东北大学考研金属塑性成型力学课后答案

1、1-6物体内某点的应力分量为x= y=20MPa , xy=10MPa，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。解:I1xyz=40MPa12(x yy)2zz xxy2 2yzzx =-300 MPa13x2y zxy2yz zxx yz2 2=0y zxz xy u340230001 =30MPa2 =10 MPa3=01-7变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为 MPa，是答复以下问题?1注明主应力；2分解该张量；3 给出主变形图；4 求出最大剪应力，给出其作用面。解：1注明主应力如以下列图所示:2分解该张量；50060060 =06007003给出主变形图4最大剪应力131 MPa

2、其作用面为A1-8物体内两点的应力张量为a点1=40 MPa , 2=20 MPa , 3=0 ；b点：x y =30MPa,xy=10 MPa，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。解:a点1112360MPa1 2(122331) =-800 MPa1 31 23=0I1xyz =60 MPaI2(xyy zz)2 2xxyyzzx =-800 MPaI3X yz2xy yz zx2 2x yzy zx2 =0z xy v其特征方程-样，那么它们的应力状态相同。1-10某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm2,载荷为P=6000N ；1求此瞬间的应力分量、偏差应力

3、分量与球分量2画出应力状态分解图，写出应力张量；3画出变形状态图。4000偏差应力分量为0-20000-202000球应力分量为02000020解:( 1)600060MPa10010 6那么 160Mia2 0；30 ；应力分量为6000000 =00-60200040000200 +0-200002000-20(2)应力状态分解图为分x 7MPa xy4MPa y=o, yZ=4Mia, zx=-8Mia, z=-i5Mia。画出应力状态图，写出应力张量。解：-841-84151-16某点应力状态为纯剪应力状态，且纯剪应力为 -10MPa求：(1) 特征方程；(2) 主应力；(3) 写出主

4、状态下应力张量；(4) 写出主状态下不变量；(5) 求最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，并在主应力状态中绘出其(3) 主状态下应力张量为(4 )主状态下不变量I 11 2( 1 22 3I312 3=0100000000-10123=03 1)=-( -100) =100(5)最大剪应力为1310- (-10)=2 =10 MPa ；作用面。解: ( 1)1 1xyz =0+0+0=01 2( x yy zz)2xxy22yzzx =10013x y z2xy yz zx2x yz2 2=0y zxz xy v特征方程为3 1000(2)其主应力为1 = 10MPa ； 2 = 0 MP

5、a ； 3 = -10 MPa八面体正应力 8= ! 1313)3(10010)038= 3 ( 1- 2)+ ( 2- 3)+ ( 3- 1)= 3 (10-0 )2+ (0+102+ (-10-10 ) = 10 .6333MPa最大剪应力在主应力状态中绘出其作用面为:1-17应力状态如图1-35所示：1 计算最大剪应力、八面体正应力、八面体剪应力，绘出其作用面;2 绘出主偏差应力状态图，并说明假设变形，会发生何种形式的变形。解：1最大剪应力13213-6-(-10)=2 =2MPa八面体正应力八面体剪应力3)1(6810)8Mia8= 1(1-2)2+ (2"3)2+(3&qu

6、ot;= 1(-6+8)2+ (-8+10)2+ (-10+6)2=- V63332 主偏差应力状态图如下所示:变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。1 - 3 0- (-10 )(1) 取大剪应力 13=-一 =5八面体正应力118=3( i 23)3(0510)5MFa33八面体剪应力3变形时是平面变形，一个方向拉伸，另外一个方向缩短。(0+5)2+(-5+10)2+(-10+0)2= 563-8_31最大剪应力13=3 =2.513 2 2八面体正应力1 1 168=3 12333+5+8-3- MPa八面体剪应力8=1 1-22+ 2-32+3-12 =丄8-52+5-32

7、+3-82 = -.383 '33a变形时是体积变形，一个方向拉伸，另外两个个方向缩短。1-14，轧板时某道轧制前后的轧件厚度分别为H=10mm h=8mm轧辊圆周速度v=2000mm/s轧辊半径R=200.试求该轧制时的平均应变速率。解：轧制时的平均应变速率为：10822.22m / s& 2v H h 22000200H+h R10+81-13轧制宽板时，厚向总的对数变形为InH/h=0.357，总的压下率为30%共轧 两道次，第一道次的对数变形为 0.223 ;第二道次的压下率为0.2，试求第二道 次的对数变形和第一道次的压下率。解：第二道次的对数变形为 第一道次的压下率

8、为1-12压缩前后工件厚度分别为 H=10mn和h=8mm压下速度为900mm/s试 求压缩时的平均应变速率。解：压缩的平均应变速率&=2Vy =2900H h =10+8= 100m/s1-11试证明对数变形为可比变形，工程相对变形为不可比变形。 证明：设某物体由I。延长一倍后尺寸变为2l 0.其工程变形为e 2L L 100% 100%L如果该物体受压缩而缩短一半，尺寸变为0.51 °,那么工程变形为e 0.5L L 100%50%L物体拉长一倍与缩短一半时，物体的变形程度应该一样。而用工程变形表示拉压 程度那么数值相差悬殊。因此工程变形失去可以比较的性质。用对数变形表示

9、拉压两种不同性质的变形程度，不失去可以比较的性质。拉长-倍的对数变形为,2L , oIn In 2缩短一半的对数变形为In0.5LLIn 2c由屈雷斯加屈服准那么: 由密席斯屈服准那么12s+1.5 s-1.5s+0.5所以对数变形满足变形的可比性。2-4.某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为ax=75 , oy=15 , oz=0 , Ty=15 应力单位为MPa,假设该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？解：由由密席斯屈服准那么：1 22zz2 6 2xxy2 yz2 xzs '2 x yy得该材料的屈服应力为：s1 2.2 75 15215 02 20 75

10、61520 073.5MPa2-5.试判断以下应力状态弹性还是塑性状态？-4 s 000.2s000-5 s0 ；00.8 s00 0-5 s000.8 s0.5 s0 0c)j0s0001.5s解:a由屈雷斯加屈服准那么：o-妒os得：-4 o- ( -5 o)=os。应力处于塑性状态。由密席斯屈服准那么 一1 r 122322123s。应力处于塑性状态。b由屈雷斯加屈服准那么：d - d= d 得:-0.2 os+0.8 os =0.6o,应力处于弹性状态。由密席斯屈服准那么1云122322132应力处于弹性状态。0.6d- d3= os 得：-0.5 os- ( -1.5 os) = o

11、s,应力处于塑性状态。应力处于弹性状态2-15 应力状态 M=-50MPa ,£=-80 MPa , e=-120 MPa , e=10 , 79 MPa，判断产生何变形，绘出变形状态图，并写出密赛斯屈服准那么简化形式。解：a由屈雷斯加屈服准那么：5-03=08得：-50-120=70 MPa<1oJ79 MPa。应力处于弹性状态。由密席斯屈服准那么10.37 MPa <10 , 79 MPa。应力处于弹性状态。偏差应力分量为100 031000110变形状态图如下:密赛斯屈服准那么简化形式如下:132 2-80-50-1202 - 1d13-50(-120) 722=2

12、 =2=713；2sJ3+ 2匸，12ss37d3+ 7k与屈服应力的关系。2-14绘出密赛斯屈服准那么简化形式，指出参数的变化范围和 答：密赛斯屈服准那么简化形式“3参数d变化范围为-11, 1s3k与屈服应力关系为 k=2-13三向压应力状态下产生了轴对称的变形状态, 的屈服极限为200 MPa，试求第二和第三主应力。解：s=200Mfa1 =-50 Mia轴对称的变形状态，且第一主应力为-50 MPa，如果材料s=200Mia3=-250 Mia2 = 3 =-250 MP或 1= 2 =_50 Mia2-12两向压应力的平面应力状态下产生了平面变形，如果材料的屈服极限为200 MPa，

13、试求第二和第三主应力。解：平面应力，那么 平面变形，那么1 +3 = _322按屈雷斯卡塑性条件:s=200Mia3=-200 MP2=-100MP按密赛斯塑性条件:=2=220022?00 Mfa.3200 MP、32-11写出主应力表示的塑性条件表达式。 答：主应力表示的塑性条件表达式为： 屈雷斯卡屈服准那么：max密赛斯屈服准那么:=22-10写出平面应变状态下应变与位移关系的几何方程。 答：平面应变状态下应变与位移关系的几何方程：xy2-9推导薄壁管扭转时等效应力和等效应变的表达式。解：薄壁扭转时的应力为：xy0，其余为y z yz zx主应力状态为:13 xy yx2=0屈服时：Iz

14、*1 =-3_ xy_Km=0等效应力为:3 1 =、3 xy=- 3K等效应变为:92"32 2 2 2d 1 d 2 d 2 d 3 d 3 d 1V32-8试写出屈雷斯卡塑性条件和密赛斯条件的内容，并说明各自的适用范围。答：屈雷斯卡塑性条件内容： 假定对同一金属在同样的变形条件下,无论是简单应力状态还是复杂应力状态，只要最大剪应力到达极限值就发生屈服，即max适用范围：当主应力不知时，屈雷斯卡准那么不便适用。密赛斯条件的内容：在一定的塑性变形条件下，当受力物体内一点的应力偏张量的第2不变量到达一定值时，该点就进入塑性状态。屈服函数为|-P22 C2x yy zz xxyyzzx

15、适用范围：密赛斯认为他的准那么是近似的，不必求出主应力，显得非常简便。2-7以下三种应力状态的三个主应力为：(1) 6=2 6 02=6 03=0 ；( 2) 6 = 0 , 02=- (T, 03=- 6；(3 ) 6= 6,6= 6 6=0，分别求其塑性应变增量p3)与等效应变增量d 的关系表达式。解：dyPd xyd yzxd 1Pxyd fyzzx1p=d>dm)f=d-Pd(1)3f dd9m)p11p=d (2PP2 d 2m)=d (22d 3)d 3)=d2=d2- m)=d ()=0d f=d ( 3- m=d (0- )=-d=-d3p_1(2)=d(0+)=d=d

16、(m=d (-=d (m=d (-)=-d 1 =-2 d 2 =-2d 31i=(3=-d2d=d=-护 3n)=d)=id(2- n?=d：=d(3- n?=d(0-)=-2d3ip=d:=-1d ：2 2 3-pd2 2d 2) d f d f2d ip=2dip=2d ；=-d ：3-1镦粗圆柱体, 方程。并假定接触面全黏着，试用工程法推导接触面单位压力分布答：接触面全黏着,k及屈服公式dd z代入微分平衡方程式d rdr0，得d rdr2k边界条件R, za那么接触面外表压力曲线分布方程为2 s(R3h(Rr)那么接触面单位压力分布方程为pz.2 rdr(13-2平面变形无外端压缩矩

17、形件，并假定接触面全滑动即pf ，试用近似力平衡方程式和近似塑性条件推导确定平均单位压力p的公式答:将 f pf代入力平衡微分方程式d xdx0得牛dx2f再将屈服准那么式d xxd y代入上式dydx2f yhx积分上式y Ce，由边界条件a点xa 0, xya0 ,由剪应力互等,yxa那么由(x-y)24 xy24k2，边界处yaK常摩擦系数区接触外表压应力分布曲线方程为lP 2 2 ydx0 y2 1平均单位压力为 P2 ydX厂|0y(x)-K2整个接触面均为常摩擦系数区条件下fl"h3-3在750X 1000mm勺二辊轧机上冷轧宽为590mrtl勺铝板坯，轧后宽度为610m

18、m该铝板退火时板坯厚为 H=3.5mm压下量分配为 3.5mnr2.5mm 1.7mnr 1.1mm该铝的近似硬化曲线s 6.88.2，摩擦系数f=0.3，试用斯通公式计算第三道次轧制力P。_1解：解：按斯通公式 h 2(H h)12 (1.7 1.1) 1.4mmRT,375 (1.7-1.1)15mmfl_h0.3151.43.21e3.21x3.217.4轧件在变形区的平均变形程度-1/H°HHoh Hoh1Hoh2、( )4 H。H。H。H。(03.52.53.53.51.73.53.53.537.14%那么该合金的平均变形抗力s6.88.26.8 8.20.37149.85

19、 MPa100KKTb1.1559.8511.38 MPa22P7.411.38=84.2 MPa铝板坯平均变形宽带为B-BB 后600mm那么第三道次轧制力P3-4在500轧机上冷轧钢带，H=1mm h=0.6mm, B=500mm f=0.08 ,200MPa f300MPa sh 1(H解：按斯通公式h)600MPa,试计算轧制力。1-(1 0.6)20.8 mmlRhflxh n I K.250 (1-0.6)0.08 1010.81e1110mm1.73轧件在变形区的平均变形程度-1( H。H H02( H。飞那么该合金的平均变形抗力h)(01 0.6)""1)2

20、0%K K b2p 1.73443=766.4 MPa1.1556002003002443MPap B l 84.260015757.8k N铜带平均变形宽带为'后B 二BB 前 后 500mm2那么轧制力P p B l 766.4500103832kN3-5试推导光滑拉拔时，拉拔应力的表达式。答：光滑拉拔时，无摩擦力f，先将别离体上所有作用力在x轴向的投影值求出, 然后按照静力平衡条件，找出各应力分量间的关系。作用在别离体两个底面上作用力的合力为P<=-D(Dd x 2 xdD)作用在别离体锥面上的法向正压力在轴方向的投影为 2DNx=cndxtan a - dB二片 Dtan

21、 a dx=片DdDx 0n2n2 n作用在别离体锥面上的剪力在轴方向的投影为0;根据静力平衡条件DDd x 2 xdD)bngD 042整理后得Dd x 2 xdD 2ndD 0将塑性条件近似屈服准那么代入上式x2dDD积分上式，得2 slnD C当DDb，x b代入上式C b2sInDb那么x2sInDbxb2 JnDoDs当xXa，sDDaf xxabIn (頁)2ssD.因为DDa2xabsDb2 sInDbb 2 sln &bsxaInD2代入上式得sxaInsln3-7-轧板时假定接触面全滑动， 途径 答：轧板时假定接触面全滑动 卡尔曼做了如下假设：1把轧制过程看成平面变形

22、状态；2x沿轧件高向、宽向均匀分布；3接触外表摩擦系数f为常数.将作用在此单元体上的力向x轴投影，并取得力平衡试建立卡尔曼方程，并指出解此方程的这个主要(x d x)( hxdhx)xhx2Pxdsin2fp xrd cos 0展开上式，并略去高阶无穷小，得xdhxhxd x2pxrdsin2fprd cos 0f cos式中+号为前滑区，-号为后滑区 此方程为卡尔曼方程原形。解此方程的主要途径将单元体的上、下界面假设为斜平面， 另外将屈服准那么的近似式 Pxx K代入到方程中来。分别对前滑区和后滑区的边界条件代入到前滑区和后滑区的方程中，求出常数项C来。3-8试任举一例子说明工程法的根本出发

23、点和假定条件以及用此法求解变形力 的主要步骤。举例如下:圆柱体周围作用有均布压应力，如下列图。用主应力求镦出力P和单位流动压力设t =mk。工程法的根本出发点：简化为平面圆柱压缩为轴对称问题，米用柱座标。设三个坐标方向的正应力CT、耐和7视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如下列图，单元体 沿径向的静力平衡方程为：耳+必Tj尸亠日严护创-dg 2匸q尸溯弘2g巴悶厂=令sind02d 02，并忽略二次微分项，那么得日込| 牛|凯込_ q由于轴对称条件，7=70此时平衡方程简化为根据米赛斯屈服条件,2 z .-drh可得近似表达式为3-1代入式(3-1)，得因此In2K2mk

24、z ,-drh2mkr CGe2mk r h3-2边界条件：当r R时,q= q。由近似屈服条件知，此时的 z 2K + q，代入方程式3-2,可得2KCi代入式3-2，得2K2mkRhz所需变形力P为:2K2m4h0 e3-3P= f cr_- 2兀dJo压板上的平均单位压力用p表示，那么- PP R24-1如下列图，滑移线场和屈服剪应力k的方向，试判断一下哪个是a线,哪个是B线。解：a线是使单元体具有顺时针旋转的趋向，那么图中 a线和B线如以下列图所示。4-2如下列图，a线上的a点静水压力200MP©经a的切线与x轴的夹角 15度，由a点变化到b点时，其夹角的变化为15度，设k=

25、50MPa,求：1) b点的静 水压力是多少？ 2)写出b点的应力张量。Pa+2k a Pb+2k bPa+2< aPb+永 b15173.8 MPaPb=Pa+2k ab200+2 50 冷180b点的应力张量x(Pk sin 2 b)173. 850sin (230)217. 1MPay(pk sin2 b)Pk sin 2-173.850 si n(230)-130. 5MPayxkcos2 b50cos (230)25MPa217. 1130. 5zxy173. 8MPaPb22xzzxyzzy0ij217.1250250130.500-173.8那么b点的应力张量为4-3如下列

26、图，滑移线场，试判断一下 aB的方向。解：aB的方向如下列图4-4,如下列图，滑移线场的主应力的方向，试判断一下哪个是a族？哪个是B族解：a族和B族如下列图4-5试推导沿B线汉基应力方程式 p 2k C2答：滑移线的微分方程为 对B线dydxtg 'tg(-P2)ksi n2ksi n2Pxy-Pksi n2ksi n2kcos2代入平面应变问题的微分平衡方程yxxy2k cos2 sin2 xxy2k sin2cos2 x取滑移线本身作为坐标轴,-0 y设为轴a和B轴。这样，滑移线场中任何一点的位置,可用坐标值a和B表示。当沿着a坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值B不变, 当然沿着坐

27、标轴B从一点移动到另一点时，坐标轴 a也不变(上xdxdy) 2k xdx(cos2 xdy dxctgdpPxdx dy ydp2kdx(cos2 xsin 2ctgcos2sin 2 ctg1si n2cos 2 ctgctgdp2kdx 2kxydxctg0dp2kdx 2kdxctg0xy)sin2 巴)2kdx(sin2dxycos2 巴)0dx2k dx(sin2cos 2 ctg )0ydpdxx2kddyy02kC2试表达并证明汉基第一定理。 汉基第一定理： 角是常数。 证明：在同一族 的任一条滑移线4-6同族的两条滑移线与另一族滑移线相交，其相交处两切线间的夹例如a族的两条滑移线例如 a 1和a 2线与另一族例如B族 例如B 1和B 2线的两个交点上，其切线夹角与静水压力的变化厶p均保持常数，如以下列图所示A-B沿a线Pa 2k a Pb 2k bB-C(沿B线)Pb 2k bPc 2k cPc Pa 2k( A C 2 B)A-D(沿B线)Pa 2k aPd 2k DD-C(沿a线)Pc 2k cPd 2k dpcpA 2k(2 DCA)4-7试滑移线理论证明接触面光滑情况下压缩半无限体问题的单位压力公式 证明：按Henchy应力方程，沿 b线DFGCTPd2k Dpc2k CPcPd 2k( d c)3 Pd kD C4 43P