[初三数学]几何题综合题（精编版）

1、12. 如图， ab 是半圆 o 的直径， ab 2，射线 am、bn 为半圆 o 的切线在 am 上取一点d，连接 bd 交半圆于点 c，连接 ac过 o 点作 bc 的垂线 oe，垂足为点 e，与 bn 相交于点 f过 d 点作半圆 o 的切线 dp ，切点为 p，与 bn 相交于点 q（1） 求证： abc ofb ；（2） 当 abd 与 bfo 的面枳相等时，求 bq 的长；（3） 求证：当 d 在 am 上移动时（ a 点除外），点 q 始终是线段 bf 的中点nmfdpqceaob12（ 1）证明： ab 为直径， acb 90°，即 acbc又 oe bc， oe a

2、c， bac fob bn 是半圆的切线，acb obf 90° abc ofb···································3 分（2） 解：由 abc ofb 得， ofb dba ， dab obf 90

3、76; abd bfo当 abd 与 bfo 的面积相等时，abd bfo··············4 分 ad 1又 dp 是半圆 o 的切线， op 1，且 op dp dq ab ， bq ad 1·····················&

4、#183;·······6 分（3） 由（ 2）知， abd bfo bf ab ， bf2·······························7 分obadad dp 是半圆 o 的切线， da dp ， q

5、bqp·················9 分过 q 点作 qk am 于 kn在 rtdkq 中， dq 2 dk 2kq 2mf ( ad bq ) 2 221( ad bq ) 21dp bq ad ， bq 2 bfkq c点 q 始终是线段bf 的中点·········11 分eaob13. 如图，在rtabc 中， acb 9

6、0°， ac 6cm，bc 8cm， p 为 bc 的中点动点q从点 p 出发，沿射线pc 方向以 2cm/ s 的速度运动，以p 为圆心， pq 长为半径作圆设点q 运动的时间为t saocqpb（1） 当 t 1. 2 时，判断直线ab 与 p 的位置关系，并说明理由；（2） 已知 o 为 abc 的外接圆，若p 与 o 相切，求t 的值13. 解：（ 1）直线 ab 与 p 相切1 分如图，过p 作 pd ab，垂足为 da在 rtabc 中， acb 90°， ac 6cm， bc 8cmo2 abac bc 2 10cmd p 为 bc 中点， pb 4cm pd

7、b acb90°， pbd abc pbd abc， pd pbcq pbacaba即 pd 4， pd 2. 4（ cm）610o当 t 1. 2 时， pq 2t 2. 4（ cm） pd pq，即圆心 p 到直线 ab 的距离等于p 的半径直线 ab 与 p 相切4 分（2） acb 90°， ab 为 abc 的外接圆的直径 ob 1 ab 10cm2连接 op， p 为 bc 中点， op 1 ac3cm2cq pbao点 p 在 o 内部， p 与 o 只能内切qcpb 52t3 或 2t 5 3， t 1 或 4 p 与 o 相切时， t 的值为 1 或 48

8、 分14. 如图，已知ab 是 o 的弦， ob 2， b 30°， c 是弦 ab 上的任意一点（不与点a、 b 重合），连接 co 并延长 co 交 o 于点 d，连接 ad （1） 弦长 ab 等于 （结果保留根号） ；（2） 当 d 20°时，求 bod 的度数；（3） 当 ac 的长度为多少时，以a、c、d 为顶点的三角形与以b、c、o 为顶点的三角形相似？请写出解答过程oacbd14解：（1）23（2）解法一：bod 是 boc 的外角， bco 是 acd 的外角 bod b bco， bco a d bod b a d又 bod 2 a， b 30°

9、;， d 20°d 2a 30° a20°， a 50° bod 2a 100°o解法二：如图，连接oaacb oa ob，oa od ， bao b， dao d dab bao dao b d又 b 30°， d 20°， dab 50° bod 2dab 100°（3） bco a d ， bco a， bco d要使 dac 与 boc 相似，只能dca bco90° 此时 boc 60， bod 120°， dac 60° dac boc bco 90°，

10、即 oc ab， ac 1 ab 3215. 如图， 四边形 abcd 为正方形， o 过正方形的顶点a 和对角线的交点m，分别交 ab、ad 于点 f、e（1） 求证： de af；（2） 若 o 的半径为3 ， ab21，求 ae的值aed2edomfbc15（ 1）证明：连接me 、mf 、ef eaf90°， ef 为 o 的直径， emf 90°又 amd 90°， emd fma dm am ， edm fam 45° dem afm ， de af（2）解： de af， aeaf ad2 12 o 的半径为3 ， ef3aedomf222

11、2·又 aeaf ef 3，即( ae af ) 2aeaf 3bc (21 ) 2 2ae· af 3， ae · af2 ae、af 是方程 x 2 (21 ) x2 0 的两个根解得 ae2， af 1 或 ae 1， af2 ae 2 或2ed216. 如图，以点o 为圆心的两个同心圆中，矩形abcd 的边 bc 为大圆的弦，边ad 与小圆相切于点m，om 的延长线与bc 相交于点n（1） 点 n 是线段 bc 的中点吗？为什么？（2） 若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm， ab 5cm， bc10cm，求小圆的半径oamdnbc16. 解：（ 1）点

12、n 是线段 bc 的中点，理由如下： ad 与小圆相切于点m， onad又 adbc， on bc点 n 是线段 bc 的中点（2）连接 ob，设小圆的半径为r则 onr 5， ob r 6，且 bn 1 bc52在 rtobn 中， 52 ( r 5) 2 ( r 6) 2解得： r 7 cm即小圆的半径为7 cmoa md nb c17. 如图， ab 是 o 的直径， at 是经过点a 的切线， 弦 cd 垂直 ab 于 p 点， q 为线段 cp的中点，连接bq 并延长交切线at 于 t 点，连接ottcqopd（1） 求证： bc ot；（2） 若 o 直径为 10， cd 8，求

13、at 的长；（3） 延长 to 交直线 cd 于 r，若 o 直径为 10， cd 8，求 tr 的长ab17（ 1）证明：取pb 的中点 e，连接 qe q 是 pc 的中点， e 是 pb 的中点 qe 为 pbc 的中位线， qebc at 为经过 a 点的切线， ab 为直径 atab cd ab， at cd ， tao qpe 90° bpq bat， pq attcqa op ebpbab pb 2pe ，ab2ao， pq atdpeaor tao qpe， aot peq ot qe qe bc， bc ot·····

14、;···························4 分（2） 解： cd ab， ab 为直径， cd 8 cp pd 4连接 oc2在 rtocp 中， pc 4， oc 1 ab 5 op3， pbob op 2 bc ot， tao cpb，2 ao 1 ab 5atao pcpb 22 at10 ·&#

15、183;········································7 分（3） 解：在rt tao 中， otat atcr， aot por ao2 55 ot oa ， or

16、 op· ot 3× 55 35oropoa5 tr ot or85·································10 分18. 如图，在rt abc 中， abc 90°， d 是 ac 的中点， o 经过 a、d、b

17、 三点， cb的延长线交 o 于点 e，过点 e 作 o 的切线，交ac 的延长线于点f（1） 求证： aece；（2） 若 cf cd 2，求 o 的半径和sin cab 的值；（3） 若 cf k· cd （ k 0），直接写出sin cab 的值（用含k 的代数式表示） fcdboae18（ 1）证明：连接de， abc 90°， abe 90° ae 是 o 的直径················&

18、#183;·····1 分 ade 90°， de ac················2 分f又 d 是 ac 的中点， de 是 ac 的垂直平分线 ae ce··················

19、·········3 分c（2）解： d 是 ac 的中点， ad cdd又 cf cd 2， ad 2， ad 6bef 是 o 的切线，aef90°ae o在 ade 和 efa 中 ade aef90°， dae eaf ade efa····················

20、3;·4 分 ae af ， ae 6， ae 2························5 分adae2ae o 的半径为3 ··················

21、;·················6 分 ade edf 90°， dae def 90° dea ade edf ， ad de·······················&

22、#183;··7 分dedf设 ad a（a 0），则 df 2a2adea de ， de 2 2a 2······························8 分在 rtcde 中， cecd 2 de 2a2 2a 2 3a ···

23、83;·········9 分 cab dec sin cab sin dec cd 3·······················10 分ce3（3） sin cabk2 （k 0）········

24、;····················12 分k 2解答过程如下（本人添加，仅供参考） cf k· cd （ k0）， ad cd ， df ( k 1) cd ade edf ， ad dededf cd de， de 2 ( k 1) cd 2de( k1) cd在 rtcde 中， cecd 2 de 2k 2 cd cab dec ， sin cab sin dec cd 1

25、k 2cek2k 219. 如图， rt abc 中， acb 90°， ab5， ac 4，点 p 是 ac 上的动点（ p 不与 a、c 重合），pq ab，垂足为q设 pc x， pqy（1） 求 y 与 x 的函数关系式；（2） 求 abc 内切圆 i 的半径，并探求x 为何值时，直线pq 与内切圆 i 相切？（3） 若 0x 1，试判断以p 为圆心，半径为y 的圆与 i 能否相内切，若能，求出相应的x 的值，若不能，请说明理由iqbcpa19解：（ 1） rt abc 中， acb 90°， ab 5， ac 4 bcab 2ac 25242 3 a a， aqp

26、 acb 90° apq abc， pq apy 3 4 x 5312bcabbdiq y 5 x5 （ 0x 4）fg（2） 设内切圆i 的半径为r则 s abc 1 ab· r 1 ac· r 1 bc· r 1 ac·bcce pa2 r ac· bcab ac bc2224×35 4 3 1设 i 与 ab、ac 、bc、直线 pq 分别相切于点d 、e、f、 g连接 id 、ie、if、 ig ，可知四边形digq 为正方形则有 pgpe ，qg id 1b pc pq，即 x yqi312又 y x（ 0x 4）

27、55 x 3 x 12，解得 x 3c pea552当 x3 时，直线pq 与内切圆i 相切2（3） 假设 p 与 i 能相内切根据勾股定理得：pi 2 ie 2 pe 2即( y1) 212 ( 1x) 23将 y 5 x12（ 0x 4）代入得5( 3 x 121) 2 12 ( 1 x) 2，解得 x1 x2 1554当 x1 时， p 与 i 能相内切421如图， ab 是 o 的直径， ab 4，过点 b 作 o 的切线， c 是切线上一点，且bc 2， p 是线段 oa 上一动点，连结pc 交 o 于点 d，过点 p 作 pc 的垂线，交切线bc 于点 e，交 o 于点 f，连结

28、df 交 ab 于点 gpofdg（1） 当 p 是 oa 的中点时，求pe 的长；a（2） 若 pdf e，求 pdf 的面积cbe21解：（ 1） ab 4， p 是 oa 的中点， pb 3 ce 是 o 的切线， pbce又 pe pc， pb 2bc· be即 32 2be， be 9222 pepb be23 (9232 )213 ····················4

29、分（2） c bpc90°， bpe bpc 90°， bpe e 90°， pdf e pdf bpc， pfd bpe， pdf pec pg dg fg ，即 pg 是 rt pdf 斜边 df 上的中线 df 是 o 的直径或垂直于直径ab 的弦如图 2，若 df 是 o 的直径则点 p 与点 a 重合， df 4， pb ab 4a( p)f由 pb 2 bc· be，得 42 2be， be 8o d ce bcbe2 810cebspdfdf24241s ( ce ) ( 10 ) 25 ，s pce 2pce1图 2而416ce·

30、; pb2× 10× 4 20 spdf 25 × 205·······························7 分如图 3，若 df 是垂直于直径ab 的弦，则df ce且 pb 垂直平分df ， pd pf又 dpf 90°， pdf

31、45° c pdf 45°， pbbc 2又 ob 2，点 p 与点 o 重合 pd pf 2ao( p)dgf cbe图 3 spdf 1 pd · pf 1 ×2× 2 2·······················10 分2226. 已知：如图，在abc 中， ab ac， ad 平分 bac 交 bc 于点

32、d ，be 平分 abc 交ad 于点 e， f 是边 ab 上一点，以bf 为直径的 o 经过点 e13 ，求 o 的半径edafo（1） 求证： ad 是 o 的切线；c（2） 若 bc 4， coscb26（ 1）证明：连接oe，则 oe obc 1 2 be 平分 abc， 1 3 2 3， oe bced aeo adb231在 abc 中， ab ac，ad 平分 bacafob adbc ， adb 90° aeo 90°， oe ad ad 是 o 的切线········

33、3;························4 分（ 2）解：在 abc 中， abac，ad 平分 bac2 bdcd 1 bc， abc c bc 4， cosc 1 ，bd 2， cos abc 133在 abd 中， adb 90°， abbd 6设 o 的半径为r，则 ao 6 r oebc ， aoe abdcos abc oe

34、 ao ，即 r6 rbdab26解得 r 32 o 的半径为32··································8 分27. 已知：如图，ab 是 o 的直径，点p 为 ba 延长线上一点，pc 切 o 于点 c， bd pc，垂足为d，

35、交 o 于 e，连接 ac、bc、ec（1） 求证： bc 2 bd· ba；dc（2） 若 ac 6， de 4，求 pc 的长eb oap27解：（ 1） ab 为 o 的直径， bca 90° pc 为 o 的切线， bcd bac bd pd ， bdp bca 90° rt bdc rtbca······················&

36、#183;··········2 分 bc bdbabc bc 2 bd · ba··································

37、···3 分（2） rt bdc rtbca， dbc cba ec acdc， ec ac 6 dce dbc ， dce cba rt ced rtbaceboap deac46，即ecab6ab ab 9 ······························

38、;············5 分 bcab 2ac 29262 35 pca pbc， p p pca pbc， paac6·····················6 分pc设 pa 6k，则 pc 35kbc35由切割线定理得pc 2pa· pb， 45k

39、 26k( 6k 9)解得 k6 pc 185·······································8 分28. 如图， p 与 y 轴相切于坐标原点o（ 0，0），与 x 轴相交于点a

40、（ 5， 0），过点 a 的直线 ab 与 y 轴的正半轴交于点b，与 p 交于点 c（1） 若 ac 3，求点 b 的坐标；（2） 若 ac a，d 是 ob 的中点问： o、p、c、d 四点是否在同一圆上？请说明理由如x果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为o1，函数 y k的图象经过点o1，求 k 的值（用含 a 的代数式表示） yybbdcdcopaxopax备用图28. 解：（ 1）连接 oc， oa 是 p 的直径， oc ab在 rtaoc 中， ocoa 2 ac 2 5232 4········&#

41、183;······1 分在 rtaoc 和 rt abo 中， cao oab rt aoc rtabo·················2 分y acao35，即················3 分bco

42、ob4obob 20 ， b（0， 20 ）4 分33dc（2） o、p、c、d 四点在同一圆上，理由如下：连接 cp、cd 、dp ， oc ab，d 是 ob 的中点2 cd 1 obod， 3 4又 popc， 1 2 1 3 2 4 90°， pc cd423 1opax又 do op， rtpdo 和 rt pdc 是同以 pd 为斜边的直角三角形 pd 上的中点到o、p、c、d 四点的距离相等 o、p、c、d 四点在以dp 为直径的同一圆上···········&

43、#183;····6 分由上可知，经过点o、p、c、d 的圆心 o1 是 dp 的中点， o1（ op ，od）由（ 1）知： rtaoc rtabo ， ac22oa25，求得 aboaaba2在 rtabo 中， obab 2 oa 2 525aa2 od 1 ob 525 a15， opoa22a222 o1（ 5 ， 525a）44a2x点 o1 在函数 y k525 a的图象上，4a 4k52 k 2525 a16a···········

44、;··························8 分29. 己知：如图，abc 内接于 o， ab 为直径， cba 的平分线交ac 于点 f，交 o于点 d ，de ab 于点 e，且交 ac 于点 p，连结 ad （1） 求证： dac dba ；d（2） 求证： p 是线段 af 的中点；fc（3） 若 o 的半径为 5，a

45、f 15 ，求 tan abf 的值p2aeob29. 证明：（ 1） bd 平分 cba， cbd dba dac cbd ， dac dba······················3 分（2） ab 为直径，adb 90°d又 deab 于点 e， deb 90° ade edb abd edb 90°fc p ade dba cba da

46、c pd pa又 dfa dac ade pdf 90° dfa pdf ， pd pfaeob pa pf，即 p 是线段 af 的中点························7 分（3） daf dba， adf bda 90° adf bda， ad afbdba15在 rt abd 中， tan abd adbdaf ba

47、 2310 4即 tan abf 34····································10 分30. 如图，已知cd 是 o 的直径， ac cd ，垂足为c，弦 de oa，直线 ae、cd 相交于点 b（1） 求

48、证：直线ab 是 o 的切线；（2） 如果 ac1， be 2，求 tan oac 的值codaeb31. 如图，在锐角abc 中， ac 是最短边，以ac 为直径作 o，交 bc 于 e，过 o 作 odbc 交 o 于 d，连结 ae、ad 、dc （1） 求证： d 是aea的中点；（2） 求证： dao b bad；do（3） 若 s cefs ocd12 ，且 ac 4，求 cf 的长 .fbec30（ 1）证明：连接oe od oe， oed ode弦 de oa， coa ode ， eoa oed coa eoa又 oc oe， oa oa， oac oaecod oea oc

49、a 90°， oeab直线 ab 是 o 的切线aeb（ 2）解：由（ 1）知 oac oae ae ac 1， ab ae be 12 3在 rtabc 中， bcab 2 ac 232 12 22 b b， oeb acb 90°， boe bac oe be 22acbc222在 rt aoc 中， tan oac oc oe 2acac231证明：（ 1） ac 是 o 的直径， ae bc···············

50、;··········1 分 od bc ， ae od································2 分 d 是 ae 的中点··

51、3;·································3 分（2） 方法一：延长 od 交 ab 于 g，则 og bc·······4 分a agd b oa od， ado dao

52、········5 分go ado bad agddf dao b bad·············6 分bec方法二：延长ad 交 bc 于 h，则 ado ahc··················

53、3;·····4 分 ahc b bad ， ado b bad··············5 分 oa od， ado daoa dao b bad·············6 分2（3） 解： ao oc， s ocd 1 sacddo s cef1scef1，·&

54、#183;··········7 分fs ocd2s acd4 d 是 ae 的中点， acd fcebhec又 adc fec 90°， acd fce·················8 分，即 s cef ( cf )21cf2()·······

55、;···················9 分s acdac44 cf 2 ····························

56、;·············10 分32. 如图，在abc 中， ab ac，以 ab 为直径的 o 交 bc 于点 d，过点 d 作 ef acaoedb于点 e，交 ab 的延长线于点f（1） 求证： ef 是 o 的切线；（2） 如果 a 60o，则 de 与 df 有何数量关系？请说明理由；（3） 如果 ab 5， bc 6，求 tan bac 的值cf32（ 1）证明：连接od······

57、3;··································1 分 ab ac， 2 c又 od ob， 2 1a 1 c， od ac4 3o ef ac， od ef······

58、83;···········2 分e ef 是 o 的切线·····················3 分12cdb（ 2）解： de 与 df 的数量关系为：df 2de·········

59、·4 分理由如下：f连接 ad ， ab 是 o 的直径， ad bc11 ab ac， 3 42 bac 2 ×60° 30° f 90° bac 90°60° 30° 3 f， ad df 4 30°， ef ac， de 1 ad·······················

60、;·5 分2 df 2de·······································6 分（ 3）解：设 o 与 ac 的交点为p，连接 bp，则 bp ac ab ac， ad

61、bc， bd 1 bc 1 × 6 322222 ad abbd5 32 4·························7 分 s abc 1 bc· ad 1 ac · bpa2211pe 2×6× 4 2× 5×bpo bp 245···&

62、#183;··················8 分bcd apab 2bp 2 7524·············9 分 tan bac bpap5 24775·········10 分f33. 已

63、知 ab 为 o 直径，以 oa 为直径作 m ，过点 b 作 m 的切线 bc，切点为 c，交 o 于 e（1） 在图中1 过点 b 作 m 的另一条切线bd ，切点为d（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明） ；（2） 证明： eac ocb ；（3） 若 ab 4，在图 2 中过 o 作 op ab 交 o 于 p，交 m 的切线 bd 于 n，求 bn 的长ececabab momop图 1图 234. 如图， ab 是 o 的直径， cd 是 o 的切线，切点为c延长 ab 交 cd 于点 e连接ac，作 dac acd ，作 af ed 于点 f，交 o 于点 g（1） 求

64、证： ad 是 o 的切线；a（2） 如果 o 的半径是6cm， ec8cm，求 gf 的长obgecfd33（ 1）如图 1（方法 1：作 abd abe，与 m 相交于点d，连接 bd ，则直线bd 即为 m 的另一条切线方法 2：作线段 mb 的垂直平分线，交ab 于点 f，以 f 为圆心、 fb 为半径作 f，与 m 相交于点d，连接 bd ，则直线bd 即为 m 的另一条切线）ecabmofd图 1（ 2）证明： bc 切 m 于点 c， ocb oac， eca coa oa、ab 分别为 m、 o 的直径， aec aco 90° eac eca 90°， o

65、ac coa 90° eac oac ocb（3） 解：如图2，连接 md ，则 mdb 90°ec ab 4， oa 2， am 1 bm ab am 4 1 3abmo在 rtbdm 中， bm 3， dm 1n bd bm 2 dm 2 32 12 22d obn dbm ， bon bdm 90°p bon bdm ， bnbobn2，图 2 bn 322bmbd32234（ 1）证明：连接oc cd 是 o 的切线， ocd 90° oca acd 90°a oa oc， oca oaco dac acd， oca dac 90

66、76;bg oad 90°， ad 是 o 的切线e（ 2）解：连接bg oc6cm ，ec 8cm在 rt oec 中， oeoc 2ec 2 10 ae oaoe 16 af ed， afe oce 90° 又 e e， aef oeccfd af ae ，即 af1648， afocoe6105 ab 是 o 的直径， agb 90°又 bag eaf， rtabg rt aef ag ab ，即 ag 12 ， ag 36afae481655483612 gf afag5 5 5 （ cm）35. 如图所示，在以o 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，a

67、b 与小圆相切于点a， 与大圆相交于点b，大圆的弦bc ab 于点 b，过点 c 作大圆的切线cd 交 ab 的延长线于点 d ，连接 oc 交小圆于点e，连接 be、bo（1） 求证： aob bdc ；ecoabd（2） 设大圆的半径为x， cd 的长为 y当 be 与小圆相切时，求x 的值求 y 与 x 之间的函数关系式；35（ 1）证明： ab 与小圆相切于点a，cd 与大圆相交于点c oab ocd 90° bc ab， cba cbd 90°1 分 ocob ， obc ocb 1 obc 90°， 2 ocb 90°ec2of1abd 1

68、2········································2 分 aob bdc········

69、···························3 分（ 2）解：过点o 作 of bc 于点 f，则四边形oabf 是矩形·············4 分 bf oa 1由垂径定理，得bc 2

70、bf 25 分在 rtaob 中， oa1， ob x abob2 oa2 x 2 1 ·····························6 分由（ 1）得 aob bdc obcdab ，即 x bcy2xx 2 122xx 2 1 y2（或 yx 12） ···

71、83;······················7 分x 1当 be 与小圆相切时，oe be oe 1，oc x ec x1， be abx 21···················&

72、#183;·······8 分在 rtbce 中 ec 2 be 2 bc 2即( x1) 2 (x2 1) 2 22······························9 分解得： x1 2， x2 1（舍去） ···························10 分当 be 与小圆相切时，x 2 ···