圆与相似三角形综合提高练习

1、圆与相似三角形综合提高练习1. 如图，ABC是G)O的内接三角形，点D在肌？上点E在弦力B上(E不与力 重合)，且四边形BDCE为菱形.(1) 求证：AC = CE ；(2) 求证：BC2 -AC2 =AB 4C ； 已知Oo的半径为3若= I I求8C的长；当筹为何值时，AB-AC的值最大？2. 如图1,直线丨：y = -x + b与X轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,点C是线段 OA上一动点(0<AC<牛)，以点A为圆心，AC长为半径作C)A交X轴于另一点D,交 线段AB于点E,连结OE并延长交G)A于点F (1) 求直线丨的函数表达式和tanZ BAO的值；(2) 如

2、图2,连结CE,当CE=EF时，求证： OCES AOEA ；求点E的坐标；(3) 当点C在线段OA上运动时，求OE EF的最大值.ftrlffl3. 如图，AB为。O的直径，点C为OO上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心0重合，连接0C, CD, BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连 接AD,在PB的另一侧作ZMPB=ZADC(1) 判断PM与C)O的位置关系，并说明理由；(2) 若PC= 3 ,求四边形OCDB的面积.4. 如图在平面直角坐标系中，直线×÷3与X轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q 同时从点A出发，运动时间为t秒其中点P

3、沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度, 点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度以点Q为圆心，PQ长为半径作C)Q .(1) 求证：直线AB是OQ的切线；(2) 过点A左侧X轴上的任意一点C (m, 0),作直线AB的垂线CMl垂足为M 若CM 与。Q相切于点D,求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3) 在(2)的条件下，是否存在点C,直线AB、CM、y轴与C)Q同时相切？若存在，请 直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由5. 已知：如图，在AABC中，AB二BC二10,以AB为直径作C)O分别交ACI BC于点D1 E, 连接DE和DB,过点E作EF丄AB,垂足为F

4、,交BD于点P(1) 求证:AD=DE ；(2) 若CE=2,求线段CD的长；(3) 在(2)的条件下，求ADPE的面积6如图，在RtABC中，ZACB=90°,以BC为直径的交AB于点D, E是AC的中点 OE交CD于点F(1) 若ZBCD=36o, BC=IOl 求 BD 的长；(2) 判断直线DE与C)O的位置关系，并说明理由；(3) 求证：2CEz=ABEF 7. 如图，ABC内接于. BC是C)O的直径，弦AF交BC于点E,延长BC到点D连接 OAI AD,使得乙FAC二乙AOD, ZD=ZBAF.(1) 求证：AD是OO的切线；(2) 若C)O的半径为5, CE二2,求E

5、F的长.8. 如图，ABC内接于C)0,乙CBG二ZA, CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF丄BCT 垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.G(1) 求证：PG与OO相切；若 = L求茅的值;(3) 在(2)的条件下，若C)O的半径为8, PD=OD,求OE的长.9如图：在 OO 中，BC=2,AB=AC1点D为AC ±的动点，且COSB =计(1) 求AB的长度；(2) 求AD AE的值；过A点作AH丄BD求证：BH=CD+DH.10.如图，AH是C)O的直径，AE平分ZFAH,交G)O于点E,过点E的直线FG丄AF,垂足 为F, B为半径OH上一点，点E、

6、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.(1)求证：直线FG是C)O的切线；若AF二12, BE二6,求扃的值.参考答案1. 【答案】 证明：四边形BDCE为菱形，ACD=CEJ乙CBD二乙CBE, CD 二 AC,/.AC=CE (2) 证明：如图1,过点C作CF丄AB交于点F,VAC=CEl AAF=EF 在 RtBCF 和 RtACF 中，BC2 = BF2 + CF2MC2 = AF2 + CF2, BC2 一 AC2 = BF2 一 AF2 = (BF + AF)(BF 一 AF) =AB BE ,四边形BDCE是菱形，ABE=CE=AC1 BC2 -AC2 = AB AC .(3)

7、解：器,可设 AB二5k, BE=AC=3k,则 AE=AB-BE=2k, AF=k 在 RtACFA C S中,CoS 乙 A二AF _ k _ 1AC 3k 32如图2,连接Co并延长交C)O与点G,连接BG,则G=A1则COSZG= | , CG是直径，BCG是直角三角形， CG二6( COSZ-G- ； , ' BG 2, BC= Vcg2- BG2 = 36-4 = 42 ADAr如图 2,设=m ,其中 m>lt AC二a,则 AB=ma, AE=ma-a, AF二= -(m-) 在 RtAFC 中，COSAA= = maa (m-l) I/4 CCI乙在 RtBCG

8、 中，CG=6, CosZG二CosZA= (Tn- 1) I.BG二CGCOS乙G=6 扌(m-l) =3m-3,BCl CG2-BG2 = 36-(3m- 3)2 ,由(2)得 BC2 = AB AC+ AC2 = ma2 + 2 I/. 36 (3m 3)2 = ma2 + a2 I = 9(m + 1)(3 m) = a2(m + 1) I又 / m + 1 0 , a? = 9(3-m).ABAC=maz=9m(3- m)=- 9mz+27m 当 m= -二 =2 时， 9m+27m 的值最 2X(9)23 3大.v<BG<6, 0<3 (m-l) <6, .

9、l<m<3 二当 m二-时，AB AC 的值最大，即时，AB AC的值最大2. 【答案】(1)解：把 A (4, 0)代入 y= - + b ,得 一？ ×4÷b=0,44解得b二3,直线丨的函数表达式为y = ?兀+ 3 ,4(0,3), AO丄BO, 0A=4, BO=3, tanZBAO= 7 .4(2) (DiE明:如图，连结AF, CE=EFj.-.ZCAE=ZEAFi又-.AC=AE=AF1Azace=Zaefi乙 OCE=ZOEAS又 VZCOE=Z EOA10CES AOEA.解：如图，过点E作EH丄X轴于点H, tan ZBAO= 7 ,设 E

10、H=3x, AH=4x,AAE=AC=5x, OH=4-4x,.0C二 45x,v0CE-0EA.OEOAOCOE即 OEZ二OA Ou(4-4x) + (3x)=二4 (4-5x),解得X产 , Xz=O (不合题就舍却(3) 解：如图，过点A作AM丄OF于点M,过点0作ON丄AB于点N,. taZBA0=：,4. COSZBAO= 7， AN 二OA COS 乙 BAO= Y ,设 AC=AE=r,.EN 二丰汀，>0N 丄 AB, AM 丄 OF,乙ONE二乙AME二90°, EM= f EFt又乙OEN二乙AESOEN-AEM,即 OE扌 EF=AE ENI OEEF=

11、2AEEN=2r ( -r),>0EEF=-2r+ r-2 (r- I)=+ (0<r< Y ) 当r二I时，OE EF有最大值，最大值为 .3. 【答案】(1)解：PM与C)O相切理由如下：连接DO并延长交PM于E,如图，弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合, OC=DC, BO=BDl/.OC=DC=BO=BD,四边形OBDC为菱形，AOD 丄 BC,0CD和(?BD都是等边三角形，乙 CoD二乙 BoD二60°, ZCOP= ZEOP=60ol.乙MPB二厶ADC,而 Z.ADC 二乙 ABC,a ZABc=ZMPB, pm7bc,OE丄 P

12、M,0E二 ÷ OP,. PC为OO的切线，.0C 丄 PC,0C二；OP,AOE=OC1而OE丄PC, PM是C)O的切线；(2)解：在 Rt0PC 中，OC二 VPC= T × =I .SS 四边形 OCDB 的面积=2Sz.©CD=2× - ×I = £424. 【答案】证明：如图1中，连接QPAAB= lOB2 + OA2 二5,VAP=4t, AQ=5t1乙 PAQ= BAO1PAQ-BA0,AZAPQ = ZAOB=90otQP 丄 AB,AB是的切线解:如图2中，当直线CM在C)O的左侧与C)Q相切时，设切点为Dl则四边

13、形PQDM 是正方形易知 PQ=DQ=3t, CQ= I 3t=乎 OC+CQ+AQ 二 4,m+ 手 t+5t=4,如图3中，当直线CM在C)O的右侧与C)Q相切时，设切点为D,则四边形PQDM是正 方形vOC+AQ-CQ4,L 15m+5t - t=414.m=4 - 7 t4(3) 解：存在.理由如下：如图4中，当C)Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t二4, t二扌，由(2)可知Im=-I或#如图5中，当C）Q在y则的左侧与y轴相切时，5t-3t=4, t=2l 由（2）可知，m二-孑或综上所述，满足条件的点C的坐标为（昭0）或（ I 0）或（-f . 0）或（»0）5.

14、【答案】（1）证明:YAB是OO的直径, ZADB=90°,VAB=BClD是Ae的中点，乙ABD=ZCBDI/.AD=DE ；（2）解：四边形ABED内接于OO1乙CED二乙CABt ZC=Z-CtCED-CABj.CE _ CD* CA 1VAB=BC=10, CE二2, D 是 AC 的中点， CD= 10 ；（3）解：延长EF交OO于M,在 RtABD 中，AD二 10 , AB=IO, BD 二 3 10 I. EM丄AB, AB是C)O的直径,BE-BM-.ZBEP=ZEDBi .BPE-BED,BDBEBEBP3 2 VrLo15.Sdpe : Sbp=DP : BP=

15、13 : 32,-.BP=* Sabzd- - X VILo ×3 J10 =15, Sbd : Sbcd=BE : BC4 : 5,' SUBDE二22,6. 【答案】(1)解：TBC是直径， ZBDC=90ol在 RtABCD 中，VBC=IOI 乙BCD二36。,/.BD=BCsin36o=10sin36o-5.9 (2)解：连接ODVAE=ECl OB=OC, OEAB, CD丄AB,AOE 丄 CD, VOD=OCt /.ZDOE=ZCOEi 在。和厶EOC中,OD = OC (ZDOE = ZCOE ,OE = OE .EODEOC, . ZEDO= ZE=90o

16、t AOD 丄 DE, DE是C)O的切线.(3)解:VOE丄 CD, DF 二 CF, VAE=EC, AD 二 2EF,YZCAD=ZCABl 乙 ADC 二乙 ACB 二 90°,a ACD-ABC1AC'二 ADAB,VAC=2CE,4CE=2EFAB.2CE=EFAB 7. 【答案】(1)解：TBC 是C)O 的直径，AZBAF÷FAC=90o,VZD = ZBAFl ZAOD = ZFACl乙D +乙AOD二90°,乙OAD二90。， AD是C)O的切线；(2)解：连接BFlZFAC二乙AOD, AACE ADCA,AC _ AE _ CEOC

17、 一 OA 一 ACIAC AE 2. T=TCI.AC=AE=航，VZCAE= Z CBF,.ACE-BFE,AE _ BECEI-Jw 8r. . EF/.EF=5R8. 【答案】(1)解：如图，连接OB,则OB=OD,B ZBDC=ZDBO, Z BAC二 Z BDCS 乙 BAC二乙 GBC, ZGBc=ZBDO,CD是G)O的直径，乙DBO+乙OBC二90°,乙GBC+ZOBC二90°,乙GBO二90°, PG与相切。(2)解：过点0作OM丄AC于点M,连接OA,则ZAOM = ZCOM=扌 Z-AOCl圆心角乙ABC和圆周高乙AoC所对弧相同, ZAB

18、C= ； ZAOC=ZCOMf 又 VZEFB 二乙0 MC=90olBEF-OCM,EF _BE CM OC , CM =ACEFBE -AC "OC ,2又EF_ 5 AC 8 ,BE _rEF 2 X =OC 'AC(3)解：由(2)可知莠£ 则BE=IO.OC 4V PD=OD, ZPBO=90°, BD=OD=8,在 RtDBC 中，BC= DC2-FD2 =8 3 I又 VOD=OB,DOB是等边三角形，乙DOB二60°,VZDOB=ZOBC÷ZOCB, OB=OCl乙OCB=30°,.竺=£0 二晅CE

19、 2 ' EF V可设 EF二X,则 EC=2xx FC= 3 Xt BF二8 3 - 3 Xt在 Rt BEF 中，BE=二EF'+BF=, .100=z+ (8 3 - z3 x) 2 I 解得：x=6± 13 I6+ 13 >8l 舍去，=6- 13 IEC=12-2 13 IOE二8- (12-2 13 ) =2 13 -49. 【答案】(1)解：作AM丄BC, AB二AC,BC二2, AM 丄BC,ABM = CM=扌 BC=I, 在 RtAMB 中，O BM VriO Ofc J x,VCoSB= = .BM=I1AAB=BM÷cosB=l÷ 学二 1U .(2)解:连接 CD