[理学]张量分析第四章ppt课件

1、第四章 张量函数和张量分析在前面三章中主要对集合的代数构造进展了讨论，并由多重线性映射引入了张量空间。而第三章中对张量空间的各元素张量间的各种代数运算加法、数乘、张量积、点积等作了详尽的分析。但这些代数运算所构成的张量空间的代数构造仍无法对张量空间点列的收敛性、张量空间与张量空间的映射及映射的延续性等进展描画。本章的主要内容旨在处理上述问题。 4.1 张量函数设V是三维Euclid矢量空。o; i1, i2, i3是V的一组规范正交坐标系。设Pr是由V张成的r 阶张量空间。且对恣意r 阶张量A Pr ，有： )3 , 2 , 1,(;111riiiiiiArriiA假设对恣意的A Pr，存在二

2、组实数： )3 , 2 , 1,(;,111riiiiiirr使得：)3 , 2 , 1,(;1111riiiiiiiiArrr4.1-1 那么 )3 , 2 , 1,(11riiiiAr的满足4.1-1的每一组3 r个取值确定一个A。而满足4.1-1的一切A构成Pr的一个子集合，且称这一子集合为Pr的一个闭集假设等号不成立那么称为开集。记为P。设 P是 Pr张量空间的开集。按第一章第四节的标量积可以定义A,B P的标量积： 111,;( ,1,2,3)rriiiirABii A BAB4.1-1 容易证明 ,具有以下性质： i对称性： ,;,rP A BB AAAABBB4.1-2 ii线性

3、性： ,;(,),rP A BCA BA CABCABAA BCC4.1-3 iii正定性： ,0,0;0,0 A AAAAA4.1-4 对恣意Pr中的张量 A, B P 。由4.1-1式可引入张量的模和两张量之间的间隔。其定义如下： 12| (); AAAAPPdBABABA,;|),(4.1-5 4.1-6 一、张量函数一、张量函数设V是三维 Euclid 矢量空间，o; i1, i2, i3是V 的一组规范正交坐标系。Pr、Ps是由o; i1, i2, i3基底构成的 r 阶和 s 阶张量空间。假设存在映射 F 使得： )(:FF4.1-7 F( )是是r阶张量自变量的阶张量自变量的s阶

4、张量值函数。张量函数的自变阶张量值函数。张量函数的自变量取值的开集 ( 或闭集 ) PPr 的 P 称为张量函数的定义域；张量函数 F( )的一切定义域中 的取值集合s阶张量集合称为张量函数的值域。 当r2, s2时有：1r=0, s=0时： 记为记为x；F记为记为f。那么：。那么： )(:xfxf4.1-8a f (x)称为零阶张量自变量的零阶张量值函数。f (x)就是一元实函数。2r=1，s=0时： 记为u；F记为f。那么： )(:uuff4.1-8b F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是矢量自变量的标量值函数。3r=1，s=1时： 记为u，F记为f，那么： )(

5、:ufuf4.1-8c F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是是矢量自变量的矢量值函数。 4r=2，s=0时： 记为A；F记为F。那么： )(:AAFF4.1-8d F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是二阶张量自变量的标量值函数。 5r=2，s=2时： 记为A；F记为F。那么： )(:AFAF4.1-8e F(A)F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。 例1： 张量函数例子。 a设矢量a是V中恣意给定的矢量；x是V中的矢量。那么： iixa xa式中f ( )取为

6、法那么a ( ) 。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自变量的标量值函数。函数可写为：xax)(f而对同一个a及变矢量x： kjiijkxaeixa式中f ( )取为法那么a ( ) 。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自变量的矢量值函数。函数可写为： xaxf)(b对恣意位置矢量x所标定的物体中的点。该点的应力形状可由应力张量 表示。对确定的受力物体，同一点不同截面上的应力可由该截面的外法线矢量和应力张量表示。且： np式中n是截面的单位外法线；是二阶应力张量；p是外法线为n截面上的应力矢量 。显然物体受力是确定的 ，而对同一位置矢量标定的点， 是不变的常二阶张量。因此

7、pn的函数不同截面上的应力矢量不同。即：的函数不同截面上的应力矢量不同。即： ( )():pp n npn nc第三章例23给出的： I)(1trEE式中应变二阶张量 = ( )是应力二阶张量的函数。即是二阶张量自变量的二阶张量值函数。 二、张量函数的延续性二、张量函数的延续性为了引入张量函数的延续性，首先回想一元实函数的延续性定义。设一元实函数为 f (x) 。假设对恣意给定的正数，总存在着一个正数 。使得当一切x满足： |0 xx时，对应的函数都有： | )()(|0 xfxf那么称f (x)在x0点延续。该定义是经过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) f (x0) | 确

8、定了f (x) 在 x0 点的延续性。由实函数实际 | x - x0 |和| f (x) f (x0) |按间隔的概念分别代表了实数x和x0 离概念的引入使得一元实函数的延续性可以推行到张量函的间隔及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的间隔。正是距数的延续性定义。 设张量函数为 F (A) 。假设对恣意给定的正数 ，总存在着一个正数 。使得当一切的自变量张量 A 满足： |0AA时，对应的张量函数都有：0|( )()|F AF A4.1-9 那么称 F( A ) 在 A0 点延续。对张量函数 F ( A )，假设4.1-9式成立，那么该式也可写成极限的方式： 00lim( )()A

9、AF AF A4.1-10 这一表达式中：rrrriiiiiiiiAAiiAiiA1111)(00表示： 1101()( ,1,2,3)rriiiirAAii在V 中的坐标系o; i1, i2, i3下，张量函数 F ( A )可表示为： ssiiiiFiiAAF11)()(将这一表示方式代入4.1-10式得：11110001100lim( )lim( )lim( )()()ssssssiiiiiiiiAAAAAAiiiiFFFF AA iiAiiA iiF A这阐明张量函数F ( A ) 的每一个分量函数分量函数本身是 r 阶张量自变量的标量值函数 )3 , 2 , 1,(),(11siii

10、iAFs在 A0 点是延续函数。那么 F ( A ) 的 A0 点是延续函数。 关于张量函数延续性的更深化的实际分析主要是针对函数在 A0 能否延续以及在 A0 点不延续时的性质等。而本章的一切分析总是假定张量函数 F ( A )在自变量的定义域的每一点都延续的。即以为张量函数都是自变量张量的延续函数。因此本节中不讨论张量的不延续性的问题。4.2 各向同性张量函数对Pr ,作为 r 个V 中矢量的张量积的线性表示。假设对 中线性表示的每一个由中线性表示的每一个由 r 个个V 中矢量张量积的项都作用中矢量张量积的项都作用恣意给定的正交二阶张量 Q ，而不发生变化。那么称是各向同性的 。当作为 s

11、 阶张量自变量的函数是各向同性的。那么称 是各向同性张量函数。对恣意给定的二阶正交张量 Q。记： )()(11rriiiiQiQiQ4.2-1 那么 是各向同性的，那么： Q 假设是 张量函数。 ( )是各向同性的，那么定义： )(QQ且称 ( )是s阶张量自变量的r阶张量值各向同性函数。简称 ( )是各向同性张量函数。 例2： i ii iii )()(uQfufQ*)()(QAQA FF*)(*)(QAQFQAFQ其中u、A是矢量和二阶张量；f、F、F是矢量值、标量值和二阶张量值函数。 证：i( )( );iiQff uu iuQ u fQiQufiiQf)(由4.2-2式得：)(uQff

12、QiiFFQ坐标变换不改动标量 *)()(QAQiQiQiiAjiijQjiijQAA *)()(QAQA FFiii *)()()(QFQiQiQiiAFjiijQjiijQFF*QAQAQ *)(*QAQFQFQ例3：试证明：1()tr IEE是各向同性函数。证： 1*(tr )*1*(tr )*1*(tr )EEEEEE Q QQQQ IQQ Q Q I QQ Q I )(QQ()(*)1*tr(*)1*tr(*)1*(tr )QEEEEEE Q QQ QQ QIQ Q QQ IQ Q I是各向同性张量函数。 例4：对恣意二阶张量A。试证明：i IAAAAAAAF)()()()(3221

13、3III是各向同性张量函数。ii 0)()()(32213IAAAAAAIII该式也称为Cayley-Hamilton定理。4.2-3 iii 12223233( )1( )()()2111( )()() ()()623ItrItrtrItrtrtrtrAAAAAAAAAA4.2-4 证：i IAQAQAQAQAQAQQIQAQAQAQAQAQAQQFQ)(*)(*)()(*)(*)(*)(*)()(*)(*3221332213IIIIII3212312332123()(*)( )(*)( )*( )*( )*( )*( )*( )*( )*( )QIIIIIIIIIF AQ A QA Q A

14、 QA Q A QA IQ A QQ A QQ A QA Q A QQ A QA Q A QA IQ AQA Q AQA Q A QA I )(*QAFQFQF(A)是各向同性张量函数。是各向同性张量函数。ii 设A的特征值为，特征矢量为u o。那么： 223223()()()()A uuAuAA uAuuAuAAuAuu3232123123( )( )( )( )( )( )IIIIIIAuA AuA A uA I uAAA u A的特征方程 0)()()(32213AAAIII 3232123123( )( )( )( )( )( ) ( )IIIIIIAuA AuA A uA I uAA

15、 AA AA IuF Auo又 u0 OAF)(iii )()()()()()(1cbacAbacbAacbaAAI)()()()()()()()(2cbacAbAacAbaAcbAaAAI取 jiijAiiAicibia,321那么： 112233;ij i jiiij i jiiij i jiiAAAAAA A ai iiiA bi iiiA ci iii1)(cba 1123232311 12322 12333 123111213( )()()()()()()iiiiiiiiIAAAAAAAAAtrAiiiiiiiiiiiiiiiiiiA212312312312313223 11122

16、1232112 2132233 1233223 )() ()() ()()()()()()()()()1(2222iijjiijjiijjijijijijijijIAAAAAAA AA AA AA AA AA AA AA AA AAiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii2233122131133223211223311112222333312213113322322221)(222)21 ()222) 2111 () ()*: ()222ijjiA AA AA AA AAAAA AA AA AA AA AA AtrA AtrtrtrAAAAAA将

17、I1(A) 、 I2(A)代入4.2-3式得： 322231() ()( )2trtrtrIAA AAAAA IO两边取迹得：322231()() ()3 ( )02trtrtrtrtrtrIAAAAAAA 3323111( )()()362IAtrtrtrtrAAAA一、对称二阶张量自变量标量值各向同性函数一、对称二阶张量自变量标量值各向同性函数定理：自变量是二阶对称张量定理：自变量是二阶对称张量 A的标量值函数的标量值函数F (A)是各向是各向同性的。当且仅当同性的。当且仅当F (A)可表示为可表示为 A的不变量的不变量 I1(A)，I2(A)，I3(A)的函数：的函数： 123( )(

18、( ), ( ), ( )FF IIIAAAA4.2-5 证：设A的特征值为1、 2 、 3，对应的特征矢量为r1、r2、r3。那么由谱表示定理。那么由谱表示定理3.4-14式：式： 333222111rrrrrrA假设有相等的特征值时，总存在三个相互正交的三个特征方向。此时取r1 r2 r3。 ),;,()(321321rrrAFF F (A) 是各向同性函数。对恣意 Q ：123123(*)( )(,; ,)FFF Q A QAr r r对A有：11 122 233 3;A rrA rrA rr2111222333(*);(*);(*)xQ AQQrQ rQ AQQrQ rQ AQQrQ

19、r 123123123123(*)(,;,)(,; ,)FFF Q A QQ r Q r Q rr r r由于Q的恣意性。总存在Q使得：112233;Q rrQ rrQ rr因此假设要：),;,(),;,(321321321321rQrQrQrrrFF等式左边和等式右边的 321321,;,rQrQrQrrr或者说左边F只是1、2 、3的函数，而与 r1、r2 、r3不是F的自变量。无关;右边的F也只是1,2 ,3的函数，而与 321,rQrQrQ无关。否那么假设左边F是r1、 r2 、 r3的函数，右边是 12,Q r Q r3Q r等式的含义是当给定 r1、 r2 、 r3和 的函数。那么

20、等式两边的函数是两个不同的函数。此时321,rQrQrQ的函数的函数值相等。因此假设要两边是同一个函数，那么F( ，两个不同A)只能是只能是1、 2 、 3的函数。即：的函数。即： ),()(321FFA又 1、 2 、 3是方程： 0)()()(31213AAAIII的根。 111232212333123( ( ),( ),( )( ( ),( ),( )( ( ),( ),( )IIIIIIIIIAAAAAAAAA123123( )(,)( ( ),( ),( )FFF III AAAA另一方面 )(),(),(321AAAIII是各向同性函数见习题4.5。当： )(),(),()(321

21、AAAAIIIFF时F(A)是各向同性函数。因此最后得F(A)是各向同性函数时，当且仅当：)(),(),()(321AAAAIIIFF该当留意的是：123123( )(,)( ( ),( ),( )FFF III AAAA中F和 F是同一函数的不同变量表示。因此F和 F的函数方式能够不同。如二元实函数： 的函数形22( , );3,4f x yxxyxstyt那么：2222223( , )( , )(3)(3)(4 )96124f x yxxyf s tststtssttstt证毕。例5： 设A=A*。试证明： AAA:)(F是各向同性函数。证： :*:()trA AAAA A由4.2-2式中

22、第一和第二式有：2212() ( )2( )trtrIIA AAAA )(2)()(221AAAIIFF(A)是各向同性函数。 证毕。 二、对称二阶张量自变量二阶张量值各向同性函数二、对称二阶张量自变量二阶张量值各向同性函数引理引理1：假设：假设F(A)是二阶对称张量是二阶对称张量A的二阶张量值各向同性函的二阶张量值各向同性函数。那么数。那么F(A)与与A有一样的单位特征矢量。有一样的单位特征矢量。 证：设A的单位特征矢量为r，其对应的特征值为。那么： rrAAr由r构造二阶张量：IrrR 2对恣意 u V ：()() (2) (2)4()()()4()()R u R urrIurrIur r

23、 r u r ur u r uu uu u因此由r构造的R是正交二阶张量。当F(A)是各向同性函数时，对恣意正交二阶张量Q有： *)()(QAQFQAFQ当 Q = R时 ：*)(*)(RARFRAFR *(2)(2)(2) (2)2 () (2)4()22()422() Q A QrrIArrIrr AI ArrIrrArrIrr r rrI rA rrA Irrrrr rAA ( )*(*)( )R F ARF R A RF A又 rRrrRa ( )*( );( )( )( )( );( )( )R F ARF AR F AF ARR F ArF AR rRF ArF Arb 同理：(

24、)*( );( )( ),(*)( )( );( ) ( )R F ARF AF ARR F ARRr F ARr R F Ar F ARr F Ac 由abc可知r、F(A) r 、r F(A)都是二阶张量R的特征矢量。同时的特征矢量。同时r还是二阶对称张量还是二阶对称张量 A的特征矢量。由的特征矢量。由于 r、F(A) r 、r F(A) 是同一个矢量方向，因此这三个矢量相差一个实数乘积。或者说 r、F(A) r 、r F(A) 是具有一样方向的长度不同的三个矢量。即： F;)(rAFrF;)(rrAFd e 将第一式两边右点乘r，第二式两边左点乘r。两式相减得：( )( )();0()

25、r F Arr F Arr rr r将这一结论代入d，e式得：( );( )r F ArF Arr这阐明F(A)所具有的左、右特征矢量r与A所具有的左、右特征矢量r一样。证毕。引理引理2：假设：假设A是二阶张量。当：是二阶张量。当： i ii iii 时：I, A, A2是线性无关二阶张量组； 321321321时：I, A是线性无关二阶张量组； 时：I是线性无关二阶张量组。 证：i 假设I, A, A2是线性无关组。由线性无关定义可知，只有当1=2=3= 0时： OAAI2321设1、2、3对应的特征矢量为r1, r2, r3。那么： orAAIorAAIorAAI3232122321123

26、21)()()(f 11 122 233 3;A rrA rrA rr22111 1112222222333()()()();()ArAA rArrArrArr 将 2(1,2,3)iiiA rAr、；代入f式得： 0)(0)(0)(323231322221321211g 这是关于1、2、3的齐次线性代数方程组。其系数行列 式： 211222222222332132132233322313121 1322311313231211()1()()() ()() () ()1()()()()()() ()()() 3210; 方程组g的解为：0321这阐明I, A, A2是线性无关组。ii I, A

27、是线性无关组。那么当 1 = 2 = 0 时： OAI21取 321,对应的特征矢量为r1, r2。那么： orAIorAI221121)()(00221211h ; 121211 120; 120方程h的解为：这阐明I, A是线性无关组。iii 取 321对应的特征矢量为r。显然有： orI ; or 0这阐明I是线性无关组。证毕。定理：二阶对称张量自变量的二阶张量值函数定理：二阶对称张量自变量的二阶张量值函数F(A)是各向是各向同性的。当且仅当：同性的。当且仅当： i 321时： 2210)()()()(AAAAIAAF4.2-6 ii 321时： AAIAAF)()()(104.2-7

28、iii 321时： IAAF)()(04.2-8 其中1、2、3是A的特征值； 012( )( )( )AAA、称张量自变量主不变量的标量值函数。 是二阶对证：当F(A)表示为4.2-6的方式时： 201222( )( )*( )*( )*;*(*) Q F A QA Q I QA Q A QA Q AQQ I QIQ AQQ A I A QQ A QQ A QQ A Q 20122012( )*( )( )*( )(*)()(*)(*)*(*)(*)Q F A QA IA Q A QA Q A QF Q A QQ A QIQ A QQ A QQ A QQ A Q是A的主不变量 012( )(

29、 )( )AAA、123( )( )( )IIIAAA、的函数。即： 001231112322123( )( ( ),( ),( )( )( ( ),( ),( )( )( ( ),( ),( )IIIIIIIIIAAAAAAAAAAAA由习题4.5可得：123123(*)( (*),(*),(*)( ( ),( ),( );1,2,3iiiIIIIIIiQ A QQ A QQ A QQ A QAAA 2210*)(*)()(*)(QAQAQAQAIAQAQF显然有：*)(*)(QAQFQAFQ这阐明当F(A)表示为4.2-6式方式时是各向同性函数。同理可得F(A)表示为4.2-7和4.2-8

30、式方式时是各向同性函数。假设F(A)是各向性函数；A是对称二阶张量。当A的特征值 321时，由引理1可知F(A)与A有一样的特征矢量r1, r2, r3。且：1 1 12 2 23 3 31 1 12 2 23 3 3;( )Arrr rr rF Arrr rr r由引理2可知I, A, A2是线性无关组。因此：333222111rrrrrr作为由A的特征矢量r1,r2,r3张量积构成的二阶张量可由线性无关的二张量组I, A, A2线性表示。即：1 1 12 2 23 3 3012( )( )( )( )F Arrr rr rA IA AA A A该式即为4.2-6式。同理可得4.2-7和4.

31、2-8式。 证毕。例6：试求二阶对称张量自变量的各向同性二阶张量值线性函数。 表达式解： F(A)是各向同性张量函数。由是各向同性张量函数。由4.2-6式：式： 2210)()()()(AAAAIAAF假设F(A)是线性张量函数。那么：21( )0;( )AA是A的线性标量值函数，将用A的主不变量表示为： )(0A)(),(),()(32100AAAAIII由4.2-4式得：2300( )(,)trtrtrAAAA是A的线性标量值函数只能够取为： )(0A0( )trAA F(A)是线性各向同性二阶张量值函数。那么：( )();trFF AA IA、4.2-9 例7：设A是四阶各向同性张量；1

32、1 1 122 2 233 3 3;mtri ii ii i假设m 0 ，且： 0:Af2;():()0mmIAI试求 f = 0 的分量表达式。 解： 222():():mmmmmIAI A A II A I A I :;:;:0A IOI AOI A I又A是各向同性四阶张量由3.5-7式得：lkjijkiljlikklijiiiiA)( :():()()32(32 )320ijklikjliljki j k lm mijmmimjmimjmi jij i jij i j A Ii i i ii ii ii ii iIO容易验证当3+2=0时： :;:0I AOI A I因此四阶张量A可表

33、示为：lkjijkiljkikklijiiiiA)( 322111 1 122 2 232 2 211111122222233333311223311 1 11:():23():21 23() 23() 23() :2 ()3(ijklikjliljkij k lkllklkk lkllklkk lkllklkk l A i ii ii ii i i ii ii ii iIi i22222 2 233 3 31122331122332222222112233112233112222333311112233222112222333311) : () :3()3()3() ()3()3()3()

34、2222()2()2() ()2()() i ii iI 最后得：22222112222333311:()()() 0f A 或： 2211332112222211)()()(4.3 张量函数的导数和微分在一元实函数分析中，实函数 f (x)的导数经过极限： )()()(lim0 xfxxfxxfx定义。假设这个极限存在，那么称f(x)在x点可导。且记极限值为)(xf 数时，由于张量函数的自变量是张量，且张量的除法是没有意义的。因此对张量函数的导数不能采用上述极限的形式。另一方面在一元实函数的导数定义中，自变量的改动只需两种变化趋势。即x0和 x0 , 而对张量函数，即使对自变量是矢量的情况,

35、 自变量u的改动量可以是恣意方向的改动。因此在张量函数的导数定义中必需可以反映一切自变量改动包括添加、减少和方向的不同的情况。为此将一元实函数的导数定义方式等价地变成为： 。当将一元实函数的导数概念推行到普通张量函 )()()()(xOxxfxfxxf式中O(x )表示x的高阶小量，当x趋于零时O(x )趋于零。这一表达式中函数的变化量可看作是两部分。一部分是x的线性部分，另一部分是x的高阶小量部分非非线性部分。同时按这种方式定义的导数不需求进展除法运算。正是这一特点，张量函数的导数可以看作是一元实函数导数的这一方式定义的推行。 商法那么：设商法那么：设Ps,Pr。假设。假设()是是 r 阶张

36、量自变量的阶张量自变量的S 阶张量值线性函数。那么存在独一的Ps+r ，使得： ( )( );( )( )rr 4.3-1 证：仅给出左点乘证明 1111111111( )()( )()srssssssrsrrii jjiijjkkkkjjii jjii ii iiiiii而()是线性函数。因此有： 11111111()()()()rrrrrsrrjjjjjjjjjjiijjii ii iiiiiia b ab两式比较可得：)(111111rsssrsjjiiiiiijjiiiiiiii这阐明当4.3-2式成立或 满足该式时，4.3-1第一式成立。 4.3-2式给出了确实定表达式。即的分量由作

37、用在Pr张量空间基底组的每一个基底上的值确定。 是满足4.1-1第一式的另一r+s阶张量。那么： 设)()(r将该式与4.3-1第一式相减得：)()()()(rr由于张量的r点乘是线性运算，见3.1-8式。因此有：O)(r O 存在的独一性得证。存在的独一性得证。 证毕。4.3-2 例8： 设、是二阶张量。 ()是的二阶张量值线性函数。假设实现基底变换： 1 11 21 32 12 22 33 13 23 31 12 13 11 22 23 21 32 33 3,i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i

38、 i i试求()的 r 点乘表示式中的 。 解：由4.3-2式得： ()()ijkl ijij ijk lk li ii i i i i i 1 11 1111111 1 11211 1 21311 1 32111 2 12211 2 22311 2 331113 13211 3 23311 3 3()ijij i ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii i 1111121133111;0 1 22 1121112 1 11212 1 21312 1 32112 2 12212 2 22312 2 331123 13212 3 23312 3 3()ijij i ii

39、 ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii i 2112111233121;0依次可由：1 33 12 11 22 22 22 33 23 11 33 22 33 33 3();();()();();()() i ii i i ii i i ii i i ii i i ii i i ii i i ii i推得：31131221222232231331233232231;1;11;1;11其他 )3 , 2 , 1,(lkjiijkl均为零。最后得： 3333233213313223222212213113211211113333333323322332133113313223

40、32232222222212211221311331132112211211111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii设F是s阶张量；A是r阶张量；V是A的增量。那么按一元实函数导数定义推行有： ()( )( )(|)oAF A VF AL VV4.3-3 式中LA(V )是V的线性部分。o(| V |)是V的非线性部分。当| V |0时，o(| V |)0。定义4.3-3式中LA(V )当| V |0时，是r阶张量自变量A的s阶张量值函数F在A处沿V方向的微分。且记为：( )(

41、;)dAL VF A V4.3-4 由于LA(V )是r阶张量自变量V 的s阶张量值LA的线性函数。由商法那么得：VVLA)()(r假设记：( )ddF AA那么： ( )( ;)( )rdddF AF A VVA4.3-5 ( )()( )( )(|)rdodF AF AVF AVVA4.3-6 式中 ( )ddF AA称为张量函数F(A)在A处的导数。 定理：张量函数定理：张量函数F(A)在在A处的导数假设存在，那么处的导数假设存在，那么 d ()dF AA是独一的。并且对恣意VPr增量有： 0rsd ()d()(s)ddsF AVF AVA4.3-7 证：假设 d ()dAF ALA存在

42、，由于LA 是线性张量函数，由商法那么的独一性可知，F(A)在A处的导数是独一的。 由4.3-6得将V用sV代换 000( )( )()( )(|)( )1( )()( )(|)()( )lim() )()limrrsstdssosddsosdsssstsstF AVF AVF AVAF AVF AVF AVAF AVF AF AVF AV000()00() )()lim()( )lim()( )lim( )()tstssstssstttssddsdsdsA BAVA BB AF AVF AVF BVF BF BVF BF BF AV证毕。例9：设V 中规范正交坐标系为o; i1, i2, i

43、3。由o; i1, i2, i3构成的3 , 2 , 1,;11siiiisiiPs和Pr张量空间基底为和3 , 2 , 1,;11rjjjjrii。假设 ssiiiiFiiF1111rrjjjjAAii，。试证明： rsrsjjiijjiiAFiiiiAAF1111d)(d4.4-8 证：由4.3-4式： VAAFVLA)(d)(d)(r LA( V )是 r阶张量自变量的 s阶张量值线性函数。由商法那么可知 ( )ddF AA是 r + s 阶张量。 1111( )srsrii jjiijjddF Aii iiA又 srsiijjiiAFiiAF111)()(11111111( )( )s

44、rsrsrsrii jjii jjiijjiijjdddFdFAF AAAA最后得： 1111( )ssrriiiijjjjFddAF Aii iiA例10：设F(A)是二阶张量自变量的标量值各向同性函数。试证明函数F(A)的微分和导数是各向同性函数。证： ( ):( ;)dFdFdAVA VA 00( ):(*;*)1lim(*)(*)1lim()*)(*)ssdFdFdFsFsFsFsAVQ A QQ V QAQ A QQ V QQ A QQAVQQ A Q又 )(*)(AQAQFFF(A)是各向同性函数 。 0( )1:lim()( )( ;)sQdFFsFdFdsAVAVAA VA即

45、dF (A;V )是各向同性函数。 ( )( )ijijdFFdAAAi iA ( )(*):(*)*(*)(*)*(*)*()*(*)*(*)*(*)*:dFdFdddFtrddFtrddFtrddFtrddFdAQ A QVQ V QAAQ A QQ V QAQ A QQQ VAQ A QQQ VAQ A QQQVAQ A QQQVA由于V的恣意性。最后得：( )(*)*dFdFddAQ A QQQAA( )(*)*dFdFddAQ A QQQAA即 ( )dFdAA是各向同性函数。 例11：计算()trA A的导数和微分。 解：22020200(;)() :() :() :()2) :(

46、)()2 ()2 *:ssssddtrtrsdsdsdsdsssdsstrtr(trA VAVIAVIA AA VV AV VIA VV AV VIA VV AA VV AA VAV由于V的恣意性：2) 2*d tr(dAAA例12： 试求I1(A)、I2(A)、 I3(A)的导数。 解： 223231231111( );( ) ()() ;( )()()()2623ItrItrtrItrtrtrtrAAAAAAAAAA1) ()*rrd tr(rdAAA 1222133323222()1()()21d()22*2*111()()6231)1)1)1)()22231()23dId trdddI

47、dtrtrddtrtrdIdIdtrtr tr()trddd(trd(trdtr(dtr(trtr(trddddtrAIAAAAAAAAAAIAAAAAAAAAAAAAAAAAAA222211()()* ()*2* ()*trtrIIIAIA AAIAA例13： 试求 F (A) = det A的导数。 解：00det( ;)() () ():det()()ssdddssssddsdsA VAVaAVbAVcVAVAab c22() () ()() () ()() () ()()()() ()() ()() () ()() () ()() () ()(sssssssssssss AVaAVbA

48、VcA aV aA bV bA cV cA aV aA bA cA bV cV bA cV bV cA aA bA cA aA bV cA aV bA c2232) () ()() () ()() () ()() () ()() () ()() () ()() () ()() () ()() () ()() (ssssssA aV bV cV aA bA cV aA bV cV aV bA cV aV bV cA aA bA cA aA bA cA aV bA cV aA bA cA a3) ()() () ()() () ()() () ()sV bV cV aA bV cV aV bA c

49、V aV bV c 0() () ()()() () ()() ()() () ()()sdsssdsAVaAVbAVcab cA aA bV cV bA cV aA bA cab c() () ()()() ()() () ()()V cA aA bV bA cA aV aA bA cab c由第三章例8有：() ()(det)* ()() ()(det)* ()() ()(det)* ()A aA bA AabA cA aA AcaA bA cA Ab c代入上式得：det( ;)(det)() * ()() * ()() * ()()(det):* ()* ()* () ()(det)*

50、 ()()() :()ddA VAAV cAabV bAcaV aAb cab cAVAab cAca bAb c aab cAAab cca bb c aVab c a,b,c是非共面矢量。矢量u都可由a,b,c线性表示。即：cbau321uuuucbaacbcacbbacbabaccbacbbacacbaccbabcbaaacbubacucbauacbbaccbau)()()()()()()()()()()()()()()()(321321321uuuuuuuuu ()()() ()uab cc a bb c auab c()()() ()ab cca bb c aIab c将该式代入 d

51、et( ;)ddA VA表达式中得： det( ;)(det)(*):(det)*:ddA VA AIVA AVA由于V的恣意性：det(det)*ddAA AA4.3-10 4.3-9 4.4 Leibniz法那么和链式法那么在例12中求 2ddIA量函数，(trA)2看作是标量函数的平方函数进展求导运算，的过程中对(trA)2 求导时，将trA看作一个标并利用一元函数地求导法那么： 2)()(xfxg22( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )dg xd f xd f xd f xd f xf xdxdxd f xdxdx因此(trA)2作为二阶张量自变量的标量值函数，(t

52、rA)2对A的导数运算为：22()()2()dtrdtrd trtrdd trdAAAA IAAA这一求导运算在一元实函数中就是两函数的积函数求导运算。当将一元实函数推行到普通张量函数时，两个张量函数的积函数求导运算由推行的Leibniz法那么给出。另一方面与一元实函数的复合函数求导运算相对应的张量复合函数的求导运算那么由推行的链式法那么给出。本节经过两个定理给出这两个法那么。设F、G、A分别是r、s、p阶张量。假设线性映射 使得： 121211122122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )abababF AF AG AGAF AG AF AGAF AG

53、AF AGA那么称映射 是张量函数的乘积运算。容易验证 函数间的张量积 ; r点乘 ; 数量积时都是张量函数间的乘积取为张量运算这一点与一元实函数不同。一元实函数的乘积运算只需一种。即函数的数量积。 定理：定理：Leibniz法那么法那么 设F , G , A分别是r、s、p阶张量。假设F (A)，G (A)在A处可微。那么 )()()(AGAFAH在A处亦可微。且： ( )( )( )( ;)( )( )( )( )( )pppdddddddH AF AG AH A VVVG AF AVAAA4.4-1 证：1111111111100000( ;)()()()()()()()()() ()(

54、)()(rrssrsrsrsssiiiijjjjsiijjiijjsiijjisddsdsdssdsdFsGsdsdFsGsdsdFsGsds H A VH AVF AVG AVAV iiAViiAVAViiiiAVAVi1111111111100000) ()()()()()() ()()( )( )()rsrsrsrsrsrsijjiijjiijjiijjssssiijjiijjsddFsGsFsGsdsdsddFsGFGsdsdsiiiAVAVAVAViiiiAVAAAV111111111100000() ()()()( )()( ) ()()()()( )( )()( )rsrrssr

55、rssiijjsiiiijjjjiiiijjjjssssddFsGFGsdsdsddssdsdsddiiiiAViiA iiAiiAViiF AVG AF AG AVF A( )( )( )( )( )ppddG AVG AF AVAA例14： 设 x F 。试求 f = ( x ) u ( x )的微分。 解：由4.4-2式式中V 取 d x：( )( ) ( )( )dxdxdd xxxd xd xd xufuuu例15：解：设A是二阶张量。求 的微分。 rA AAA)(1rr 1111()(;):():(;):rrrrrddddddddAAAA VVAAVAAAAA VAAVA4.4-2

56、 当r = 0时：由张量微分定义4.3-7式有：( ;)dI A VO(O是二阶零张量。 )当r = 1时： 11111111111;,0;,rrrrrriiiijjjjiirrrrjjAddAAijijijijAAii iiA，或 )()(1111rrrrjijijjiiAA; 2rddAIA()4.4-3 式中 I 是 2r 阶单位张量。当 A是二阶张量时： JAAdd将其代入4.4-2式：00( ;)( ;)( :):ddA A VAA VAAJ VI J VJ V当r = -1时，由4.4-2式： ):();();(11VJAVAAAVAArrrdd1011( ;)( ;)(:)(:)

57、dd AA VAAA VAJ VAJ V11111( ;)(:)():d AA VAJ VAAJ AV111AJAAAdd4.4-4 定理：链式法那么定理：链式法那么 设A 、 F、G 分别是 r、s、t 阶张量。且 F、G是A的函数，亦在 A处可微。那么复合函数： )()(AFGAH在 A处可微。且： AAFAFAGAHdddddds)()()()(4.4-5 证： ()( )( )()rdodHH AUH AUUAa ()()( )H AUG F AUG F AV令：( )( )()rdodF AUUVA那么：( )()( )( )()( )rdodF AF AUF AUUF AVA d

58、()()( )( )( )()dd ()d ( )( )( )( )()()ddssroooG FH AUG F AVG F AVVFG FF AH AUUVFAd ()d ( )d ()( )( )( )( ) ()()dddsrsooG FF AG FH AUUVFAF当 0;0UV时： UAFFGAHUAH)()()()(rsddddb a、b两式相减得： AFFGAHdddddds)(证毕。例16： 是标量自变量二阶张量值函数。计算 假设)(tA)(*tA的导数。 解： *)()()(BABA 是线性运算。或： *)(*)()(AA这里的法那么就是转置运算*。且*运算是线性运算。由商法

59、那么，*)()(AA作为二阶张量自变量的二阶张量值线性函数，存在四阶常张量使得： *( )( ): AA A* ( )( )( )(:):(:):( )dtddtddddtddtdddAAA AAAAAAAAA JA AA其中 ( )dtdtAA最后得：*)()(AAdttd4.4-6 例17： 假设A-1 存在，试计算 det (A (t)对 t 的导数。 解：det( )det( )det:dtddtddtddtdAAAAAAA *det(det)ddAA AA *det( )(det):dtdtAA AA4.4-7 4.5 张量场绝对微分三维Euclid矢量空间A，假设给定规范正交坐标系

60、 o;i1,i2,i3 。假设位置矢量：1 12 23 3i ixxxxxiiii处都有一同类型张量A(x) ，那么A称为张量场。 A(x)称为张 量场A在x点的值。本质上张量场A(x)是位置矢量自变量的张量值函数。由于自变量是位置矢量，因此张量场的微分同坐标的微分亲密相关。本节仅就具有规范正交坐标系o ;i1,i2,i3的矢量空间 V张成的张量空间的张量场绝对微分进 分析。一、张量场的绝对微分和导数梯度一、张量场的绝对微分和导数梯度设A是r阶张量， x是位置矢量。A(x)在VU x的区域U内处处延续。那么A(x)在x处沿d x = d xi ii 方向的微分为：见4.3-5式。 xxxAxx