完全平方数知识讲解

1、奥数：完全平方数1、把150这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536，请问这个多位数共有（ ）位数字。分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（ ）。分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×

2、;3×7=105。3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（ ）岁。分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。所以父亲的年龄是42岁。4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（ ）。分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，

3、所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（ ）。分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（ ）。分析与解答：一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。我们设这个自然数N的末两位数字为10a

4、+b，那么（10a+b)2=100a2+20a+b2=100a2+2ab×10+b2因为2ab是偶数，8也是偶数，那么b2要么不进位，要么进位为偶数。如果不进位，那么只能是b2=0，1，4，9，如果进位那么只能是b2=25，49，64，81。我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0，那么必须是成对出现（偶数个），所以0可以排除；如果末尾是5，那么十位必须是2，所以5也可以排除。所以一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是：1，4，9。比如：92=81；222=484；332=1089。7、如n减58是完全平方数，n加31也是完全平方数，则n是（ ）。分析与解答：这题目小

5、学里有点麻烦，但是如果知道平方差公式，那么就非常简单了。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)58+31=89，89是素数，只能是1×89，所以a+b=89,a-b=1我们可以知道a=45，所以n=45×45-31=1994。8、从1986，1989，1992，1995，1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是（ ）。分析与解答：我们从上题只知道了平方差公式，我们还可以知道a+b与a-b的奇偶性是相同的。1986=1×1986=2×993=6×331；1989=1×1989；1992=2×996；1995

6、=1×1995；1998=1×1998=2×999=.从上面我们发现1986与1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积，所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式。9、用240个5和若干个0组成的数，是否为完全平方数？分析与解答：我们知道240个5与若干个0组成的数的数字和是1200，1200能被3整除，所以这240个5和若干个0组成的数是3的倍数，如果它是完全平方数，那么它就必须是9的倍数，但是1200不能被9整除，所以用240个5和若干个0组成的数，不是完全平方数。10、是否存在自然数a,b使得2ab11×7是完全平方数？分析与解答：由于2

7、ab11×7是完全平方数，所以2ab11必是一个完全平方数×7，又由于3×7=21，所以这个完全平方数的尾数是3，而我们知道：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9，所以不存在自然数a,b使得2ab11×7是完全平方数。11一所小学开运动会，全体学生在操场上排队，如果每行24人，26行排不完，27行又有余；如果每行23人，27行排不完，28行又有余。后来体育老师调整了队形，正好排成每行人数和行数相等的队形，问这所小学共有学生多少人？ 分析与解答：从“如果每行24人，26行排不完，27行又有余”可以知道人数超过24×26=624而小于24

8、×27=648；从“如果每行23人，27行排不完，28行又有余”知道人数超过23×27=621，小于23×28=644。所以人数在624到644之间。又由于“正好排成每行人数和行数相等的队形”，所以知道人数是一个完全平方数。我们知道24×24=576，25×25=625，26×26=676，所以这所小学共有625人。12小东和小明一起到果园去栽树，准备好的树苗正好可以把这些果树栽成每行每列相同棵数的方阵，每人栽好8棵就休息一次，当他们把300多棵树苗都栽好时，每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵。问他们共栽了多少树？分析与

9、解答 ：从“当他们把300多棵树苗都栽好时”，我们可以知道这个数是一个为300多的完全平方数，在300多的完全平方数里只有18×18=324，19×19=361符合条件。又从“每人休息的次数相同，但最后一次小明栽的树不到8棵”知道比16的倍数少，但是少的部分比8小，而324=16×20+（16-12），显然12比8大，所以不是324；361=16×22+（16-7），7比8小，所以他们共栽了361棵。 13小亮邀请小强一起玩弹子游戏，小亮拿出一盒弹子，弹子的数量是一个完全平方数。他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个。为了平均分配

10、，小亮给了小强2个，这样两人拿到的弹子就一样多了。问这盒弹子共有多少个？分析与解答： 从“他们每人10个、10个的轮流取出，但到最后一轮，小强只拿到6个”我们可以知道这个完全平方数的尾数为6，根据”如果一个完全平方数的个位是6，那么这个数的十位一定是奇数”，这题目好象有点问题，只要尾数是6的完全平方数：16，36，196，256，.都符合条件。14两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，求较大数与较小数的差。分析与解答：我们设这两个数为a,b(a>b)，根据题意得：ab-a-b=1997a(b-1)-b=1997a(b-1)-b+1-1=1997(a-1)(b-1)-1=

11、1997(a-1)(b-1)=1998根据ab-a-b=1997=ab-(a+b)，我们知道a,b的奇偶性肯定不同，所以a-1与b-1的奇偶性也不相同。1998=2×999=3×666=6×333=9×222=18×111=54×37由于有一个数是完全平方数，很显然只有3+1=4才是完全平方数，所以另一个数为667，那么较大数-较小数=667-4=663。15设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。分析与解答：由于p,m,n为一组勾股数，且n>p, n>m，所

12、以n2=m2+p2n2-m2=p2(n+m)(n-m)=p2又由于p为奇质数，所以n+m=p2,n-m=1那么(n+m)+(n-m)=p2+12n-1=p2所以设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。那么2n-1必为完全平方数。16设平方数y2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。分析与解答：我们设这11个数分别为（x-5),(x-4),(x-3),(x-2),(x-1),x,(x+1),(x+2),(x+3),(x+4),(x+5)那么他们的平方和就是（x-5)2+(x-4)2+(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2+(x+1)2+(x+2)2+(

13、x+3)2+(x+4)2+(x+5)2=11x2+110=11×（x2+10)要使11×（x2+10)是完全平方数，那么x2+10最小是11，即x=1，y=1+10=11 。但是如果在小学里显然x不能等于1，那么x至少等于23，即y=77。 17求自然数n，使Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n为完全平方数。分析与解答：4n2+5n=n(4n+5)若4n2+5n=n(4n+5)是完全平方数，那么4n+5就必是n的倍数，并且还是完全平方倍，我们设它为k2倍（k为自然数），即4n+5=k2n,4n+5=k2n(k2-4)n=5由于5是素数，所以k2-4与n里必有一个

14、为5，一个为1，若k2-4=1，那么k2=5，显然k就不能为自然数，不符合；那么k2-4=5,则k2=9,k=3,符合条件，在这种情况下n只能等于1，所以只有n=1时， Sn=9+17+25+（8n+1）=4n2+5n才能为完全平方数。18是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5?分析与解答：假如这2000位数字都是5，那么肯定不是完全平方数；假如有1999位是数字5，其他一位不是数字5，有如下情况：假如个位不是5，那么个位只能是0，1，4，6，9。如果个位是0，那么必须至少是2个才有可能是完全平方数，所以0可以排除；如果个位是1，4，9，那么必须十

15、位是偶数才有可能是完全平方数，所以1，4，9也可以排除；如果个位是6，那么这2000个数的数字和为10001，可以写成3k+2的形式，而完全平方数只能是3k或3k+1的形式，所以6也可以排除；假如个位数字是5，那么十位只能是2，否则就不可能是完全平方数；如果十位数字是2，个位数字是5，那么这数为一个末位是5的奇数的平方我们可以表示为(5k)2=25k2,我们知道奇数的平方都是8的倍数+1，所以25k2=25(8n+1)=200n+25,所以百位上是偶数，但是百位上是5，所以也不是完全平方数。综上所述，不存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5。 19是否

16、存在两个正整数a,b，使得（a2+2b）与（b2+2a）同为完全平方数？分析与解答:我们设ab,那么a2<a2+2ba2+2a<(a+1)2根据两个连续自然数之间不存在其他完全平方数,所以在a2与(a+1)2之间不存在a2+2b为完全平方数,同理也不存在（b2+2a）为完全平方数. 20若a,b为整数，求证：a4+b4+(a+b)4/2是完全平方数。分析与解答:a4+b4+(a+b)4=a4+2a2b2+b4+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2+(a+b)4-2a2b2=(a2+b2)2-a2b2+(a+b)4-a2b2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a+b)

17、2+ab(a+b)2-ab=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab)+(a2+b2+ab)(a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab+a2+b2+3ab)=(a2+b2+ab)(2a2+2ab+2b2)=2(a2+b2+ab)(a2+b2+ab)=2(a2+b2+ab)2所以a4+b4+(a+b)4/2=(a2+b2+ab)2是完全平方数.21求k的最大值，使得37可以表示为k个连续正整数之和。 分析与解答：我们假设这k个数为a,a+1,a+2,.,a+k-1；那么这k个数的和为（a+a+k-1)k÷2=37所以，(2a+k-1)×k=2×37

18、我们可以知道2a+k-1>k, 且34>2×33,所以k最大为2×33=54.22若a,b为整数，且24a2+1=b2。求证：a,b中有且仅有一个是5的倍数。分析与解答：这题目说实话我没找到好方法，想了一下，还是从尾数特征来说吧。假设a,b都是5的倍数，我们不妨设a=5m,b=5n，则24a2=24×25×m2=600m2，那么24a2的尾数只能为1，而b2=25n2的尾数只能为0或5，所以假设不成立；假设a,b都不是5的倍数，那么a只能是5m+1,5m+2,5m+3,5m+4;b只能等于5n+1,5n+2,5n+3,5n+4。若a=5m+1

19、，那么24a2+1=24×（25m2+10m+1)+1=600m2+240m+24+1，尾数为5；若a=5m+2，那么24a2+1=24×（25m2+20m+4)+1=600m2+480m+96+1，尾数为7；若a=5m+3，那么24a2+1=24×（25m2+30m+9)+1=600m2+720m+216+1，尾数为7；若a=5m+4，那么24a2+1=24×（25m2+40m+16)+1=600m2+960m+384+1，尾数为5；若b=5n+1,那么b2=（5n+1)2=25n2+10n+1,尾数只能是1或6；若b=5n+2,那么b2=（5n+2）

20、2=25n2+20n+4,尾数只能是4或9；若b=5n+3,那么b2=（5n+3)2=25n2+30n+9,尾数只能是4或9；若b=5n+4,那么b2=（5n+4)2=25n2+40n+16,尾数只能是1或6。从上面看不可能两数都不是5的倍数。所以至少有一个是5的倍数，并且只有一个是5的倍数。23求证：若a是完全平方数，则a的正约数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正约数的个数为奇数，则a是完全平方数。分析与解答：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.即：一个整数的约数和商是成对出现的，当商与约数不出现相同情况时，这个数的所有约数应该有偶数个。只有配成对的

21、两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数就会减少一个，所以完全平方数的约数个数为奇数 24求出满足下列条件的所有三位数：这个三位数的平方的末三位数就是原来的三位数。分析与解答:设 n=a×100+b×10+c 是这样的三位数，则由题意， n（n1） 能被1000整除也就是能被53 × 23整除;由于n和n-1是相邻的自然数，所以n和n-1是互质的,且n<1000,所以只有两种可能(1) n被125整除, 且（n-1）被8整除；(2) n被8整除, 且（n-1）被125整除； 所以由(1)可得n=625; 由(2)可得 n=37625若d为自

22、然数，求证：2d-1,5d-1,13d-1不可能都是完全平方数。分析与解答:设 2d1x2 （1） 5d1y2 （2） 13d1z2 （3）其中x、y、z是自然数由（1）式得，x必是奇数，假如我们设x2n1那么2d1（2n1）2，所以d2n22n1 （4）即d也必是奇数所以y、z都是偶数，设y2a，z2b，5d1=4a2 (5), 13d1=4b2 (6),(6)-(5)得：8d=4b2-4a2,所以2db2a2（ba）（ba）因为2d是偶数，所以b2-a2是偶数，所以a、b奇偶性相同，从而ba和ba都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数这与d是奇数相矛盾，假设不成立，命题得证。26加上40

23、0后就可以成为完全平方数的四位数有几个？分析与解答:这个四位数加上400,最小是1400,最大也比10400小,而382=1444,1022=10404,所以符合条件的有(101-38)+1=64个。 27四个连续正整数的倒数和为19/20，则着四个整数的平方和是。分析与解答：因为1/3+1/4+1/5+1/6=19/20，所以这四个自然数是3，4，5，6。四个数的平方和为9+16+25+36=86。 28求证：对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。分析与解答：我们设2k-1=m2+n2,2k+1=a2+b2(2k-1)(2k+1)=(m2+n2)(a2+b

24、2)=4k2-1我们知道4k-13（mod4)又知道一个整数的平方要么是4的倍数，要么除以4余1，所以m2,n2,a2,b2除以4的余数只能是0或1，所以（m2+n2)(a2+b2）除以4的余数只能是0或2或4，所以等式左边右边（mod4)所以假设不成立，即对任意正整数k，2k-1和2k+1两数中至少有一个不能等于两整数的平方和。 29若a,b是相邻两个自然数，c=a×b，求证：a2+b2+c2是某个奇数的平方。分析与解答：根据题意我们可以假设b>a，b=a+1，那么c=a2+aa2+b2+c2=a2+(a+1)2+(a2+a)2=a2+a2+2a+1+(a2+a)2=(a2+

25、a)2+2(a2+a)+1=(a2+a+1)2由于a2与a的奇偶性相同，所以a2+a是一个偶数，那么a2+a+1就必定为奇数。命题得证。30使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是多少？分析与解答:若m2+m+7是完全平方数,那么我们设m2+m+7=k2(k>0, kN)m2+m+7=k2m2+m+1/4+27/4=k2(m+1/2)2+27/4=k2(m+1/2)2-k2=-27/4(m+1/2+k)(m+1/2-k)=-27/4(2m+2m+1)/2×(2m-2k+1)/2=-27/4(2m+2k+1)(2m-2k+1)=-27由于k>0,(2m+2k+1)&g

26、t;(2m-2k+1),并且m,n都是整数;27=27×(-1)=1×(-27)=9×3=3×(-9)2m+2k+1=27且2m-2k+1=-1,可以得到k=7,m=6;2m+2k+1=1且2m-2k+1=27,可以得到k=7,m=-72m+2k+1=9且2m-2k+1=-3,可以得到k=3,m=12m+2k+1=3且2m-2k+1=-9,可以得到k=3,m=-2所以使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是6×(-7)×1×(-2)=84.由于本人只是小学数学老师，水平有限，难免有些错误或不简便的方法,如果有人有更好的

27、方法和建议，请在题目下面留言，谢谢支持！31设正整数a,b,c,d满足a2+62=b2, d2+102=c2，求c2+d2-a2-b2的值。 分析与解答:这题目开始我还以为是用其他什么方法解答的,可是算了一通,发现不能化简到一个数值,所以就想了其他方法.其实就是一道使用奇偶性解答的问题.a2+62=b2,b2-a2=36,(b+a)(b-a)=36,由于(b+a)与(b-a)的奇偶性相同,36又是偶数,所以b+a=18,b-a=2,a=8,b=10;同样的方法可以得到c=26,d=24.c2+d2-a2-b2=(c+a)(c-a)+(d+b)(d-b)=(26+8)(26-8)+(24+10)

28、(24-10)=34×32=1088.32使28+211+2n为完全平方数的n的值。分析与解答:28+211+2n=(24)2+2×24×26+2n要使(24)2+2×24×26+2n为完全平方数,那么n必须为12.当n=12时,28+211+212=(24+26)2. 33若A1,A2,A3,Ak是n的全部正约数，求证nk是完全平方数。分析与解答: 若k为偶数,那么nk就肯定是完全平方数,如果k为奇数,那么n就有奇数个约数,所以n就必为完全平方数,所以nk也必是完全平方数.34设正整数d不等于2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到

29、两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。分析与解答:2d1、5d1、13d1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可用反证法，设5d1x2 （1）5d1y2 （2）13d1z2 （3）其中x、y、z是正整数由（1）式知，x是奇数，不妨设x2n1代入有 2d1（2n1）2即d2n22n1 （4）（4）式说明d也是奇数于是由（2）、（3）知y、Z是偶数，设y2p，z2q，代入（2）、（3）相减后除以4有2dq2p2（qp）（qp）因2d是偶数，即q2p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而qp和qp都是偶数，即2d是4的倍数，因此d是偶数这与d是奇数相矛盾，所以命题得证35求一

30、个三位数，使它等于一个自然数n的平方，且各位数字之积等于n-1。分析与解答:这题目一直没找到好的方法，只能找到这个数为361=19 2.36接连写出偶数个1形成的数A，再写出一半那么多个的4形成的数B, 试征：A+B+1是完全平方数。分析与解答: 设A=111.11(2n个1),B=444.44(n个4)那么A+B+1=111.11(2n个1)+444.44(n个4)+1=111.11(2n个1)+4×111.11(n个1)+1=111.11(n个1)000.00(n个0)+5×111.11(n个1)+1=111.11(n个1)000.00(n个0)-111.11(n个1)+6×111.11(n个1)+1=111.1(n-1个1)088.88(n-1个8)9+6×111.11(n个1)+1=333.3²(n个3)+2×333.33(n个3)+1=(333.3+1)²所以A+B+1是完全平方数。37若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。分析与解答: 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个