下料问题的优化设计

1、题1、下料问题的优化设计某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm长的毛坯不少于100根，35cm长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案， 使剩下的边角料总长最短。根据题目意义，运用优化设计理论和方法，完成设计全过程；工程问题分析： 数学模型建立及特征分析：优化方法选择；优化程序设计（解析优化）；计算结 果分析；结论及体会。基于MATLAB-维优化下料问题分析0前言生产中常会通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小零件, 这种工艺过程，称为原料下料问题。在生产实践中，毛坯下料是中小企业的一 个重要工序。

2、怎样减少剩余料头损失是节约钢材、降低产品成本、提高企业经 济效益的一个重要途径。在毛坯下料中我们常会遇到毛坯种类多、数量大的情 况，如不进行周密计算则因料头而造成的钢材损失是相当可观的。为使料头造 成的钢材损失减少到最小程度，我们可依据预定的目标和限制条件统筹安排， 以最少的材料完成生产任务。1 一维优化下料问题的具体模型分析设原材料长度为L,数量充足。需要切割成n(n > 0)种不同规格的零件，根据 既省材料容易操作的原则，人们已经设计好了n种不同的下料方式，设第j种下料方式中可下得第i种零件引个,又已知第i种零件得需要量为b个，Xj表示第 Bj种下料方式所消耗得零件数目，Cj表示第B

3、j种下料方式所得余料(j=1,2 , ?, n, Xj Z)。满足条件的切割方案有很多种，现在要求既满足需要又使所用 原材料数量最少，即最优下料方案满足：卩p =mi n (刀Cj Xj )约束条 件:X aij Xj 二b, Xj z。1.2 线性规划数学模型根据线性规划算法，约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量 的非负性。出变量的非负要求外，还有其他不等式约束条件，可通过引入松弛 变量将不等式约束化成等式约束形式。如果是求最大值的，则松弛模型最优解对 应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是 求最小值，则松弛模型最优解对应的目标函数值必于或等于整数规划

4、最优解对 应的目标函数值。因此对于最优下料方案模型为：n»p =【min f 】=三 CjXjjmn:匚 aij Xj = bj1_ +XjZ由式(1)的线性规划(LP)引入松弛变量<n% = m i n =瓦 CjXjj4n正 ajXj =bj(2)j4Xj aO如果得到的最优解是整数，则求解结束。该最优解也是式(1)的最优解。否则,得到的最优解只是式(1)的最优解的一个下界。这样可以把式(1)划分为两个子问题。再对式(3)和式(4)继续上述过程。若在某一时刻得到了一个全整数解xm,则xm为式(1)的一个上界。此时，若打算从子问题k开始分支，而这一问题的下界为 xk>x

5、m,则这一分支不必再考虑了，因为在这一分支中不会找到小于xm的解。如果 xkvxm,则分支过程还要继续。1.3 MATLAB 一维优化算法求解整数线性规划MATLA程序：function x, y = ILp ( f, G , h, Geq, heq, lb, ub, x, id, options) global upper op t c x0 A b Aeq beq ID opti ons;if nargin < 10, options = optimset( ) ; options. Disp lay =' off 'options. LargeScale ='

6、; off ' ; endif nargin < 9, id = on es( size ( f) ) ; endif nargin < 8, x = ; endif nargin < 7 | isemp ty( ub) ,ub=inf*on es(size (f) ); endif nargin < 6 | isempty( lb) , lb = zeros( size( f) ;endif nargin < 5, heq = ; endif nargin < 4, Geq = ; endupper = inf; c = f; x0 = x; A

7、= G; b = h; Aeq = Geq; beq = heq; ID=id;ftemp = ILP ( lb ( : ) , ub (:);x = opt; y = upper;fun cti on ftemp = ILP ( vlb, vub)global upper op t c x0 A b Aeq beq ID opti ons;x, ftemp, how = linp rog ( c, A, b, Aeq, beq, vlb, vub, x0, options);if how < = 0return;end;if ftemp - upper > 0. 00005 %

8、in order to avoid errorreturn;end;ifmax( abs( x*ID - round ( x*ID) ) ) < 0. 00005if upper - ftemp > 0. 00005 % in order to avoid errorop t = x ' ; upper = ftemp;return;elseop t = op t; x 'return;end;end;notintx = find ( abs( x - round ( x) ) > = 0. 00005) ; % in order to avoid error

9、intx = fix( x) ; tempvlb = vlb; tempvub = vub;if vub ( not in tx(1, 1) , 1) > = intx( noti ntx(1, 1) , 1) + 1;tempvlb (notintx(1, 1) , 1) = intx( notintx(1, 1), 1) + 1; ftemp = In tLP ( tempvlb, vub);end;if vlb ( notintx(1, 1) , 1) < = intx( notintx(1, 1), 1)tempvub ( not in tx(1, 1) , 1) = in

10、tx( n oti ntx(1, 1) , 1); ftemp = In tLP ( vlb, tempvub);end;2线性规划实例分析某车间有一大批长130c m的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料 中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm长的毛坯不少于100根，35cm 长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案，使剩下的边角料总长最短。分析：对于一维下料问题都可以用组合最优化的方法给出合理的下料方式。该题要求剩余边角料总长最短，可以转化为求使用原材料的量最少。设x1, x2, x3分别表示所需3种不同长度的棒料零件数，则70x1+32x2+35x3= 130(xi

11、Z+,i=1,2, 3)。其中x1< 1 ,表1给出下料方案。表1下料方案零件类型下料方式需要量B1B2B3B4B5B6A1 (70)110000> 100A2 (32)101240> 100A3 (35)012103> 100余料28252831225由表1可列出目标函数及其约束条件min f =28x+25x2 +28x3 +31x4 +2x5 +25x6X1 +X2 100X! X3 2x4 4X5 -1005x2 +2x3 + x4 兰 100*+"(123,4,5,6)用上面的MATLA程序求解方程组（5）> > c = 28, 25, 28, 31,2,25;；0,0,3;> >A = 1,1,0, 0, 0；1,0, 1,2, 4; 0,1,2,1,0> > b = 100; 100; 100 ;> > x, f = ILp(c, , , A, b, 0, 0, 0, 0, 0,0,inf, inf, inf, inf, inf