2022年2022年概率论与数理统计吴赣昌主编课后习题答案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题 1 设x、y 的分布律为求 a.解答： 由分布律性质pij1 、可知12a1 解得 a=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111169183习题 21 2.设x、yi 、 j的分布函数为f x、 y,试用 f x、 y99表示：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1pa<x b、y c;解答： pa<xb、y c=fb、c-fa、c.2p0<y b解; 答 p0<y b=f+ 、-bf+ 、0.3px>a、y b解. 答： px>a、y b=f

2、+ 、-bfa、b.习题 31 设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： 1p1/2<x<3/2、0<y<4解答： p1/2<x<2/3、0<y<4=px=1、y=1+px=1、y=2+px=1、y=3=1/4+0+0=1/4. 2p1 x 2、3 y 4;解答： p1x2、3 y4=px=1、y=3+px=1、y=4+px=2、y=3+px=2、y=4=0+1/16+0+1/4=5/16. 3f2、3.解答： f2、3=p1、1+p1、2+p1、3+p2、1+p2、2+p2、3=1/4+0+0+1/16+1/4+0=9/16.习题 4 设

3、x、y 为随机变量,且px0、y 0=3/7、px 0=py0=4/7、求 pmaxx、y 0 、pminx、y<0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答： p max x、y0p x0y0p x0py0p x0、y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=4/7+4/7-3/7=5/7.pmaxx、y01pminx 、 y01p x0、y047精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 5x、y 只取以下数值中的值：0、0、-1、1、-1、13、2、0 且相应概率依次为1/6、1/3、1/12、5/12、 请列出

4、 x、y 的概率分布表,并写出关于y 的边缘分布 .解答： 1由于所给的一组概率实数明显均大于零,且有1/6+1/3+1/12+5/12=1、 故所给的一组实数必为某二维随机变量x、y 的联合概率分布.因x、y 只取上述四组可能值,故大事：x= -1、y=0、x=0、y=1/3、x=0、y=1、x=2、y=1/3、x=2、y=1均为不行能大事,其概率必为零. 因而得到下表：见课后答案 2py=0=px=-1、y=0+px=0、y=0+px=2、y=0=0+1/6+5/12=7/12、同样可求得py=1/3=1/12、py=1=1/3、关于的 y 边缘分布见下表：见课后答案 精品学习资料精选学习

5、资料 - - - 欢迎下载习题 6 设随机向量 x、y 听从二维正态分布n 0、0、102 、10 2、0其概率密度为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x、 y1200e200求 px y.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答： 由于 pxy+px>y=1,且由正态分布图形的对称性,知pxy=px>y、故 pxy=1 /2.1 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 7 设随机变量 x、y 的概率密度为fx、 yk 6xy 、 0x1 、 0y o其它精品学习资料精选学习资料 -

6、 - - 欢迎下载1 确定常数k;2 求 px<1、y<3;3求 px<1.5;4求 px+y 4.242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答 1 由fx、 ydxdy1 、确定常数 k.k6xydxdyk62x8k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-所以 k=1/8.02013 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) px1、y3dx6xy dy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载02 88精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) px1.51.54 1dx6xy dy27精品学习资料精选学习资料 - -

7、- 欢迎下载02 83224 x 12(4) pxy4dx6xydy0283精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 8 已知 x 和 y 的联合密度为fx、 ycxy、 0x1、 0y1o其它精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试求： 1常数 c;2x 和 y 的联合分布函数fx、y.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答： 1由于 111fx、 ydxdycxydxdyc / 4、 c4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-002 当 x 0或 y 0时,明显fx、y=0; 当 x 1、y 时1,明显fx、y=1;精品学习资料精选学习资料 - -

8、- 欢迎下载设 0x1、0 y有1f、 x、y=yxfu、 vdudv22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy4uduvdvxy-00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 0x1、y>1有、fx、y=px 1、y y=4xudu12ydyx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载最终,设x>1、0 y有1、001fx、y=px 1、y y=4xdxyvdvy2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00函数 fx、y 在平面各区域的表达式见课后答案 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 9 设二维随机变量x、y 的概率密度为fx、

9、 y4. 8y 2 x 、 0xx 1 、y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o其它精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求边缘概率密度fyy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答：y4. 8y2 xd x 、 0y1 2.4y4 yy2 、0y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fyyfx、 ydx=0=o其它o其它精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 10设x、y 在曲线解答：yx2 、y=x 所围成的区域g 里听从匀称分布,求联

10、合分布密度和边缘分布密度.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载区域 g 的面积 a12xx dx01/ 6、由题设知 x、y 的联合分布密度为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx、 y6 、 0x1、2o其它xyx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从 而 f xf x、xy6dy6 xx2 、0x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 f x x6 xx2 、 0x1精品学习资料精选学习资料 - - -

11、欢迎下载o其它精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fy yyf x、 y6xdxy6yy、0y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 fy y6 yy 、 0y1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o其它3.2 条件分布与随机变量的独立性习题 1 二维随机变量 x、y 的分布律为1 求 y 的边缘分布律；2 求 py=0 x=0、py=1x=0;3 判定 x 与 y 为否独立？解答： 1由x、y 的分布律知,y 只取 0 及 1 两个值.py=0=px1 =0、y=0+px=1、y=0=7/15+7/30=0.771

12、py=1=p xi 、y10.32py=0 i 0x=0=px=0、y=0px=300=231、p5y=1 x=0=13.3 已知 px=0、y=0=715、由1知 py=0=0.7、类似可得px=0=0.7.由于 px=0、y=0 px=0 . py=0、所以 x 与 y 不独立 .习题 2 将某一医药公司9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为x 与 y.据以往积存的资料知 x 和 y 的联合分布律为1 求边缘分布律 ;2 求 8 月份的订单数为51 时, 9 月份订单数的条件分布律.解答： 1边缘分布律为x5152535455pk0.180.150.350.120.20对应 x 的

13、值 、将每行的概率相加、可得 px=i.对应 y 的值 最上边的一行 、 将每列的概率相加,可得py=j.y5152535455pk0.280.280.220.090.133 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 当 y=51 时、x 的条件分布律为px=k y=51=px=k、y=51py=51=pk、510.28、k=51、52、53、54、55.列表如下 :k5152535455px=k y=516/287/285/285/285/28习题 3 已知 x、y 的分布律如下表所示,试求：1 在 y=1 的条件下 、x 的条件分布律;2 在 x=2 的条件下 、y 的条件

14、分布律.xy0120121/41/8001/301/601/8解答：由联合分布律得关于x、y 的两个边缘分布律为x012pk3/81/37/24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故1 在 y=1 条件下, x 的条件分布律为y012pk5/1211/241/8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x y=1012pk3/118/1102 在 x=2 的条件下, y 的条件分布律为y x=2012pk4/703/7习题 4 已知 x、y 的概率密度函数为fx、y=3x、0<x<1、0<y<x0、其它 、求：1 边缘概率密度函数；2条件概率密度函数.解答

15、： 1fxx=-+fx、ydy=3x2、0<x<10、 其它 、fyy=- + fx、ydx=321-y2、0<y<10、 其它 .2 对 . y 0、1、fx yx y=fx、yfyy=2x1-y2、y<x<1、0、其它 、对. x 0、1、fy xy x=fx、yfxx=1x、0<y<x0、其它 .习题 5x 与 y 相互独立,其概率分布如表a及表 b 所示,求 x、y 的联合概率分布,px+y=1、px+y 0.x -2-101/2pi 1/41/31/121/3表 ay -1/213pi 1/21/41/4表 b4 / 13精品学习资料精

16、选学习资料 - - - 欢迎下载解答：由x 与 y 相互独立知px=xi、y=yi=px=xipy=yj、从而 x、y 的联合概率分布为-1/213y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载-2-px=-2py=-1/2px=-1py=-px=-2py=1px=-1pypx=-2py=3px=-1py精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载101 1/2px=0py=-1/2px=1/2p/2 y=-1/2=1px=0py=1px=1/2 py=1=3px=0py=3px=1/2 py=3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载亦即表xy-1/213-2-101/21/81/

17、161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载px+y=1=px=-2、y=3+px=0、y=1=116+148=112、px+y 0=1 -px+y=0=1-px=-1、y=1-px=12、y=-12=1-112-16=34.习题 6 某旅客到达火车站的时间x 匀称分布在早上7:558:00、 而火车这段时间开出的时间y的密度函数为fyy=25-y25、0 y5其0、它 、求此人能准时上火车站的概率.解答：由题意知x 的密度函数为fxx=15、0x5其0、它 、由于 x 与 y 相互独立,所以x 与 y 的联合密

18、度为：fxyx、y=25-y125、0 y5、0 x其5它0、故此人能准时上火车的概率为py>x=05x525-y125dydx=13.习题 7设随机变量x 与 y 都听从 n0、1 分布,且 x 与 y 相互独立,求 x、y 的联合概率密度函数. 解答：由题意知,随机变量x、y 的概率密度函数分别为fxx=12 e-x22 , fyy=12 e-y22由于 x 与 y 相互独立,所以x、y 的联合概率密度函数为fx、y=12-1e2x+y2.习题 8 设随机变量x 的概率密度fx=12e- x - <x<+、问： x 与 x 为否相互独立？解答：如x 与 x 相互独立,就.

19、 a>0、各有 pxa、 x a=pxa. p x a、而大事 x a. xa、 故由上式有p x a=pxa. p x a、. p x a1-px a=0. p xa =0 或 1=px a. . a>0但当 a>0 时,两者均不成立,显现冲突,故x 与 x不独立 .习题 9 设 x 和 y 为两个相互独立的随机变量,x 在0、1上听从匀称分布,y 的概率密度为fyy=12e-y2、y>00、y 0、求1x 与 y 的联合概率密度；2 设有 a 的二次方程a2+2xa+y=0、 求它有实根的概率.解答： 1由题设易知fxx=1、0<x<10、其它 、又 x

20、、y 相互独立,故x 与 y 的联合概率密度为fx、y=fxx. fyy=12e-y2、0<x<1、y>00、其它 ;2 因 a 有实根 = 判别式 2=4x2-4y 0=x2 y、故如下列图得到：pa 有实根 =px2y= x2>yfx、ydxdy=01dx0x-y221d2ye=- 01-ex22dx=1- - 1e-x22dx- - 0e-x22dx=1- 2 12 -1e-x22dx- 12- 0e-x22dx=1- 2 -1 0、又 1=0.8413、 0=0.5、 于为 1-0=0.3413、 所以pa 有实根 =1- 2 -1 0-21.51×0

21、.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题 1 设随机变量x 和 y 相互独立,且都等可能地取1、2、3 为值,求随机变量u=maxx、y和v=minx、y的联合分布 .5 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解答：由于uv、 可见 pu=i、v=j=0i<j.此外,有pu=v=i=px=y=i=1/9i=1、2、3、pu=i、v=j=px=i、y=j+px=j、y=i=2/9i>j、于为,随机变量u 和 v 的联合概率分布为概率 u 123 11/9 2/9 2/920 1/9 2/9300 1/9习题 2 设x、y 的分布律为xy-112-1

22、21/101/53/101/51/101/10试求： 1z=x+y;2z=xy;3z=x/y;4z=maxx、y的分布律 .解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的运算类型,本质上为利用大事及其概率的运算法就.留意, z 的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10x、yx+yxyx/ymaxx、y-1、-1-1、1-1、22、-12、12、2-2021341-1-2-2241-1-1/2-221112222于为 1x+y-20214pi1/101/51/21/101/102xy-20214pi1/21/51/101/101/103x/y-2-1-1/212pi1/5

23、1/53/101/51/104maxx、y-112pi1/101/57/10习题 3 设二维随机向量x、y 听从矩形区域d=x、y 0x2、0 y的1均 匀分布,且u=0、x y1、x>y、 v=0、x 2y1、x>2y、求 u 与 v 的联合概率分布.解答：依题 u、v 的概率分布为pu=0、v=0=pxy、x2y=pxy=01dxx112dy=14、 pu=0、v=1=px y、x>2y=0、pu=1、v=0=px>y、x 2y=py<x 2y= 01dy y2y12dx=14、 pu=1、v=16 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=1-

24、pu=0、v=0-pu=0、v=1-pu=1、v=0=1/2、即uv01011/401/41/2习题 4 设x、y 的联合分布密度为fx、y=12 e-x2+y22、z=x2+y2、求 z 的分布密度 .解答： fzz=pz z=px2+y2z.当 z<0 时, fzz=p . =0;当 z0时,fzz=px2+y2 z2= x2+y2 z2fx、ydxdy=12-x2+yx222+dyx2dy=z122e 0d2 0-z2e2d= 0z-e22d=1-e-z22.故 z 的分布函数为fzz=1-e- z22、z 00、z<0.z 的分布密度为fzz=ze- z22、z>00

25、、z 0.习题 5 设随机变量 x、y 的概率密度为fx、y=12x+ye-x+y、x>0、y>00、其它 、1 问 x 和 y 为否相互独立？2 求 z=x+y的概率密度 .解答： 1fxx=-+fx、ydy=0+12x+-yxe+ydy、x>00、x0under2line 令 x+y=t x+ 1-2tdtet=12x+1e- x、x>00、x 0、由对称性知fyy=12y+1e-y、y>00、y 0显、 然 fx、yfxxfyy、x>0、y>0、所以 x 与 y 不独立 .2 用卷积公式求fzz= - + fx、z-xdx.当x>0z-x&

26、gt;0即 x>0x<z时, fx、z- x 0所、 以当 z0时, fzz=0; 当 z>0 时, fzz= 0z12x-xedx=12z2e-z.于为, z=x+y的概率密度为fzz=12z2e- z、z>00、z 0.习题 6 设随机变量x、y 相互独立,如x 听从 0、1上的匀称分布,y 听从参数 1 的指数分布,求随机变量z=x+y的概率密度 .解答：据题意,x、y 的概率密度分布为fxx=1、0<x<10、其它 、 fyy=e- y、y 00、y<0、由卷积公式得z=x+y的概率密度为fzz= - + fxxfyz- xdx= - + fx

27、-zyfyydy= 0+ -fyxez-ydy.由 0<z-y<1 得 z-1<y<z、 可见：当 z0时,有 fxz-y=0、故 fzz= 0+.0e-ydy=0;当 z>0 时, fzz= 0+fx-yze- ydy=max0、z-1ze-ydy=e-max0、z-1-e-z、即 fzz=0、z0-e1-z、0<z 1e-1z-e-z、z>1.习题 7 设随机变量 x、y 的概率密度为fx、y=be-x+y、0<x<1、0<y<+、0、其它 .（ 1）试确定常数b；（ 2）求边缘概率密度fxx、fyy；（ 3）求函数 u=m

28、axx、y的分布函数 .解答：（ 1）由 -+-+fx、ydxdy=1 ,确定常数b. 01dx0+-xbee-ydy=b1-e-1=1 ,所以 b=11-e-1 ,从而 fx、y=11-e-1e- x+y、0<x<1、0<y<+、0、其它 .（ 2）由边缘概率密度的定义得fxx=0+1-e1-1e-x+ydy=e-x1-e-x、0<x<1、0、其它,fyx=1101-e-1e-x+ydx=e- y、0<y<+ 、0其、 它（ 3）由于 fx、y=fxxfyy,所以 x 与 y 独立,故fuu=pmaxx、y u=px u、y u=fxufy,u

29、其中 fxx= 0x-et1-e-1dt=1-e-x1-e-1、0<x<1 ,所以 fxx=0、x 0、1-e-x1-e- 1、0<x<1、1、x 1.7 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理 fyy= 0ye-tdt=1-e- y、0<y<+ 、0、y ,0因此 fuu=0、u<0、1-e-u21-e-1、0 <u1、1-e- u、u 1.习题 8 设系统 l 为由两个相互独立的子系统l1 和 l2 以串联方式联接而成,l1 和 l2 的寿命分别为 x 与 y、 其概率密度分别为.1x= e-x、x>00、x .02

30、、 y= e-y、y>00、y 0、其中 >0、 >0、 试求、系统l 的寿命 z 的概率密度 .解答：设z=minx、y、就 fz=pz z=pminx、y z=1-pminx、y>z=1-pxz、y z=1-1px<z1-py<z=1-1-f1z1-f2z由于 f1z= 0z-exdx=1-e-z、z 00、z<f02、z=1-e- z、z 00、z<0、故 fz=1-e- +z、z 00、z<0、从而 .z= +e-+z、z>00、z0.习题 9 设随机变量x、y 相互独立,且听从同一分布,试证明：pa<minx、y b=

31、px>a2 -px>b2.解答：设minx、y=z、就 pa<minx、y b=fzb -fza、 fzz=pminx、yz=1-pminx、y>z=1-px>z、y>z=1-px>zpy>z=1-px>z2、代入得 pa<minx、y b=1 -px>b2-1-px>a2=px>a2-px>b2.证毕 .复习总结与总习题解答习题 1 在一箱子中装有12 只开关, 其中 2 只为次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验： 1放回抽样； 2不放回抽样 .我们定义随机变量x、y 如下：x=0、 如第一次取出的

32、为正品1、如第一次取出的为次品、y=0、 如其次次取出的为正品1、如其次次取出的为次品、试分别就 1、2 两种情形,写出x 和 y 的联合分布律 .解答： 1有放回抽样,x、y 分布律如下：px=0、y=0=10×1012 ×12=2536;px=1、y=0=2×1012 ×12=536、px=0、y=1=10×212 ×12=536、px=1、y=1=2×212 ×12=136、2 不放回抽样, x、y 的分布律如下：px=0、y=0=10×912 ×11=4566、px=0、y=1=10&#

33、215;212 ×11=1066、px=1、y=0=2×1012 ×11=1066、px=1、y=1=2×112 ×11=166、y x010145/6610/6610/661/66习题 2 假设随机变量y 听从参数为1 的指数分布,随机变量xk=0、 如 yk1、 如 y>kk=1、2、求x1、x2 的联合分布率与边缘分布率.解答：由于y 听从参数为1 的指数分布,x1=0、 如 y11、 如 y>1、所以有px1=1=py>1= 1+-eydy=e-1、 px1=0=1-e-1、同 理 px2=1=py>2=2+e-

34、ydy=e-2、px2=0=1-e-2、 因 为 px1=1、x2=1=py>2=e-2 ,px1=1、x2=0=px1=1-px1=1、x2=1=e-1-e-2、px1=0、x2=0=py 1=1-e-1、px1=0、x2=1=px1=0-px1=0、x2=0=0、故x1、x2 联合分布率与边缘分布率如下表所示：x1slashx2 01px1=i01-e-101-e-18 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1e-1-e-2e-2 e-1px2=j1-e-2e-2习题 3 在元旦茶话会上,每人发给一袋水果,内装3 只橘子, 2 只苹果, 3 只香蕉 . 今从袋中随机抽

35、出 4 只,以 x 记橘子数, y 记苹果数,求x、y 的联合分布 .解答： x 可取值为0、1、2、3、y 可取值 0、1、2.px=0、y=0=p. =0、px=0、y=1=c30c21c33/c84=2/70、px=0、y=2=c30c22c32/c84=3/70、 px=1、y=0=c31c20c33/c84=3/70、px=1、y=1=c31c21c32/c84=18/70、 px=1、y=2=c31c22c31/c84=9/70、px=2、y=0=c32c20c32/c84=9/70、 px=2、y=1=c32c21c31/c84=18/70、px=2、y=2=c32c22c30/

36、c84=3/70、 px=3、y=0=c33c20c31/c84=3/70、px=3、y=1=c33c21c30/c84=2/70、px=3、y=2=p. =0、 所以, x、y 的联合分布如下：xy012301203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700习题 4 设随机变量x 与 y 相互独立,下表列出了二维随机变量x、y 的联合分布律及关于x 与y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处：xyy1y2y3pi . x11/8x21/8p. j1/61解答：由题设x 与 y 相互独立,即有pij=pi . p. ji=1、2;j=

37、1、2、3、 p . 1-p21=p11=16-18=124、又由独立性,有p11=p1 . p. 1=p1 . 16故 p1. =14. 从而 p13=14-124-18、又由 p12=p1. p. 2、 即 18=14. p. 2.从而 p. 2=12. 类似的有p. 3=13、p13=14、p2 . =34.将上述数值填入表中有xyx1y11/24y21/8y31/12pi .1/4x21/83/81/43/4p.j1/61/21/31习题 5 设随机变量 x、y 的联合分布如下表：求：1a 值； 2x、y 的联合分布函数fx、y ； 3x、y 关于 x、y 的边缘分布函数fxx 与 f

38、yy.解答： 1because 由分布律的性质可知i. jpij=1、故 14+14+16+a=1、 a=13.2 因 fx、y=px x、y y当 x<1 或 y<-1 时, fx、y=0;当 1x<2-、1y<0时, fx、y=px=1、y=-1=1/4;当 x2-、1y<0时, fx、y=px=1、y=-1+px=2、y=-1=5/12;9 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 1x<2、y>0 时, fx、y=px=1、y=-1+px=1、y=0=1/2;当 x2、y 时0, fx、y=px=1、y=-1+px=2、y=-1

39、+px=1、y=0+px=2、y=0=1;综上所述,得x、y 联合分布函数为fx、y=0、x<1或 y<- 11/4、1 x<-12、 y<05/12、x-12、 y<01/2、1 x<2、y 01、x 2、y 0.3 由 fxx=px x、y<+ = xi<x j=1+ 得pxij、y 关于 x 的边缘分布函数为：fxx=0、x<114+14、1 x<214+14+16+13、x 2=0、x<11/2、1 x<21、x 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理,由fyy=px<+、y y= yi yi

40、=1+ pij得、 fyy=0、y<-12/12、-1 y<01、y 0.x、y 关于 y 的边缘分布函数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 6 设随机变量 x、y 的联合概率密度为fx、y=cr- x2+y2、x2+y2<r0、x2+y2 r、求： 1 常数 c;2px2+y2r2r<r.解答： 1由于1=- +- + fx、ydydx= x2+y-2x<2r+cyrdxdy= 02 0-rcr d d =c r33、所以有 c=3r3.2px2+y2 r2= x2+y2<r23 -x2+ry32rdxdy= 02 0r3-r 3rd d

41、 =3r-22rr32r1.习题 7 设 fx、y=1、0x2、max-01、xymin1、x0其、 它 、求 fxx 和 fyy.解答： max0、x-1=0、x<1x- 1、x 1、 min1、x=x、x<11、x1、所以, fx、y 有意义的区域如图 可分为 0 x1、0 yx、1 x-x2y、11、即 fx、y=1、0x1、0 yx1、1 -1xy2、x1、0其、 它 所以fxx= 0xdy=x、0 x-<11dy=x2- x、1 x 其20它、 fyy= yy+1dx=1、0 y其它1.0、习题 8 如x、y 的分布律为就、 应满意的条件为、 如 x 与 y 独立,

42、就=、 =.解答：应填+=13;29;1.9由分布律的性质可知i. jpij=1、故 16+19+118+13+=1、即 +=1又3. 因 x 与 y 相互独立,故px=i、y=j=px=ipy=j、从而 =px=2、y=2=px=ipy=j、=19+ 14+ + =19+ 13+13=29、 =px=3、y=2=px=3py=2=118+ 13+ + =118+,13+13=19.习题 9 设二维随机变量x、y 的概率密度函数为fx、y=ce-2x+y、x>0、y>00、其它 、1 确定常数c; 2 求 x、y 的边缘概率密度函数；3求联合分布函数fx、y; 4 求 py x;5

43、 求条件概率密度函数fx yx y;6 求 px<2 y<1.解答： 1由-+-+fx、ydxdy=1 求常数 c. 0+ 0+-2xc+eydxdy=c .vline0+. -e-y 0+ =c2=1、所以 c=2.2fxx=-+ fx、ydy= 0-2+xe-2yedy、x>00 、x 0=2-e2x、x>00、x 0、fyy=- + fx、ydx= 0-2+xe-2yedx、y>00、 其它 =e- y、y>00、y 0.3fx、y=-x- yfu、vdvdu= 0x-2ue0-yv2devdu、x>0、y>00、 其它=1-e-2x1-e

44、-y、x>0、y>00、其它 .4py x= 0+ dx -20xxe2-eydy= 0+-2xe1-e-xdx=13.5 当 y>0 时, fx yx y=fx、yfyy=2e-2xe-ye-y、x>00、x 0=-22ex、x>00、x 0. 6px<2 y<1=px<2、y<1py<1=f2、1 0-y1dey=1-e-11-e-41-e-1=1-e-4.10 / 13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载习题 10 设随机变量x 以概率 1 取值为 0、 而 y 为任意的随机变量,证明x 与 y 相互独立 .解答：由于

45、 x 的分布函数为fx=0、 当 x<0 时 1、当 x0时 、 设 y 的分布函数为fyy、x、y 的分布函数为fx、y ,就当 x<0 时,对任意y、 有 fx、y=px x、y y=px x yy=p . y y=p. =0=fxxfyy;当 x0时,对任意y、 有fx、y=px x、y y=px x y y=ps y y=py y=fyy=fxxfyy、依定义,由fx、y=fxxfyy知, x 与 y 独立 .习题 11 设连续型随机变量x、y 的两个重量x 和 y 相互独立,且听从同一分布,试证px y=1/2.解答：由于x、y 独立,所以fx、y=fxxfyy.pxy=

46、 xyfx、ydxdy= xyfxxfyydxdy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=- + fyy-yfxxdxdy=-+ fyyfyydy=- + fyydfyy=f2y2 - + =12、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载也可以利用对称性来证,由于x、y 独立同分布,所以有pxy=pyx、而 pxy+pxy=1、故 pxy=1/12.习题 12 设二维随机变量x、y 的联合分布律为如x 与 y 相互独立,求参数a、b、c 的值 .解答：关于x 的边缘分布为xx1x2x3pk a+1/9b+1/9c+1/3关于 y 的边缘分布为yy1y2pk 1/9+a+c4/9+

47、b由于 x 与 y 独立,就有p22=p2 . p. 2得b=b+19b+49p12=p1 . p. 2得19=a+19b+49由式得b=29、 代入式得a=118. 由分布律的性质,有a+b+c+19+19+13=1、 代入 a=118、b=29、得 c=16.易验证,所求a、b、c 的值,对任意的i 和 j 均满意 pij=pi . ×p. j.因此,所求a、b、c 的值为 a=118、b=29、c=16.习题 13 已知随机变量x1 和 x2 的概率分布为且px1x2=0=1.1 求 x1 和 x2 的联合分布律；2问 x1 和 x2 为否独立？解答： 1 此题为已知了x1 与 x2 的边缘分布律, 再依据条件px1x2=0=1、求出联合分布 . 列表如下：x2x1-101px2=j011/401/401/