性互相干函数线性互相关函数线性互相关函数线性卷积函数线性卷积函数-1000-800-600-400-20002004006008001000-40-20020Rpw of p(n) and w(n)-

29、1000-800-600-400-20002004006008001000-1000100200300Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-1000100200300Rpx of p(n) and x(n)0200400600800100012001400160018002000-40-20020Cpw of p(n) and w(n)02004006008001000120014001600180020000100200300Cps of p(n) and s(n)020040060080010001200140

30、0160018002000-1000100200300Cpx of p(n) and x(n)39/31第38页/共46页2021-9-278、模板信号为正弦波，、模板信号为正弦波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1，3种函数种函数：线性互相干函数线性互相干函数线性互相关函数线性互相关函数线性卷积函数线性卷积函数-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-8

31、00-600-400-20002004006008001000-101Rpx of p(n) and x(n)0200400600800100012001400160018002000-40-2002040Cpw of p(n) and w(n)0200400600800100012001400160018002000-200-1000100200Cps of p(n) and s(n)0200400600800100012001400160018002000-200-1000100200Cpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-200020040060080

32、01000-40-2002040Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-200-1000100200Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-200-1000100200Rpx of p(n) and x(n)40/31第39页/共46页2021-9-279、模板信号为指数衰减波，、模板信号为指数衰减波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1， 3种函数：种函数：线性互相干函数线性互相干函数线性互相关函数线性互相关函数线性卷积函数

33、线性卷积函数-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.200.2Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.500.5Rpx of p(n) and x(n)0200400600800100012001400160018002000-10-50510Cpw of p(n) and w(n)0200400600800100012001400160018002

34、00005101520Cps of p(n) and s(n)0200400600800100012001400160018002000-100102030Cpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-10-50510Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-100102030Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-100102030Rpx of p(n) and x(n

35、)41/31第40页/共46页2021-9-2710、模板信号为指数衰减正弦波，、模板信号为指数衰减正弦波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1，3种函数：种函数：线性互相干函数线性互相干函数线性互相关函数线性互相关函数线性卷积函数线性卷积函数-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.100.1Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-101Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-0.20

36、0.2Rpx of p(n) and x(n)0200400600800100012001400160018002000-10-50510Cpw of p(n) and w(n)0200400600800100012001400160018002000-10-50510Cps of p(n) and s(n)0200400600800100012001400160018002000-10-50510Cpx of p(n) and x(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-10-50510Rpw of p(n) and w(n)-1000-800-60

37、0-400-20002004006008001000-1001020Rps of p(n) and s(n)-1000-800-600-400-20002004006008001000-1001020Rpx of p(n) and x(n)42/31第41页/共46页2021-9-2711、模板信号为方波，、模板信号为方波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1，2种循环函数：种循环函数：1001点循环相关函数点循环相关函数1001点循环卷积函数点循环卷积函数01002003004005006007008009001000-2002040Rpw of p(n) and w(n)01

38、0020030040050060070080090010000100200300Rps of p(n) and s(n)01002003004005006007008009001000-2000200400Rpx of p(n) and x(n)01002003004005006007008009001000-20-1001020Cpw of p(n) and w(n)010020030040050060070080090010000100200300Cps of p(n) and s(n)01002003004005006007008009001000-1000100200300Cpx of

39、 p(n) and x(n)Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*Vps;Vpx=circler(p);Cpx=x*Vpx;Vpw=circlel(p);Rpw=w*Vpw;Vps=circlel(p);Rps=s*Vps;Vpx=circlel(p);Rpx=x*Vpx;43/31第42页/共46页2021-9-2712、模板信号为正弦波，、模板信号为正弦波，A=3，噪声均值为，噪声均值为0，方差为，方差为1，2种循环函数：种循环函数：1001点循环相关函数点循环相关函数1001点循环卷积函数点循环卷积函数0100200300400500

40、6007008009001000-40-2002040Rpw of p(n) and w(n)01002003004005006007008009001000-200-1000100200Rps of p(n) and s(n)01002003004005006007008009001000-200-1000100200Rpx of p(n) and x(n)01002003004005006007008009001000-40-2002040Cpw of p(n) and w(n)01002003004005006007008009001000-200-1000100200Cps of p(n) and s(n)01002003004005006007008009001000-200-1000100200Cpx of p(n) and x(n)Vpw=circler(p);Cpw=w*Vpw;Vps=circler(p);Cps=s*Vps;Vpx=circler(p);Cpx=x*Vpx;Vpw=circlel(p);