校2019届高三数学第九次月考试题理(含解析)（精编版）

1、校 2019届高三数学第九次月考试题理（含解析）（全卷共 150 分，考试时间为120 分钟） 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则集合 的真子集个数为（）a. 2b. 3c. 7d. 8【答案】 c【解析】【分析】先求出集合 a，进而求出其真子集的个数【详解】因为集合，集合1， ， ，真子集个数为 2317 个，故选：

2、 c【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题2. 我们用表示复数 的实部，用表示复数 的虚部，若已知复数 z 满足，其中 是复数 的共轭复数，则（）a. 0b.1c.d.【答案】 a【解析】【分析】利用复数的除法运算法则化简z，得到复数的虚部与实部，即可得结果【详解】因为，故选： a【点睛】本题考查复数的基本概念的应用，复数的除法运算法则的应用，考查计算能力3. 在等差数列中，前 项和 满足，则（）a. 7b. 9c. 14d. 18【答案】 b【解析】，所以，选 b.4. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2”“ 0”“ 1”“ 9”现从

3、中随机选出三个球，则所选的三个球上的字能构成等差数列的概率为（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n4，其中能构成等差数列包含的基本事件只有一个，由此能求出概率【详解】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“ 2”“ 0”“ 1”“ 9”，现从中随机选取三个球， 基本事件总数 n4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（0，1，2），共有 1 个，所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p 故选： d【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5. 若两个单位向量， 的夹

4、角为，则的最小值为（）a.b.c. 1d.【答案】 b【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方， 结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】两个单位向量， 的夹角为 120°， 可得 ?| |?| |cos120 °，则|k |222k?k221+k+k2 （ k）2，可得 k 时， | k |的最小值为 故选： b【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，考查了向量的模的运算，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题6. 已知随机变量 服从正态分布 且 ,则 ( )a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】先求再求最后求.【详解

5、】由题得所以.故答案为： b【点睛】 (1)本题主要考查正态分布和指定区间的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 对于正态分布指定区间概率的计算，不要死记硬背，要结合正态 分布图像求区间上的概率.7. 若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（）a. 40b. 30c. 20d. 15【答案】 d【解析】【分析】先根据二项式系数的性质求得n5，可得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得结果【详解】由展开式的二项式系数之和为2n32，求得 n5，可得展开式的通项公式为tr+1?=?， 令3，求得 r4，则展开式中含

6、的项的系数是5， 故选： d【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8. 关于 的不等式的解集为 ，则 的取值范围为 （）a.b.c.或d.【答案】 d【解析】【分析】分情况讨论，当时，求出满足条件的的值；当时， 求出满足条件的的取值范围，即可得出结果.【详解】当时，若，则原不等式可化为， 显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为 ， 所以只需，解得;综上， 的取值范围为：.故选 d【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.9. 将函数的图像向

7、右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则 的最小正值为（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】由题意根据函数 yasin （ x+ ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为 y2sin （ x 2 ），再利用正弦函数的图象的对称性，求得 ， kz，由此求得的最小值【详解】将函数的图象向右平移 （ 0）个单位，可得 y2sin2 （x）2sin （2x 2 ）的图象；再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y2sin （x2 ）再根据所得图象关于直线x对称，可得2k ，kz，即，故 的

8、最小正值为， 故选： c【点睛】本题主要考查函数yasin （ x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题10. 如图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】由题意可知的对称轴,又在定义域内单调递增，根据零点存在性定理即可得解.【详解】根据所给的二次函数图象观察可得，它的对称轴方程为，且，由于在定义域内单调递增，且所在的区间是，,故选 b.，函数的零点【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.11. 已知椭圆，f1 ，f2 为其左、右焦点， p 为椭圆 c 上任一点，的重心为 g，内心 i，且有（其中为实数），椭圆c 的

9、离心率 e= （ ）a.b.c.d.【答案】 a【解析】试题分析：方法一：如图，点为三角形的重心，点为三角形的内心，则，所以又因，所以，因此考点：求椭圆离心率【一题多解】方法二：特殊值法当点为椭圆短轴端点时，不妨设，则向量，也即点 与点 重合，此时内切圆的半径为，于是，解得故选 b12. 对于函数和，设，若对所有的， 都有，则称和互为“零点相邻函数”. 若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】先得出函数 f（x） ex1+x 2 的零点为 x1再设 g（x） x2axa+3 的零点为 ，根据函数f（x） ex 1+x 2 与 g（x）x2

10、axa+3 互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1 | 1，从而得g出（x） x2axa+3 的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可【详解】函数 f（x） ex 1+x 2 的零点为 x1设 g（x） x2 ax a+3 的零点为 ，若函数 f（x） ex1+x 2 与 g（x） x2 ax a+3 互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则 |1 | 1， 0 2，如图由于 g（x） x2 ax a+3 必过点 a（1，4），故要使其零点在区间 0，2 上，则 或 ， 解得 2a 3，故选： d【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图

11、象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13. 已知实数满足条件，则的最大值为 【答案】 2【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域， 由 zx+2y ，得 y，平移直线 y，由图象可知当直线y经过点 a 时， 直线 y的截距最大，此时z 最大由，得，即 a（0，1），此时 z 的最大值为 z 0+2× 12， 故答案为： 2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14. 在中

12、，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b ，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得： 即： a=b又解得： a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】【解析】【分析】讨论若 sin 0，若 sin 0，求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得 k 的范围，结合正切函数的图象，即可得到倾斜角的范围【详解】直线，若 sin 0，则 x3，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；若 sin 0，则直线的斜率k，由 1sin 0 或

13、 0sin 1，可得 k1或 k1，由 ktan （为不等于 90°的倾斜角），可得 45° 90°90或° 135°，综合以上可得，倾斜角的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，注意斜率不存在的情况，考查运算能力，属于中档题16. 已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若 为的中点，分别为上的动点 (不包括端点 )，且，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为 【答案】【解析】【分析】先根据条件得到bo平面 acd ；进而求出三棱锥namc 的体积的表达式，即可求出结论【详

14、解】因为正方形abcd的边长为 2， 所以： ac=4又平面 abc平面 acd ，o 为 ac边的中点bo ac；所以 bo平面 acd三棱锥namc的体积y=f（x）= s amc?no= ×ac?cm?sin acm?no= ×× 4?x?×（2x）=（x2+2x ）=（x1）2+当 x=1 即时，三棱锥的体积取得最大值设内切球半径为r此 时 解得 r=故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要

15、构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60 分17.已知函数=(1) 求函数的单调递增区间；(2) 已知在 abc中， a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若,，求.【答案】（ 1）函数的单调递增区间是（2） b=c=2【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间

16、；（ 2）由,求得，利用余弦定理，结合，列方程组可求得的值.【详解】 (1) =sin(3+x) · cos( -x)+cos+2x()，(-cosx)+(-sinx)=，由 2k- 2x-2k+， k z，可得函数的单调递增区间是k z(2)由,得， sin(2a-)+ =， 0<a<， 0<2a<2， a=2，b+c=4， 根据余弦定理得，4=+- 2bccos a=+- bc=(b+c)-3bc=16-3bc， bc=4，联立得， b=c=2 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考

17、查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心 .18. 某竞赛的题库系统有60% 的自然科学类题目， 40% 的文化生活类题目 (假设题库中的题目总数非常大)，参赛者需从题库中抽取 3 个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取 3 个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10 个题目作为样本，再从这10 个题目中任意抽取 3 个题目(1) 两种方法抽取的 3 个题目中，恰好有 1 个自然科学类题目和 2 个文化生活类题目的概率是否相

18、同 ?若相同，说明理由； 若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率(2) 已知某参赛者抽取的3 个题目恰好有 1 个自然科学类题目和2 个文化生活类题目，且该参赛者答对自然科学类题目的概率为 ，答对文化生活类题目的概率为设该参赛者答对的题目数为 x，求 x 的分布列和数学期望【答案】（ 1）两种抽取方法得到的概率不同（2）见解析【解析】【分析】（1）分别计算两种方法下概率，再比较，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公 式求期望 .【详解】 (1)两种抽取方法得到的概率不同方法一：由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取1 个题目，抽到自然科学类题目的概率均为

19、，抽到文化生活类题目的概率均为 ，所以抽取的 3 个题目中恰好有1 个自然科学类题目和 2 个文化生活类题目的概率为× ( ) =方法二：按照题目类型用分层抽样抽取的10 个题目中有 6 个自然科学类题目和4 个文化生活类题目，从这10 个题目中抽取 3 个题目，恰好有 1 个自然科学类题目和2 个文化生活类题目的概率为=(2)由题意得， x 的所有可能取值为0，1，2，3 p(x=0)=，p(x=1)=+=p(x=2)=+= ，p(x=3)= 所以 x 的分布列为x0123 px 的数学期望 e(x)=0 × +1× +2× +3×=【点睛】

20、求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式， 求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 .19. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，过任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线，与椭圆交于两点，且的周长为 8，当直线的斜率为 时，与 轴垂直.（）求椭圆的方程；（）在轴上是否存在定点，总能使平分？说明理由 .【答

21、案】（ 1）.（2）【解析】 试题分析：(1) 利用题意求得，.所以椭圆 的方程为.(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程讨论可得为所求.试题解析：（）因为，即， 有，所以，即，当直线的斜率为 时，与 轴垂直， 所以，由，且，解得，即，又，故，所以，由所以椭圆 的方程为，得.（）由（）得， 的坐标分别为，设直线，的方程为，两点联立，消去 ，整理得，所以，设，由已知平分，得，所以，即， 即，所以，即，所以，即， 所以为所求.20. 如图 1，在平行四边形中，点 是的中点，点 是的中点分别沿将和折起，使得面面(点在平面的同侧)，连接，如图 2 所示(1) 求证：；(2) 当，且面面时，求二面角

22、的余弦值【答案】（ 1）见解析；（ 2）1【解析】【分析】（1） 由已知可得cbf为等边三角形，连接ef，由已知可得bef为等边三角形取bf的中点 o，连接 oc ，oe，可得co bf， eo bf从而得到bf平面 coe ，则 bf ce；（2） 由（ 1）知， co bf，结合条件可证oe bf，求得，利用锥体体积公式求解即可.【详解】（ 1）四边形为平行四边形，点是的中点，又，为等边三角形，连接，由，得为等边三角形 取的中点 ，连接，则平面，则；（2）由（ 1）知，又平面平面， 则平面，又，三棱锥的体积【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思维能

23、力，是中档题21. 定义在 上的函数满足，(1) 求函数的单调区间；(2) 如果，且，求证：【答案】（ 1）单调递增区间为； （2）见解析 .【解析】【分析】（1）对求导得，可得，再在 f（x）中令 x0 得 f（0），从而得 f（x） e2x+x2 2x，可得，通过研究其导函数得到的单调区间；（2）先由（ 1）得单调递增且不妨设，分析，得 x1、x2 满足，要证，即证，由单调递增，故只需证明，构造函数再结合单调性即可证明结论【详解】 (1) 由令，得，故，得又，则，故，于是；当时，递减；当时，递增；故，故在 上单调递增， 所以的单调递增区间为(2) 注意到，由得由单调递增，不妨设，则，下面用

24、分析法， 要证，即证，由单调递增，故只需证明，而，故只需证，即证设，则，令则，单增，又, 即， 在 上单调递增，故【点睛】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性及证明不等式问题，利用构造函数进行证明不等式是解题的关键，属于较难题（二）选考题：共10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，曲线：（ 为参数），以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线 的极坐标方程为（1） 分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2） 设直线 交曲线于 ，两点，交曲线于 ，两点，

25、求线段的长【答案】（），（）【解析】试题分析 :（）由，能求出曲线 c1 的极坐标方程，曲线 c2 的参数方程消去参数能求出曲线c2 的普通方程，从而能求出曲线c2 的极坐标方程（）联立直线与圆的方程，求交点坐标，计算，的长， 从而根据计算可得 .试题解析：（）曲线 的普通方程为，即， 曲线的极坐标方程为，即因为曲线的极坐标方程为，即，故曲线的直角坐标方程为，即（）直线的极坐标方程为，化为直角坐标方程得，由得或.则，由得或则 故.23. 已知函数，.（1） 若，解不等式；（2） 若不等式至少有一个负数解，求实数的取值范围 .【答案】（ 1）；（ 2）见解析 .【解析】试题分析： (i)当时,利

26、用零点分段法去绝对值,将不等式变为分段不等式来求得解集；(ii) 作出函数的图象和函数的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求得的取值范围 .试题解析：（）若a=1 ，则不等式+3化为 2-+|x-1| 3当 x1时， 2-+x-1 3，即 -x+2 0， (x-)2+0不成立；当 x<1 时， 2-x+1 3，即 +x 0，解得 -1 x 0综上，不等式+3的解集为 x|-1x 0 （）作出y=的图象如图所示，当a<0 时，的图象如折线所示，由，得 +x-a-2=0，若相切，则=1+4(a+2)=0 ，得a=-，数形结合知，当a- 时，不等式无负数解，则-<a<

27、0 当 a=0 时，满足>至少有一个负数解当 a>0 时，的图象如折线所示，此时当 a=2 时恰好无负数解，数形结合知，当 a2时，不等式无负数解，则0<a<2 综上所述，若不等式>至少有一个负数解， 则实数 a 的取值范围是 (-，2)校 2019届高三数学第九次月考试题理（含解析）（全卷共 150 分，考试时间为120 分钟） 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效3. 考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，

28、共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则集合的真子集个数为（）a. 2b. 3c. 7d. 8【答案】 c【解析】【分析】先求出集合 a，进而求出其真子集的个数【详解】因为集合，集合1，真子集个数为 2317 个，故选： c【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题2. 我们用表示复数 的实部，用表示复数 的虚部，若已知复数z 满足，其中是复数 的共轭复数，则（）a. 0b.1c.d.【答案】 a【解析】【分析】利用复数的除法运算法则化简z，得到复数的虚部与实部，即可得结果【详解】因为，故选： a【点睛】本题考查复数的基本

29、概念的应用，复数的除法运算法则的应用，考查计算能力3. 在等差数列中，前 项和满足，则（）a. 7b. 9c. 14d. 18【答案】 b【解析】，所以，选 b.4. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“ 0”“ 1”“ 9”现从中随机选出三个则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率为（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n4，其中能构成等差数列包含的基本事件只有一个，由此能求出概率【详解】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”“ 0”“ 1”“ 9”，现从中随机选取三个球， 基本事件总数 n4，所选的三个球上的数字

30、能构成等差数列包含的基本事件有：（0，1，2），共有 1 个，所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p 故选： d【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用5. 若两个单位向量， 的夹角为，则的最小值为（）a.b.c. 1d.【答案】 b【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】两个单位向量， 的夹角为 120°，可得 ?|?| |cos120 °， 则|k |222k?k221+k+k2 （ k）2，可得 k时， |k|的最小值为 故选

31、： b【点睛】本题考查向量数量积的定义和性质，考查了向量的模的运算，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题6. 已知随机变量服从正态分布且,则()a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】先求再求最后求.【详解】由题得所以.故答案为： b【点睛】 (1) 本题主要考查正态分布和指定区间的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力 .(2) 对于正态分布指定区间概率的计算，不要死记硬背，要结合正态分布图像求区间上的概率 .7. 若 展开式二项式系数之和为 32，则展开式中含 项的系数为（ ）a. 40 b. 30 c. 20 d. 15【答案】 d【解析】【分析】先

32、根据二项式系数的性质求得n5，可得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于 3， 求得 r 的值，即可求得结果【详解】由展开式的二项式系数之和为2n 32 ，求得 n5， 可得展开式的通项公式为tr+1?=?，令 3，求得 r 4，则展开式中含的项的系数是5， 故选： d【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8. 关于 的不等式的解集为 ，则 的取值范围为 （ ）a.b.c.或d.【答案】 d【解析】【分析】分情况讨论，当时，求出满足条件的的值；当时，求出满足条件的的取值范围，即可得出结果 .【详解】当时，若，则原不

33、等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为不是恒成立，所以舍去； 当时，因为的解集为，所以只需，解得;综上， 的取值范围为：.故选 d【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.9. 将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横 坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为（）a.b.c.d.【答案】 c【解析】【分析】由题意根据函数 yasin （ x+ ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为y2sin （x2），再利用正弦函数的图象的对称性，求得， kz，由此求得 的最小值【详解】将函数的图象向右

34、平移（ 0）个单位， 可得 y 2sin2 （ x） 2sin （2x2）的图象；再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变）， 所得图象对应的函数为y2sin （x2）再根据所得图象关于直线x对称，可得2k， kz，即，故 的最小正值为， 故选： c【点睛】本题主要考查函数yasin （ x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题10. 如图是函数的部分图像，则函数的零点所在的区间是（）a.b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】由题意可知的对称轴,又在定义域内单调递增，根据零点存在性定理即可得解 .【详解】根据所给的二次函数图象观察可得，它的对称轴方程为，且，由

35、于在定义域内单调递增，且，函数的零点所在的区间是,故选 b.【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.11. 已知椭圆，f1 ，f2 为其左、右焦点， p 为椭圆 c 上任一点，的重心为 g，内心 i，且有（其中 为实数），椭圆c 的离心率 e=（ ）a.b.c.d.【答案】 a【解析】试题分析：方法一：如图，点为三角形的重心，点为三角形的内心，则，所以又因，所以，因此考点：求椭圆离心率【一题多解】方法二：特殊值法当点为椭圆短轴端点时，不妨设，则向量，也即点 与点 重合，此时内切圆的半径为，于是，解得故选 b12. 对 于 函 数 和 ，设，若对所有的 ， 都有 ，则称 和 互为“零点

36、相邻函数” . 若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】先得出函数 f（x） ex1+x 2 的零点为 x1再设 g（x） x2ax a+3 的零点为 ，根据函数f（x） ex1+x2 与 g（ x） x2ax a+3 互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1 | 1，从而得g出（ x） x2axa+3 的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可【详解】函数 f（ x） ex1+x 2 的零点为 x 1设 g（x） x2ax a+3 的零点为 ，若函数 f（ x） ex 1+x 2 与 g（ x） x2 axa+3 互为

37、“零点关联函数”，根据零点关联函数，则 |1 | 1， 0 2，如图由于 g（ x） x2axa+3 必过点 a（1， 4），故要使其零点在区间 0，2上，则或， 解得 2a 3，故选： d【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题：本大题共4 小题，每题 5 分，共 20 分13. 已知实数满足条件，则的最大值为 【答案】 2【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域， 由 zx+2y ，得 y，平

38、移直线 y，由图象可知当直线y经过点 a 时，直线 y的截距最大，此时z 最大 由，得，即 a（ 0， 1），此时 z 的最大值为 z 0+2× 12， 故答案为： 2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14. 在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得 a=b ，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得： 即： a=b又解得： a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】【解析】【分

39、析】讨论若 sin 0，若 sin 0，求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得 k 的范围，结合正切函数的图象，即可得到倾斜角的范围【详解】直线，若 sin 0，则 x 3 ，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；若 sin 0，则直线的斜率k， 由 1sin 0 或 0sin 1，可得 k1或 k1，由 ktan （为不等于 90°的倾斜角），可得 45° 90°90或° 135°，综合以上可得，倾斜角的取值范围是故答案为： 【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，注意斜率不存在的情况，考查运算能力，属于中档题16. 已知正方形的边长

40、为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥，若为的中点，分别为上的动点 (不包括端点 )，且，则三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的内切球的半径为 【答案】【解析】【分析】先根据条件得到 bo平面 acd ；进而求出三棱锥namc 的体积的表达式，即可求出结论【详解】因为正方形abcd 的边长为 2， 所以： ac=4又平面 abc平面 acd ，o 为 ac 边的中点bo ac；所以 bo平面 acd三棱锥namc 的体积y=f（x）= s amc?no= ×ac?cm?sin acm?no= ×× 4?x? ×（2x）=（x2+2x ）= （

41、x1）2+当 x=1 即时，三棱锥的体积取得最大值设内切球半径为 r此 时 解得 r=故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17. 已知函数=(1) 求函数 的单调递

42、增区间；(2) 已知在 abc中， a，b，c 的对边分别为 a， b， c，若,，求.【答案】（ 1）函数的单调递增区间是（ 2） b=c=2【解析】【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（ 2） 由,求得，利用余弦定理，结合，列方程组可求得的值.【详解】 (1) =sin(3+x) · cos( -x)+cos+2x()，(-cosx)+(-sinx)=，由 2k-2x-2k+， kz，可得函数的单调递增区间是kz(2)由,得， sin(2a-)+ =， 0<a&

43、lt;， 0<2a<2， a=2，b+c=4， 根据余弦定理得，4=+- 2bccos a=+- bc=(b+c)-3bc=16-3bc， bc=4，联立得， b=c=2 【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18. 某竞赛的题库系统有60% 的自然科学类题目， 40% 的文化生活类题目 (假设题库中的题目总数非常大 )，参赛者需从题库

44、中抽取3 个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库中随机抽取 3 个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10 个题目作为样本，再从这 10 个题目中任意抽取3 个题目(1) 两种方法抽取的 3 个题目中，恰好有1 个自然科学类题目和2 个文化生活类题目的概率是否相同?若相同，说明理由；若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率(2) 已知某参赛者抽取的3 个题目恰好有 1 个自然科学类题目和2 个文化生活类题目，且该参赛者答对自然科学类题目的概率为，答对文化生活类题目的概率为设该参赛者答对的题目数为 x，求 x 的分布列和数学期望【答案】（ 1）两种抽取方法得到的概率不

45、同（2）见解析【解析】【分析】（1）分别计算两种方法下概率，再比较，（2）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】 (1) 两种抽取方法得到的概率不同方法一：由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取1 个题目，抽到自然科学类题目的概率均为 ，抽到文化生活类题目的概率均为，所以抽取的 3 个题目中恰好有1 个自然科学类题目和 2 个文化生活类题目的概率为× ( ) =方法二：按照题目类型用分层抽样抽取的10 个题目中有 6 个自然科学类题目和4 个文化生活类题目，从这 10 个题目中抽取 3 个题目，恰好有1 个自然科学类题目和2 个文化生活

46、类题目的概率为=(2)由题意得， x 的所有可能取值为0，1，2，3 p(x=0)=，p(x=1)=+=p(x=2)=+= ， p(x=3)=所以 x 的分布列为x0123px 的数学期望 e(x)=0 ×+1×+2× +3× =【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“

47、求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，过任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线，与椭圆交于两点，且的周长为 8，当直线的斜率为时，与 轴垂直.（）求椭圆的方程；（）在 轴上是否存在定点，总能使平分？说明理由 .【答案】（ 1）.（2）【解析】 试题分析：(1) 利用题意求得，.所以椭圆的方程为.(2) 设出直线方程，联立直线与椭圆的方程讨论可得为所求.试题解析：（）因为，即， 有，所以，即，当直线的斜率为时，与 轴垂直， 所以，由，且，解得，即， 又，故，所以，由，得.所以椭圆的方程为.（）由（）得，设直线的方程为，两点的坐标分别为，联立，消去 ，