2022年2022年概率论知识点总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点概率论学问点总结第一章随机大事及其概率第一节基本概念随机试验 ：将一切具有下面三个特点：（ 1）可重复性（ 2）多结果性（ 3）不确定性的试验或观看称为随机试验,简称为试验,常用e 表示；随机大事 ：在一次试验中,可能显现也可能不显现的事情（结果）称为随机大事,简称为大事；不行能大事 ：在试验中不行能显现的事情,记为；必定大事 ：在试验中必定显现的事情,记为；样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点,记作.样本空间 ：全部样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示 .一个随机大事就为样本空间的一个子集；基本领件 单点集,复合大事 多点

2、集一个随机大事发生,当且仅当该大事所包含的一个样本点显现；大事的关系与运算（就为集合的关系和运算）包含关系 ：如大事a 发生必定导致大事b 发生,就称b 包含 a,记为 ba 或 ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相等关系 ：如 ba 且 ab ,就称大事a 与大事 b 相等,记为a b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载大事的和 ：“大事 a 与大事 b 至少有一个发生”为一大事,称此大事为大事a 与大事 b 的和大事；记为a b；大事的积 ：称大事 “大事 a 与大事 b 都发生 ”为 a 与 b 的积大事,记为a b 或 ab ；大事的差 ：称大事 “大事

3、 a 发生而大事b 不发生” 为大事 a 与大事 b 的差大事 、记为a b ；用交并补可以表示为aba b ；互斥大事 ：假如 a, b 两大事不能同时发生,即ab ,就称大事a 与大事 b 为互不相容精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载大事或互斥大事；互斥时a b 可记为 a b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对立大事 ：称大事 “a不发生 ”为大事 a 的对立大事（逆大事） ,记为 a ；对立大事的性质：ab、 ab；大事运算律：设a, b, c 为大事,就有（1）交换律： a b=b a , ab=ba（2）结合律： a b c=a b c=a b cabc=

4、abc=abc（3）安排律： a bc a ba cab cab ac= ab ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）对偶律（摩根律） ： ab ababab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其次节大事的概率概率的公理化体系：（1）非负性： pa 0；（2）规范性： p 1（3）可数可加性：a1a2an两两不相容时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p a1a2anp a1 p a2 p an 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载概率的

5、性质：（1） p 0（2）有限可加性：a1a2an 两两不相容时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p a1a2an p a1 p a2 p an 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 ab= 时 pa b pa pb（3） p a1p a（4） pa b pa pab（5） p（a b） pa pb pab第三节古典概率模型1.设试验e 为古典概型 、 其样本空间 由 n 个样本点组成 、大事 a 由 k 个样本点组成 .就定精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载义大事 a 的概率为p akn精品学习资料精选学习资料

6、 - - - 欢迎下载2.几何概率：设大事a 为 的某个区域,它的面积为 a,就向区域 上随机投掷一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点,该点落在区域a 的概率为p a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,就大事a 的概率仍可用上式确定,只不过把 懂得为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在大事b 发生的条件下,大事a 发生的概率称为条件概率,记作pa|b.p ab 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p a | bpb 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载乘法公式： pab=pbpa|b papb

7、|a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载全概率公式：设a1 、 a2 、 an 为一个完备大事组,就pb= pai pb|ai 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载贝叶斯公式：设a1 、 a2 、 an 为一个完备大事组、就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p ai| bp ai bp bp ai p b | ai p aj pb | aj 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第五节大事的独立性两个大事的相互独立：如两大事a .b 满意 pab= pa pb,就

8、称 a . b 独立,或称a .b 相互独立 .三个大事的相互独立：对于三个大事a .b.c,如 pab= pa pb,pac= papc,pbc= pb pc , pabc= pa pbpc,就称 a .b.c 相互独立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点三个大事的两两独立：对于三个大事a .b.c,如 pab= pa pb,pac= papc,pbc= pb pc ,就称 a . b.c 两两独立独立的性质：如a 与 b 相互独立,就a 与 b , a 与 b , a 与 b 均相互独立总结： 1.条件概率为概率论中的重要概念,其与独立性有亲密的关系,在不具有独

9、立性的场合,它将扮演主要的角色；2.乘法公式. 全概公式. 贝叶斯公式在概率论的运算中常常使用,应坚固把握； 3.独立性为概率论中的最重要概念之一,应正确懂得并应用于概率的运算；其次章一维随机变量及其分布其次节分布函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分布函数：设x 为一个随机变量,x 为一个任意实数,称函数f xp xx 为 x 的分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载布函数；假如将x 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数fx 的值就表示x 落在区间、 x 内的概率分布函数的性质： （ 1）单调不减； （ 2）右连续；（ 3） f 0、 f 1精品学习资料精选学习资料

10、- - - 欢迎下载第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk k=1、2、为离散型随机变量x所取的一切可能值,称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xxk pk 为离散型随机变量x 的分布律,也称概率分布.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分布律的性质： （ 1） 0p k1；（ 2）pk1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载离散型随机变量的概率运算：（1）已知随机变量x 的分布律,求x

11、的分布函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f xp xxxk xp xk 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）已知随机变量x 的分布律 、 求任意随机大事的概率；（3）已知随机变量x 的分布函数,求x 的分布律精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p xxk f xk f xk0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三种常用离散型随机变量的分布：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k1.（ 0 1）分布：参数为p 的分布律为p x1p、 p x01p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.二项分布：参数为n,p 的分布律为p

12、xkc k p k 1p n, k0、1、2、 n ；例如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn 重独立重复试验中,大事a 发生的概率为p,记 x 为这 n 次试验中大事a 发生的次数,就 x b（ n,p）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.泊松分布： 参数为 的分布率为p xkke, kk.0、1、2、；例如记 x 为某段事精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点件内电话交换机接到的呼叫次数,就x p（ ）第四节连续型随机变量连续型随机变量概率密度fx 的性质（1） fx0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） fx dx1

13、 , p xaf xdx0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3） p axbp axbp axbp axbbf xdxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4） f xf x、 f xxf xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续型随机变量的概率运算：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）已知随机变量x 的密度函数,求x 的分布函数；f xxf xdx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2

14、）已知随机变量x 的分布函数,求x 的密度函数；f xf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）已知随机变量x 的密度函数 、 求随机大事的概率；p axbbf xdxa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）已知随机变量x 的分布函数,求随机大事的概率；p axbf bf a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三种重要的连续型分布：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1匀称分布：密度函数f x1axba0elseb ,记为x ua , b.精品学习资料精

15、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 指数分布：密度函数f xexx0x0,记为 x e（ ）0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 正态分布：密度函数f x2 x1e2 22,记为x n 、2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n（ 0,1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再运算概率.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p axbf bf a ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

16、载第五节随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型： 查找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系；留意分段函数情形可能需要争论,得到的结果也可能为分段函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fy ypyyp g x yp xg yf g y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结精品学问点第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的联合分布函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联合分布函数f x、 yp xx、yy ,表示随机点落在以（x ,y）为顶点的左下无穷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载矩形区域内的概率； 联合分

17、布函数的性质：（1）分别关于x 和 y 单调不减；（2）分别关于x 和 y 右连续；（3） f - 、 y = 0、f x 、- =0、f- 、- = 0 f + 、+ = 1其次节二维离散型随机变量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联合分布律：p xxi 、 yy j pij精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联合分布律的性质：p ij0 ；pij1ij精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第三节二维连续性随机变量yx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载联合密度：f x、 ydvfu、 v du精品学习资料

18、精选学习资料 - - - 欢迎下载联合密度的性质：f x、 y0 ；f x、 ydxdyr21； p x、 ydf x、 ydxdyd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第四节边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘,对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度第六节随机变量的独立性独立性判定：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）如x 、y取值互不影响,可认为相互独立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）依据独立性定义判定f x、 yf x xfy y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载离散型可用pijpip j精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -