2018-2019-2学期高二年级3月考试试题（精编版）

1、2018-2019-2学期高二年级 3 月考试试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上 .）1.若，则等于（）a. 2b. 1c. 1d. 2【答案】 c【解析】【分析】由题意结合导函数的定义求解【详解】由导数的定义可知：，则.的值即可 .本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.2. 已知函数 f(x) 的导函数为，且满足（e 为自然对数的底数），则（ ）a.b. ec. -d. - e【答案】 c【解析】【分析】由题意可得：，令可得的值.【详解】由题意可

2、得：， 令可得： .本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 等于（）a. 0b. 1c. 2d.【答案】 b【解析】【分析】由题意，利用定积分的几何意义，将原问题转化为求解平面图形面积的问题，据此确定定积分的值即可.【详解】如图所示，由定积分的几何意义可知表示图中阴影部分的面积，故： .本题选择 b 选项.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题.4. 已知函数 f (x) = 2x36x2+ m （m 为常数）在 2，2上有最大值 3，那么 f (x) 在2，2上最小值为（ ）a. -37b. -29c

3、. -5d. -11【答案】 a【解析】因为由已知， f x（）=6x2-12x ，有 6x2- 12x0得 x2或 x 0，因此当 x2 ，+），（-，0时 f（x）为增函数，在 x0 ，2时 f（x）为减函数，又因为 x-2，2，所以得当 x-2，0时 f（x）为增函数，在x0 ，2 时 f（x）为减函数，所以 f（x）max=f （0）=m=3 ，故有 f（x）=2x3-6x2+3所以 f（-2）=-37 ，f（2）=-5因为 f（-2）=-37 f（2）=-5 ，所以函数 f（x）的最小值为 f（-2）=-37 答案为 a5.设 f0(x) sin x ，f1(x) f0 (x)f2，

4、(x) f1 (x)，fn (x)， n n，f2则019(x) （ ）a. sin xb. sin xc. cos xd. cos x【答案】 d【解析】【分析】fn，1(x) 由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2019(x) 的值即可 .【详解】由题意可得：，据此可得的解析式周期为， 注意到，故 .本题选择 d 选项.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 内接于半径为 r 的圆的矩形的周长的最大值为()a. rb. 2rc. rd. 4r【答案】 c【解析】【分析】由题意可得矩形的边长分别为：，据此得到周长的

5、表达式，最后由三角函数的性质可得周长的最大值.【详解】由题意可得矩形的边长分别为：，则矩形的周长为：，结合三角函数的性质可知，当时，周长取得最大值：.本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，实际应用题的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 方程-lnx -2=0的根的个数为（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】 c【解析】【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可.【详解】令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增；且：，结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点，方

6、程-lnx -2=0的根的个数为 2.本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 由曲线 yx2 与曲线 y2x 所围成的平面图形的面积为()a. 1b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，结合定积分的几何意义可知曲线yx2 与曲线 y2 x 所围成的平面图形的面积为：.本题选择 b 选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.9. 设函数在区间 a1，a1 上单调递减，则实

7、数a 的取值范围是()a. ，2)b. (1 ，2c. (0 ，3d. (4 ，【答案】 b【解析】【分析】函数的定义域为，由导函数的解析式可知函数的单调递减区间 为，单调递增区间为，据此得到关于a 的不等式组，求解不等式组可得实数 a 的取值范围 .【详解】函数的定义域为，由函数的解析式可得：， 据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 结合题意有：，解得：，即实数 a 的取值范围是 (1，2.本题选择 b 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，属于中等题. 10.以初速 40 m/s竖直向上抛一物体， t s 时刻的速度 v4010t2 ，则此物体达到最高时的高度为（ ）

8、a.mb. mc. md. m【答案】 a【解析】由 v4010t2 0?t2 4，t2.h(40 10t2)dt 80 (m) 选 a.11. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛， 每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了 解到以下情况：（ 1）甲不是最高的；（ 2）最高的是没报铅球；（ 3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步可以判断丙参加的比赛项目是（）a. 跑步比赛b. 跳远比赛c. 铅球比赛d. 不能判定【答案】 a【解析】分析：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙参加了铅球，由（2） 可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）

9、可 知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙参加了铅球，由（2） 可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛 .故选： a.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.12. 如图，直线 l 和圆 c，当 l 从 l0 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 s 是时间 t 的函数，这个函数的图像大致是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】由题意可知： s 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢

10、”，据此确定函数的大致图像即可 .【详解】观察可知面积s 变化情况为“一直增加，先慢后快， 过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知d 符合要求.故选 d.【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、选择题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上 .）13. 曲线在点 m(，0)处的切线方程为 【答案】【解析】【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：， 所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【点睛】导数运算及

11、切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积 .14. 在用数学归纳法证明不等式的过程中，从 nk 到 nk+1时，左边需要增加的代数式是 . 【答案】【解析】【分析】分别写出和时左侧对应的代数式，然后比较两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.【详解】当时，等式左侧为：， 当时，等式左侧为：，据此可得，左边需要

12、增加的代数式是.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，整体思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.若函数 f(x) x3 x24ax c(a>0) 在(， ) 内无极值点，则 a 的取值范围是 【答案】【解析】【分析】很明显，且，结合题意可知，据此可得实数a 的取值范围 .【详解】很明显，由函数的解析式可得：，函数在(， ) 内无极值点，则：,整理可得： .即 a 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值点，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 定义域为的可导函数的导函数是，且满足，则不等式的解集为 【答案】【解析】令

13、，可得函数在 r 上为减函数， 又，故不等式即 .不等式的解集为.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于 整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质， 那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作 用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用 的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 .三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分）17. 求证：【答案】见

14、解析【解析】【分析】由题意可知 x>1，构造函数 f(x)ex(1x) ，利用函数 f(x) 的最小值可证明 ex 1x构造函数 g(x) 1+x ln(1 x)，利用函数 g(x) 的最小值可证明 1x >ln(1 x)【详解】根据题意，应有 x>1，设 f(x) ex(1x)，则 f (x)ex 1，由 f (x)=0，得x=0.当 1< x < 0时， f (x)<0；x当> 0时， f (x)>0f(x)(在1，0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增，f(x)min= f(0)=0当 x>1， f(x)f(0)=0， 即 ex

15、1x设 g(x) 1+x ln(1x) ，则， 由 g (x)=0，得x=0.当 1< x < 0时， g (x)<0；当x > 0时， g (x)>0 g(x)在(1，0) 上单调递减，在 (0， ) 上单调递增， g(x)min=g(0)=1当 x>1， g(x) g(0)=1>0 ， 即 1x >ln(1 x)综上可得： .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，利用导函数证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .18. 已知函数 y=f(x) 在区间a，b 上的图像是连续不间断的曲线，且 f

16、(x) 在区间a，b 上单调， f(a)>0 ，f(b)<0. 试用反证法证明：函数 y=f(x) 在区间a，b上有且只有一个零点 .【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知 y=f(x) 在区间a，b上一定存在零点x0， 假 设 y=f(x) 在区间a，b上还存在一个零点x1 （ x1x0），利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.【详解】因为函数 y=f(x) 在区间a，b上的图像连续不间断，且f(a)>0 ，f(b)<0 ，即 f(a) · f(b)<0. 所以函y=数f(x) 在区间a，b上一定存在零点 x0，假设 y=f(x) 在区间a，b

17、上还存在一个零点 x1（ x1x0），即f(x1)=0 ，由函数 f(x) 在区间a，b 上单调且 f(a)>0 ，f(b)<0 知 f(x) 在区间a，b 上单调递减；若 x1>x0 ，则 f(x1)< f(x0) ，即 0<0 ，矛盾， 若 x1<x0 ，则 f(x1) > f(x0) ，即 0>0 ，矛盾，因此假设不成立，故y=f(x) 在区间a，b上有且只有一个零点 .【点睛】应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛

18、盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.19. 如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱 子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多 少？【答案】见解析【解析】【分析】设箱子的底边长为x cm ，则箱子高 hcm. 故其体积 v(x) (0<x<60) v (x)60x x2 0，据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可.【详解】设箱子的底边长为x cm ，则箱子高 hcm.箱子容积 vv(x) x2h (0<x<60) 求 v(x) 的导数，得 v (x)6

19、0x x2 0，解得 x10(不合题意，舍去 )，x2 40.当 x 在(0,60) 内变化时，导数v (x)的正负如下表：x(40,60(0,40)40)v (x) 0因此在 x40 处，函数 v(x) 取得极大值，并且这个极大值就是函数 v(x) 的最大值将 x40 代入 v(x) 得最大容积 v 402×16 000(cm3) 所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 设，是否存在关于自然数n 的函数，使等式对于的一切自然数都

20、成立？并证明你的结论【答案】存在，证明见解析【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明 试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜想，下面用数学归纳法证明： 当时，等式恒成立（1） 当时，由上面计算可知，等式成立；（2） 假设且时，等式成立，即成立， 那么当时，当时，等式也成立由知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立考点：归纳猜想及数学归纳法的应用【方法点晴】本题主要考查了归纳猜想、数学归纳法的应用， 属于中档试题，本题中根据的值，归纳猜想，再用数学归纳法 的一般步骤：（ 1）验证时，命题成立；（2）假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立；（3）由上述（ 1

21、）（ 2）得命题成立，其中假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立过 程中，忽视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递 推关系的运算，作出合理猜想也是本题的一个难点21. 若函数 ,当时,函数有极值为 ,(1) 求函数的解析式；(2) 若有个解 ,求实数的取值范围 .【答案】（）（）【解析】【分析】由题意可得 f (x)3ax2 b.(1)满足题意时有，据此确定可得a,b 的值，从而确定函数的解析式；(2)由(1) 可得 f (x)x24(x 2)(x 2)，据此确定函数的极大值和极小值，原问题等价于直线yk 与函数 f(x)的图象有 3 个交点，据此可得k 的取值范围 .【详解】 f

22、(x)3ax2 b.(1) 由题意得解得故所求函数的解析式为f(x) x34x 4.(2)由(1) 可得 f (x)x24(x 2)(x 2)，令 f (x)0，得 x2或 x 2.当 x 变化时， f (x)f(x，) 的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f (x)00f(x)因此，当 x 2 时， f(x)有极大值，当 x2 时， f(x) 有极小值，所以函数 f(x) x34x 4 的图象大致如图所示若 f(x) k 有 3 个不同的根，则直线yk 与函数 f(x)的图象有3 个交点，所以 <k<.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值

23、等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a r.（i） 讨论 f(x)的单调性；（ii） 确定 a 的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数 )。【答案】 (1) 当 时， <0，单调递减；当时，>0 ，单调递增 ;(2) .【解析】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性， 解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（）问，对求导，再对 a 进行讨论，从而判断函数的单调性；第（）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.试题解析：（）<0 ，在内

24、单调递减 .由=0，有.此时，当 时， <0，单调递减； 当 时， >0，单调递增 .（）令=，=.则=.而当时，>0 ，所以在区间内单调递增 .又由=0，有>0， 从而当时，>0.当，时，=.故当>在区间内恒成立时，必有.当时，>1.由（）有,从而，所以此时>在区间内不恒成立 .当时，令，当时，因此，在区间单调递增 .又因为，所以当时，即恒成立.综上，.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调 性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基

25、本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于 0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到，有一定的难度2018-2019-2学期高二年级 3 月考试试题一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1. 若，则等于（）a. 2b. 1c. 1d. 2【答案】 c【解析】【分析】由题意结合导函数的定义求解的值即可 .【详解】由导数的定义可知：，则.本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考

26、查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.2. 已知函数 f(x)的导函数为，且满足（e 为自然对数的底数）， 则（ ）a.b. ec. -d. - e【答案】 c【解析】【分析】由题意可得：，令可得的值.【详解】由题意可得：， 令可得： .本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 等于（）a. 0b. 1c. 2d.【答案】 b【解析】【分析】由题意，利用定积分的几何意义，将原问题转化为求解平面图形面积的问题，据此确定定积分的值即可 .【详解】如图所示，由定积分的几何意义可知表示图中阴影部分的面积，故： .本题选择

27、 b 选项.【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于基础题.4.已知函数 f (x) = 2x36x2+ m （m 为常数）在 2，2上有最大值 3，那么 f (x) 在2，2上最小值为（ ）a. -37b. -29c. -5d. -11【答案】 a【解析】因为由已知，f x（） =6x2-12x ，有 6x2- 12x0得 x2或 x 0，因此当 x2 ，+），（-，0时 f（x）为增函数，在x0 ，2时 f（x）为减函数，又因为 x-2，2 ，所以得当 x-2， 0 时 f（x）为增函数，在 x0 ，2 时 f（x）为减函数，所以 f（x）max=f （0）=m=3 ，故有 f（ x）=

28、2x3-6x2+3所以 f（-2 ）=-37 ，f（ 2）=-5因为 f（-2 ）=-37 f（ 2）=-5，所以函数 f（x）的最小值为 f（ -2）=-37 答案为 a5.设 f0(x) sin x ，f1(x) f0 (x)f2，(x) f1 (x) ，（ ）a. sin xb. sin xc. cos xd. cos x【答案】 d【解析】fn， 1(x) fn (x) ， n n，f2则019(x) 【分析】由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2019(x) 的值即可 .【详解】由题意可得：，据此可得的解析式周期为， 注意到，故 .本题选择 d 选项.【点睛】本题主要

29、考查导数的运算法则，周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .6. 内接于半径为 r 的圆的矩形的周长的最大值为()a. rb. 2rc. rd. 4r【答案】 c【解析】【分析】由题意可得矩形的边长分别为：，据此得到周长的表达式，最后由三角函数的性质可得周长的最大值.【详解】由题意可得矩形的边长分别为：，则矩形的周长为：，结合三角函数的性质可知，当时，周长取得最大值：.本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，实际应用题的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 方程-lnx -2=0的根的个数为（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答

30、案】 c【解析】【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可 .【详解】令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 且：，结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点， 方程-lnx -2=0的根的个数为 2.本题选择 c 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .8. 由曲线 yx2 与曲线 y2 x 所围成的平面图形的面积为()a. 1b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分

31、的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，结合定积分的几何意义可知曲线yx2 与曲线 y2 x 所围成的平面图形的面积为：.本题选择 b 选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.9. 设函数在区间 a1，a1上单调递减，则实数a 的取值范围是 () a. ，2)b. (1 ，2c. (0 ， 3d. (4 ，【答案】 b【解析】【分析】函数的定义域为，由导函数的解析式可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，据此得到关于 a 的不等式组，求解不等式组可得实数 a 的取值范围 .【详解】函数的定义域为，由函数的解析式可得：， 据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间

32、为， 结合题意有：，解得：，即实数 a 的取值范围是 (1，2.本题选择 b 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，属于中等题.10. 以初速 40 m/s 竖直向上抛一物体， t s 时刻的速度 v40 10t2 ，则此物体达到最高时的高度为（）a.mb. mc. md. m【答案】 a【解析】由 v40 10t2 0?t2 4，t 2.h(40 10t2)dt 80 (m) 选 a.11. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人 参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（ 2）最高的是没报铅球；（ 3）最矮的参加了跳

33、远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步可以判断丙参加的比赛项目是（）a. 跑步比赛b. 跳远比赛c. 铅球比赛d. 不能判定【答案】 a【解析】分析：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选： a.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.12. 如图，直线 l 和圆 c，当 l 从 l0 开始在平

34、面上绕点o 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过 90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积s 是时间 t 的函数，这个函数的图像大致是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】由题意可知： s 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积s 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知d 符合要求 .故选 d.【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、选择题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答

35、案写在答题卡上 .）13. 曲线在点 m(，0)处的切线方程为 【答案】【解析】【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：， 所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14. 在用数学归纳

36、法证明不等式的过程中，从nk 到 nk+1 时，左边需要增加的代数式是. 【答案】【解析】【分析】分别写出和时左侧对应的代数式，然后比较两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.【详解】当时，等式左侧为：， 当时，等式左侧为：，据此可得，左边需要增加的代数式是.【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，整体思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .15. 若函数 f(x) x3x24ax c(a>0) 在(， ) 内无极值点，则a 的取值范围是 【答案】【解析】【分析】很明显，且，结合题意可知，据此可得实数a 的取值范围 .【详解】很明显，由函数的解析式可得：，函数在(，

37、) 内无极值点，则：,整理可得： .即 a 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的极值点，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 定义域为的可导函数的导函数是，且满足，则不等式的解集为 【答案】【解析】令，可得函数在 r 上为减函数， 又，故不等式即 .不等式的解集为.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中 .某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用 .因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和

38、方法，这是非常必要的 .根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧 .许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 .三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17. 求证：【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知 x>1，构造函数 f(x) ex (1 x)，利用函数 f(x) 的最小值可证明ex 1x构造函数 g(x) 1+x ln(1 x)，利用函数 g(x) 的最小值可证明1x >ln(1 x)【详解】根据题意，应有 x> 1，设 f(x) ex(1 x)，则 f (x)ex 1 ，由 f (x)=0

39、，得x=0.当 1< x < 0 时， f (x)<0 ；x当> 0 时， f (x)>0 f(x)(在1，0) 上单调递减，在 (0， ) 上单调递增，f(x)min= f(0)=0 当 x>1， f(x)f(0)=0， 即 ex 1x设 g(x) 1+x ln(1 x)，则， 由 g (x)=0 ，得x=0.当 1< x < 0 时， g (x)<0 ；当x > 0 时， g (x)>0 g(x) 在( 1，0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增，g(x)min=g(0)=1 当 x>1， g(x) g(0)=1&

40、gt;0 ， 即 1 x >ln(1 x)综上可得： .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，利用导函数证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 已知函数 y=f(x) 在区间a， b上的图像是连续不间断的曲线，且f(x) 在区间a，b上单调， f(a)>0 ，f(b)<0. 试用反证法证明：函数y=f(x) 在区间a，b 上有且只有一个零点 .【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知 y=f(x) 在区间a，b上一定存在零点x0，假设 y=f(x) 在区间a，b上还存在一个零点x1（ x1x0），利用反证法证明假设不成

41、立即可证得题中的结论.【详解】因为函数y=f(x) 在区间a，b上的图像连续不间断，且f(a)>0 ，f(b)<0 ，即 f(a)· f(b)<0.所以函数 y=f(x) 在区间a，b上一定存在零点x0，假设 y=f(x) 在区间a，b上还存在一个零点x1 （ x1x0），即f(x1)=0 ，由函数 f(x) 在区间a， b上单调且 f(a)>0 ， f(b)<0 知 f(x) 在区间a，b上单调递减； 若 x1>x0 ，则 f(x1)< f(x0) ，即 0<0，矛盾，若 x1<x0 ，则 f(x1) > f(x0) ，即

42、 0>0，矛盾，因此假设不成立，故y=f(x) 在区间a， b上有且只有一个零点 .【点睛】应用反证法时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指： 与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾 .19. 如图所示，在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】见解析【解析】【分析】设箱子的底边长为x cm，则箱子高 hcm. 故其体积 v(

43、x) (0<x<60) v (x)据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可.【详解】设箱子的底边长为x cm ，则箱子高 hcm.箱子容积 vv(x) x2h (0<x<60) 60x x2 0，求 v(x) 的导数，得 v (x) 60x x2 0，解得 x1 0( 不合题意，舍去 )， x240.当 x 在(0,60) 内变化时，导数v (x) 的正负如下表：x(0,40)40(40,60)v (x)0因此在 x40 处，函数 v(x) 取得极大值，并且这个极大值就是函数v(x) 的最大值 将 x40 代入 v(x) 得最大容积 v 402×16 000(cm3) 所以箱子底边长取40 cm 时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 设，是否存在关于自然数n 的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论【答案】存在，证明见解析【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明 试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜想，下面用数学归纳法证明： 当时，等式恒成立（1） 当时，由上面计算可知，等式成立；（2） 假设且时，等式成立，即成立， 那么当时，当时，等式也成立由知，对一切