2022年2022年河北省近五年中考数学压轴题综述

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最终一道压轴题的命制,从1996 年至 2001 年的近五年来出现出一个规律：都为几何图形运动型的综合题,并且由运动的几何图形来看,类型各异,颇具特色；一.单点运动型例 1 1999 年河北省中考压轴题 如图 1-1 ,正方形 oabc的顶点 o在坐标原点,且oa边与 ab边所在直线的解析式分别为：y=x 和 y=-x+；d.e 分别为边 oc和 ab的中点, p为 oa边上一动点 点 p 与点 o不重合 ,连结 de和 cp,其交点为 q；(1) 求证：点 q为 cop的外心；(2) 求正方形 oabc的边长；(3

2、) 当q与 ab相外切时,求点p 的坐标；解： 1 d. e 分别为正方形 oabc中 oc.ab的中点,deoa；q也为 cp的中点；又 cp为 rtcop的斜边,点 q为 cop的外心；(2) 由方程组解得点 a 的坐标为 4 ,3 ；过点 a 作 afox 轴,垂足为点 f；of=4, af=3；由勾股定理,得oa=5；(3) 如图 1-2 ,当 cop的外接圆q 与 ab相切时,圆心 q在直线 de上,且 deab,e为q与 ab相切的切点；又 ae 和 apo分别为q 的切线与割线ae2=ap·aooa=5, ae= 2=ap·5,ap=当q与 ab相切时, op

3、=5-作 phox,垂足为 h；phaf,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载oh=,ph=点 p 的坐标为 3 ,二.双点互动型例 2 1997 年河北省中考压轴题 已知：如图 2-1 ,在直角梯形 abcd中,adbc,b=90°,ab=8厘米, ad=24厘米, bc=26厘米, ab为o的直径；动点 p 从点 a 开头沿 ad边向点 d以1 厘米/ 秒的速度运动,动点q从点 c开头沿 cb边向点 b 以 3 厘米/ 秒的速度运动； p.q分别从点 a.c同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动；设运动时间为t 秒；求： 1t分别为何值时,四边形pqcd为

4、平行四边形.等腰梯形？2t分别为何值时,直线pq与o相切.相交.相离？ 解： 1 adbc,只要 qc=p,d 四边形 pqcd为平行四边形；此时,有 3t=24-t,解,得 t=6 ；即当 t=6 秒时,四边形pqcd为平行四边形；同理,只要 pq=c,d pdqc,四边形 pqcd为等腰梯形；过 p.d分别作 bc的垂线交 bc于 e.f 两点 如图 2-2 ,就由等腰梯形的性质可知：ef=pd,qe=fc=；22=3t24-t解得 t=7t=7 秒时,四边形 pqcd为等腰梯形；2 设运动 t 秒时,直线 pq与o相切于点 g如图 2-3 ,过 p 作 phbc,垂足为 h；就 ph=a

5、b,bh=ap,即 ph=8,hq=26-3t-t=26-4t；由切线长定理,得pq=ap+bq=t+26-3t=26-2t；222由勾股定理,得pq=ph+hq,222即26-2t=8 +26-4t化简整理,得 3t 2-26t+16=0解,得 t 1=, t 2 =8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 t=秒或 t=8 秒时,直线 pq与o相切；t=0 秒 时, pq与o相交；当 t=8 秒 时, q点运动到 b 点, p 点尚未运动到 d点,但也停止运动,此时pq也与o相交；当 t=或 t=8 时,直线 pq与o相切；当 0t 或 8t 8 时,直线 pq与o相交；当t 8

6、 时,直线 pq与o相离；三.直线平移型例 3 2000 年河北省中考压轴题 在如图 3-1 所示的直角坐标系中,点c在 y 轴的正半轴上,四边形 oabc为平行四边形, oa=2, aoc=6°0 ,以 oa为直径p 经过点 c,点 d在 y 轴上, dm为始终与 y 轴垂直且与 ab边相交的动直线,设dm与 ab边的交点为 m点 m在线段 ab上,但与 a.b 两点不重合 ,点 n 为 dm与 bc的交点设 od=t；(1) 求点 a 和 b 的坐标；(2) 设 bmn的外接圆g 的半径为 r,请你用 t 表示 r及点 g的坐标；(3) 当g与p相切时,求直角梯形oamd的面积；

7、解： 1 连结 ac；oa为p的直径, aco=9°0又 oa=2, aoc=6°0 , oc=1, ac=点 a 的坐标为 、1又 oabc为平行四边形, aboc,点 b 的坐标为 、2(2) dmy轴,且 aboc, dmab； nmb=9°0g的圆心 g为 bn的中点；又 b=aoc=6°0 , bm=bn=r；而点 b 的纵坐标为 2,点 m的纵坐标 =点 d的纵坐标 =t ,bm=2-t , r=2-t过点 g作 ghy轴,交 x 轴于点 h,交 dm于点 f；过点 g作 gkx轴,交 ab于点 k如图 3-2 ；精品学习资料精选学习资料 -

8、 - - 欢迎下载依据垂径定理,得到：fm= mn,km= bm；设点 g的坐标为 x、 ynm=2-tx=dm-mn=-2-t=t , y=od+ bm=t+2-t=1+t ；点 g的坐标为 t ,1+t ；(3) 连结 gp,过点 p 作 pex轴,交 gh于点 e；由 pege,依据勾股定理得：gp=当g与p外切时, pg=r+,1=3-t ；解得 t=,经检验 t=为原方程的根；此时, od=t=,am=1-mb= ,dm=ac=此时, od=t=,am=1-mb= , dm=ac= ,直角梯形 oamd的面积为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s=,dm=；四.点线共动

9、型例 4 2001年河北省中考压轴题 如图 4-1 ,在菱形 abcd中, ab=10, bad=6°0；点 m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从点 a以每秒 1 个单位长的速度沿着ad边向点 d移动；设点 m移动的时间为 t 秒0 t 10 ；(1) 点 n为 bc边上任意一点； 在点 m移动过程中, 线段 mn为否肯定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；(2) 点 n从点 b与点 m动身的时刻相同 以每秒 2 个单位长的速度沿着bc边向点 c移动,在什么时刻,梯形abnm的面积最大？并求出面积的最大值；(3) 点 n从点 b与点 m动身的时刻相同 以每秒

10、aa 2 个单位长的速度沿着射线bc方向精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 可以超越 c点 移动,过点 m作 mpab,交 bc于点 p；当 mpn abc时,设 mpn与菱形abcd重叠部分的面积为s,求出用 t 表示 s 的关系式,并求出s=0 时 a 的值；解： 1mn 肯定能在某一时刻将菱形abcd分割成面积相等的两部分；对于中心对称图形,过中心的任始终线均能将图形分割成面积相等的两部分；而且菱形为中心对称图形 如图 4-2 所示 ；在点 m由 a 到 d的移动过程中,肯定存在一个时刻,使得线段mn过菱形的中心；(2) 过 b 作 bead,垂足为 e如图 4-3 ；在 r

11、tabe中, be=10sin60°=5am=t, bn=2t,s梯形 abnm=t+2t×5=t ；2t 10, t 5当 t=5 时, s 梯形 abnm最大； 最大面积为：×5=；(3) abc为腰长为 10 的等腰三角形；当 abc abc时 如图 4-4mp=10,pn=bc=1,0 且 mp=p；nnc=pn-pc=bc-pc=pbbp=am=,tpc=10-t ,nc=t过 p 作 pgdc,垂足为 g；在 rtpgc中, pg=pcsin60°=10-t；设 mn交 dc于 f,dcmp,且 mp=p,n精品学习资料精选学习资料 - -

12、- 欢迎下载 nfc=nmp=fc=nc=；tmnp,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载重叠部分 mpcf为梯形,s=t+10 ×10-t=-t 2+25当 s=0,即-t 2+25=0 时,解得 t 1=10,t 2=-10 舍去bn=at,且 bn=pn+pb=10,+tat=10+t ；将 t=10 代入 at=10+t ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 a=2；五.点圆齐动型例 5 1998 年河北省中考压轴题 如图 5-1 所示,一艘轮船以20 浬/ 时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以40 浬/ 时的速度由南向北移动,距台风

13、中心20浬的圆形区域 包括边界 都属台风区；当轮船到a 处时,测得台风中心移到位于点a 正南方向b 处,且 ab=100浬；(1) 如这艘轮船自 a 处按原速度连续航行, 在途中会不会遇到台风？如会,试求轮船最初遇到台风的时间；如不会,请说明理由；(2) 现轮船自 a 处立刻提高航速,向位于东偏北30°方向,相距 60 浬的 d港驶去；为使台风到来之前,到达d港,问船速至少应提高多少 提高的船速取整数,3.6 ？解： 1 设途中会遇到台风,且最初遇到台风的时间为t 小时,此时,轮船位于c 处,台风中心移到 e处,连结 ce如图 5-2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

14、就有 ac=20t,ae=ab-be=100-40,t22在 rtaec中, ac2+ae2=ec2,ec=20；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载220t+100-40t=20 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2整理,得 t -4t+3=0 = -4 2- 4×1×3=4 0,途中会遇到台风； 解,得 t 1=1,t 2=3；最初遇到台风的时间为1 小时；2 设台风抵达 d港时间为 t 小时,此时台风中心至m点；过 d 作 dfab,垂足为 f,连结 dm；在 rtadf中, ad=60, fad=

15、60°,df=30, fa=30；又30 2+130-40t2=20 2 ,整理,得 4t 2-26t+39=0解之,得 t 1=,t 2=；台风抵达 d港的时间为小时；轮船从 a 处用小时到 d 港的速度为 60÷25.5 ；因此,为使台风抵达d 港之前轮船到 d 港,轮船至少应提速6 浬/ 时；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景,并非纯属巧合；大致主要缘由为命题者看中了这种题目的综合性强.对思维才能的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想,又成为表达数学中辩证法的很好素材；由此可见,无论从今类题

16、目的命题形式.仍为考查意图上,把它放在最终一道压轴题的位置,都为恰如其分的；05 河北 .如图 12,在直角梯形abcd中, ad bc, c90°, bc 16,dc 12, ad 21；动点 p 从点 d 动身, 沿射线 da 的方向以每秒2 两个单位长的速度运动,动点 q 从点 c 动身, 在线段 cb 上以每秒1 个单位长的速度向点 b 运动,点 p,q 分别从点 d,c 同时出精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载发,当点 q 运动到点b 时,点 p 随之停止运动；设运动的时间a为 t（秒）；（ 1）设 bpq 的面积为s,求 s 与 t 之间的函数关系式；（ 2）

17、当 t 为何值时,以b,p,q 三点为顶点的三角形为等腰三角形？（ 3）当线段pq 与线段ab 相交于点o,且 2ao ob 时,求 bqp 的正切值；pdbqc图 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）为否存在时刻t,使得 pq bd ？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由；06 河北 .如图 13,在 rt abc 中, c 90°, ac 12,bc 16,动点 p 从点 a 动身沿 ac 边向点 c 以每秒 3 个单位长的速度运动,动点 q 从点 c 动身沿 cb 边向点 b 以每秒 4 个单位长的速度运动 p, q 分别从点 a, c 同时动身,当

18、其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动在运动过程中, pcq 关于直线 pq 对称的图形为 pdq 设运动时间为 t（秒）（ 1）设四边形pcqd 的面积为y,求 y 与 t 的函数关系式；（ 2） t 为何值时,四边形pqba 为梯形？（ 3）为否存在时刻t,使得 pd ab？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由；（ 4）通过观看.画图或折纸等方法,猜想为否存在时刻t ,使得 pd ab？如存在,请估量t 的值在括号中的哪个时间段内（0 t 1；1 t2；2 t 3；3 t 4）；如不存在,请简要说明理由apdcqb图 1307 河北 . 如图 16,在等腰梯形 abcd中, ad

19、bc, ab=dc=50,ad=75 , bc=135点 p 从点 b 动身沿折线段 ba- ad- dc以每秒 5 个单位长的速度向点 c 匀速运动；点 q从点 c 动身沿线段 cb方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动, 过点 q向上作射线 qk bc,交折线段 cd- da- ab于点 e点p.q 同时开头运动,当点 p 与点 c 重合时停止运动,点 q 也随之停止设点 p.q 运动的时间为 t 秒（ t 0）（ 1）当点 p 到达终点c 时,求 t 的值,并指出此时bq的长；（ 2）当点 p 运动到 ad上时, t 为何值能使pqdc？（ 3）设射线 qk扫过梯形 abcd的面积为 s

20、,分别求出点e 运动到 cd.da上时, s 与 t 的函数关系式；（不精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载必写出 t 的取值范畴）（ 4） pqe能否成为直角三角形？如能,写出t 的取值范畴；如不能,请说明理由kadpe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载08 河北 . 如图 15,在 rt abc 中,c90 ,abb50 ,ac图 1630 ,d, e, fqc分别为 ac, ab, bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的中点 点 p 从点 d 动身沿折线deeffccd 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 q 从点 b 动身沿 ba 方向以每秒4

21、个单位长的速度匀速运动,过点 q 作射线 qkab ,交折线 bcca 于点 g 点p, q 同时动身,当点p 绕行一周回到点d 时停止运动,点q 也随之停止设点p,q 运动的时间为t 秒（ t0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） d, f两点间的距离为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）射线 qk 能否把四边形cdef 分成面积相等的两部分？如能,求出t 的值如不能,说明理由；（ 3）当点 p 运动到折线effc 上,且点 p 又恰好落在射线qk 上时,求 t 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）连结 pg ,当 pg ab

22、时,请直接 写出 t 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ckdfpgabeq图 1509 河北 如图 16,在 rt abc 中, c=90 °, ac = 3, ab = 5点 p 从点 c 动身沿 ca 以每秒 1 个单位长的速度向点 a 匀速运动,到达点 a 后马上以原先的速度沿 ac 返回；点 q 从点 a 动身沿 ab 以每秒 1 个单位长的速度向点 b 匀速运动相伴着 p.q 的运动,de 保持垂直平分 pq,且交 pq 于点 d ,交折线 qb-bc- cp于点 e点 p.q 同时动身,当点 q 到达点 b 时停止运动,点 p 也随之停止设点 p. q 运动的时间为 t秒（ t 0）b（ 1）当