2018届高三高考数学中求轨迹的常见方法

1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制 说明”五个基本步骤求轨迹方程 , 称之直接法 .例 1 已知点 A( 2,0)、 B(3,0).动点 P(x,y)满足 PA PB x2，则点 P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解： PA(2 x, y),PB(3 x,y)， PA PB ( 2x)(3 x) y22 xx62 y. 由条件， x2x62 yx2 ，整理得 y2 x6，此即点 P的轨迹方程，所以 P 的轨迹为抛物线，选D.二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭

2、圆、双曲线、抛物线等)的定义或 特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程 .例 2 已知 ABC 中， A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a,c,b 依次构成等差数列，且a c b， AB 2 ，求顶点 C 的轨迹方程 . 解：如右图，以直线 AB为 x轴，线段 AB的中点为原 点建立直角坐标系 . 由题意， a,c,b 构成等差数列， 2c a即|CA| |CB| 2| AB| 4，又 CB CA， C的轨迹为椭圆的左半部分 .在此椭圆中， a 2,c 1，22 b3 ， 故 C 的轨迹方程为 x y 1(x 0,x 2).43三、代入法当题目中有多个动点时，将

3、其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x, y 来表示，再代入到其他动点要满 足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点 P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法 .例 3 如图，从双曲线 C :x2 y2 1上一点 Q 引直线l:x y 2的垂线，垂足为 N ，求线段 QN的中点 P的轨迹方程解：设 P(x,y)，Q(x1,y1)，则 N(2x x1,2y y1). N 在直线 l 上，2xx12y y12.又 PN l 得 yy11,即 x yy1x10.x x1联解得x1y13x y 22. 又点 Q 在双曲线 C 上，3y x 22(3x y 2)2 (3y x 2)2 1 ，化简整

4、理得： 22222x2 2y2 2x 2y 1 0 ，此即动点 P的轨迹方程四、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而 得到动点的轨迹方程 .例4 已知点 A( 3,2)、 B(1, 4)，过 A 、 B作两条互相垂直的直线 l1和l2，求l1和l2的交点 M 的轨迹 方程 .解：由平面几何知识可知，当 ABM 为直角三角形时，点 M 的轨迹是以 AB 为直径的圆 .此圆的圆心1 即为 AB 的中点 ( 1, 1) ，半径为 1 AB252 2252 ，方程为 (x 1)(y 1)213. 故 M 的轨迹方程为22(x 1)2 (y 1

5、)2 13.五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数)，使所求动点的横、纵坐标 x, y 间建立起联系，然后再从所 求式子中消去参数，得到 x,y 间的直接关系式，即得到所求轨迹方程 .例 5 过抛物线 y22px( p 0)的顶点 O作两条互相垂直的弦OA、 OB ，求弦 AB的中点 M 的轨迹方程 .解：设M (x,y) ，直线 OA的斜率为 k(k10) ，则直线 OB的斜率为 k1.直线 OA 的方程为 y kx，y kx由2 解得 y2 2px2pk 2 ，即2p kA(2k2p,2kp)，同理可得 B(2pk2, 2pk) .由中点坐标公式，pk2pkpk2pk，消去 k，得

6、 y2 p(x 2 p) ，此即点 M 的轨迹方程 .可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消例 6 如右图，垂直于 x 轴的直线交双曲线2x2 a六、交轨法 求两曲线的交点轨迹时， 去参数来得到轨迹方程，称之交轨法M、 N两点， A1 , A2为双曲线的左、右顶点，求直线A2N 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状 .解：设 P(x,y)及M(x1,y1),N(x1, y1)，又 A1( a,0),A2(a,0)，可得直线 A1M 的方程为 yy1 (x a) ；直线 A2N 的方程为 yy1 (x a).x1 ax1 a × 得 yx122y1 2

7、(x2 a2a22x1 y1 ) . 又1212 1,ab2 b2 2 y12 (aax12 ) ， 代 入 得ab22(x2a222 ya2)，x化简得 2ay2 1，此即点 P 的轨迹方程 . b2当 a b 时，点P 的轨迹是以原点为圆心、 a为半径的圆；当 a b时，点 P 的轨迹是椭圆高考动点轨迹问题专题讲解一)选择、填空题1(已知 F1、 F2 是定点，|F1F2 | 8 ，动点 M满足 |MF1 | |MF2 |8 ，则动点 M 的轨迹是 (A )椭圆B)直线C)圆D)线段2(M (0,5) ， N(0,5)，MNP 的周长为36，则MNP 的顶点 P的轨迹方程是A)2 x 25

8、2y1692x B)1442y1690)C)x21692y252xD)1692y1440)3与圆 x24x0 外切，y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是4P 在以F1、 F2为焦点的双曲线x216 y9 1上运动，则 F1F2P 的重心G 的轨迹方程是5已知圆 C：(x3)2 y2 16内一点 A( 3, 0)，圆 C上一动点 Q， AQ 的垂直平2分线交 CQ 于 P 点，则 P点的轨迹方程为 x y2 1 46ABC 的顶点为 A( 5, 0)、B(5, 0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x 3上，则顶22点 C 的轨迹方程是 ； x y 1 ( x 3 )9 1622xy变式：若点 P为双曲线

9、1的右支上一点， F1、 F2分别是左、右焦点，则 PF1F2的内切圆圆心9 16的轨迹方程是 ；x2 y2推广：若点 P为椭圆1上任一点， F1、 F2分别是左、右焦点，圆 M 与线段 F1P的延长线、线段25 9PF2及 x轴分别相切，则圆心 M 的轨迹是 ； 7已知动点 M 到定点 A(3,0) 的距离比到直线 x 4 0 的距离少 1，则点 M 的轨迹方程是 y2 12x8抛物线 y 2x2的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是 kk2x ( y )489过抛物线 y2 4x的焦点 F 作直线与抛物线交于 P、Q两点，当此直线绕焦点 F旋转时， 弦 PQ 中点的轨迹方程为 解法分

10、析： 解法 1 当直线 PQ 的斜率存在时，k(x 1) 与抛物线方程联立，也满足解法 2 设 P(x1,y1)，Q(x2,y2) ，设 PQ 所在直线方程为 yy1 4x1,由 121 得 (y1 y2 )( y1 y2) 4(x1 x2)，设 PQ中点为 M(x,y) ，y2 4x2.当 x1x2 时，有 2yy1 y2 4 ，x1 x2又 kPQ kMF，x1所以，y xy1 2 ， x1即 y2 2(x1)当 x1x2 时，易得弦PQ 的中点为F (1,0) ，也满足所求方程故所求轨迹方程为 y2 2(x 1)10过定点 P(1, 4) 作直线交抛物线 C: y 2x2于 A、B 两点

11、, 过 A、B 分别作抛物线 C 的切线交于点 M, 则 点 M 的轨迹方程为 y 4x 4(二)解答题221一动圆过点 P(0, 3) ，且与圆 x2 (y 3)2 100 相内切，求该动圆圆心 C的轨迹方程2x2过椭圆36(定义法)1的左顶点 A1作任意弦 A1E 并延长到 F ，使 |EF | |A1E|， A2 为椭圆另一顶点，1的长轴端点，P 、 Q 是椭圆上关于长轴连结 OF 交 A2E于点 P， 求动点 P 的轨迹方程22 xy 3已知 A1、A2 是椭圆 2 2 abQA2 的交点 M 的轨迹(交轨法) 4已知点 G 是ABC 的重心， A(0, 1), B(0,1) ，在 x

12、 轴上有一点 M，满足uuur uuuur uuuuruuur|MA| |MC | ， GMABR1)求点 C 的轨迹方程； (2)若斜率为 k的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点uuurP、Q，且满足 | AP| |uuurAQ|，试求 k 的取值范围解：( 1)设 C (x, y) ，则由重心坐标公式可得 G(x, y)33 uuuur uuur x GM AB ，点 M 在x轴上， M(x,0) 3uuur|MA|uuuur|MC|，A(0,1)，2故点 C 的轨迹方程为y2 1 ( y1 )( 直接法 )32)设直线 l 的方程为 y kx b ( b1)， P(x1,y1)、 Q

13、(x2,y2)，PQ的中点为 N y kx b, 2 2 2由 2 2 消 y，得 (1 3k2)x2 6kbx 3(b2 1) 0 x2 3y2 3.2 2 2 2 2 2 36k2b2 12(1 3k2)(b2 1) 0，即 1 3k2 b2 0又 x1 x26kb1 3k2y1y2k(x1x2) 2b6k2b3k22b2b1 3k2N(3kb , b )1 3k2,1 3k2 )uuur uuur| AP| | AQ|， AN PQ ， kAN1 3k23kb1 3k221 3k2 2b ，又由式可得22b b2 0， 0 b 2且 b 10 1 3k2 4 且1 3k2 2，解得 1

14、k 1且k故 k 的取值范围是 1 k 1 且 k5已知平面上两定点M (0, 2) 、uuur uuuurN (0,2) ， P为一动点，满足 MP MNuuurPNuuuurMNuuurNB过 A、B 两点分别作轨迹 C的切线，设其交点为 Q，)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (直接法) uuur )若A、B是轨迹 C上的两动点， 且 ANuuur uuur 证明 NQ AB 为定值uuur 解：()设P(x,y) 由已知 MPuuuur uuur(x, y 2)，MN (0,4)，PN ( x,2 y),uuur uuuurMP MN 4y 8 uuur uuuur 2 2uuur u

15、uuur MP MNPN MN 4 x2 (y 2)2 ，3 分PN MN ， 4y 8 4 x2 (y 2)2 整理，得 x2 8y 即动点 P 的轨迹 C 为抛物线，其方程为 x2 8y6已知 O为坐标原点，点E( 1,0) 、F (1,0)uuur，动点 A、M 、N 满足 |AE |uuur m|EF (| muuuur uuur1)，MN AF0，uuur 1 uuur uuur uuuur uuurON (OA OF)，AM /ME 求点 M 的轨迹 W的方程 uuuur uuur uuur 1 uuur uuur解： MN AF 0 ， ON (OA OF) ， MN 垂直平分

16、AF uuuur uuur又 AM / ME ， 点 M 在 AE 上，uuuur uuur uuur uuur uuur uuur|AM | |ME| |AE| m|EF | 2m，|MA| |MF |，uuur uuur uuur|ME | |MF | 2m |EF |，点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 a m，半焦距 c 1，2 2 2 2b a c m 1 22 xy 点 M 的轨迹 W 的方程为 2 21( m 1)m2 m2 17 设 x,y R ， i,j 为 直角坐标系内 x,y 轴 正方向 上的单 位向量，若 向量 a xi (y 2) j ， rrb

17、 xi (y 2)j ， 且|ar | |b | 8(1)求点 M(x,y)的轨迹 C的方程； (定义法)uuur uuur uuur(2)过点 (0,3)作直线 l与曲线 C交于 A、B两点，设 OP OA OB ，是否存在这样的直线 l ，使得四边 形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，试说明理由22解：( 1) x y 1 ；12 16(2)因为 l过 y轴上的点 (0,3) 若直线 l是 y轴，则 A, B两点是椭圆的顶点uuur uuur uuurQ OP OA OB 0，所以 P与 O 重合，与四边形 OAPB是矩形矛盾故直线 l 的斜率存在，设 l 方程为

18、 y kx 3， A（x1, y1）,B（x2,y2） y kx 3,由 x2 y2消 y 得 (41,12 163k2)x2 18kx 210,此时(18k)2 4(4 3k2)( 21)> 0 恒成立，且 x1 x218k24 3k2x1x22124 3k2uuur uuur uuurQ OP OA OB ，所以四边形 OAPB 是平行四边形uuur uuur 若存在直线 l ，使得四边形 OAPB是矩形，则 OA OB，即 OA OB 0uuur uuur QOA (x1, y1),OB (x2, y2) ，uuur uuur OA OB x1x2 y1y2 0 2即 (1 k2)

19、x1x2 3k(x1 x2) 9 0(1k2) (4 231k2)3k (18k )4 3k2)9 0k2 156，得 k故存在直线 l ： y5x x 43 ，使得四边形 OAPB 是矩形uuru8如图，平面内的定点 F到定直线 l的距离为 2，定点 E满足： | EF |=2，且EFuuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur一动点，点 M 满足： FM MQ ，点 P满足： PQ / EF ，PM FQ 0（I）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点 E的直线 l1与点 P 的轨迹交于相异两点 A、B，令 AFB ，3当 时，求直线 l1的斜率

20、 k 的取值范围41l于G，点Q是直线 l上xoy，设点 P(x,y) ，则F(0, 1)， E(0, 3)，l: y1uuuur uuuur uuur uuurx FM MQ ， PQ/ EF ， Q(x, 1)， M( ,2uuuur uuur x PM FQ 0 ， ( )2x ( y) ( 2) 0 ，即所求点 P 的轨迹方程为 x24y解：（ 1）以 FG 的中点 O为原点，以 EF 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系2)设点 A(x1, y1 ),B( x2 , y2 )( x1 x2)设 AF 的斜率为 k1，BF 的斜率为 k2，直线 l1的方程为 y kx 3y kx 3

21、由 2 6 分得 x2 4kx 12 0x2 4y22 x1 x2x1x2 2x1 x2 4kx1x212 7 分y1 y2( ) 94 44y1 y2 k(x1 x2) 6 4k 2 6 8 分FA (x1,y1, 1),FB (x2,y2 1) FA FB x1x2 (y1 1)(y2 1)x1x2 y1 y2 (y1 y2) 112 9 4k2 6 1229 4k 2 6 1 4k2 164k2 89如图所示，已知定点 F(1, 0) ，动点 P在 y轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长 MP 到点 N ，cosFAFB4k 2 8k22 10分| FA| FB |

22、24k 2 162k24由于 31 cos2即21k 2 22 11分4k 2 422k 2 222k 2 2 2解得 k4 8或 k4 8 13分2k 2 42又 |FA| |FB| (y1 1)(y2 1)y1y2 (y1 y2 ) 1直线 l1斜率 k 的取值范围是 k|k 4 8,或k48uuuur uuur uuuur uuur 且 PM PF 0，|PM | |PN |1)求动点 N 的轨迹方程；uuur uuurB 两点，若 OA OB4，且 4 6 |AB| 4 30 ，求直线 l的斜率k 的取值范围uuuuruuur解：( 1)设 N(x, y) ，由|PM |PN | 得

23、M ( x,0) ，2)直线 l与动点 N 的轨迹交于 A、P(0, 2y)，uuuurPM( x, 2y) ，uuurPF(1,2y)，uuuur uuur2 y x42N 的轨迹方程为 y2 4x又 PM PF0，0，即动点10已知点 F(0,1) ，点 M 在 x 轴上，点 N 在 y 轴上，uuuur uuurP 为动点，满足 MN MFuuuur uuur r0， MN MP 01)求 P 点轨迹 E 的方程；r 2 22)将(1)中轨迹 E按向量 a (0, 1)平移后得曲线 E ，设Q是 E 上任一点， 过Q作圆 x2 (y 1)2 1的两条切线，分别交 x轴与 A、 B 两点，

24、求 | AB |的取值范围解：（ 1）设 M (a,0) 、N(0, b) 、 P(x,y) ，则uuuurMNa,b)、uuurMF ( a, 1) 、uuurMP (xa, y) 由题意得( a, b)( a, b)( a,(x1) 0,a,y) (0, 0).0,y,12y 4 x2，故动点 P 的轨迹方程为12y 4x211如图 A（m, 3m） 和 B（n, 3n） 两点分别在射线 OS、uuurOT 上移动，且 OAuuurOB1，2uuur uuur uuurO为坐标原点，动点 P 满足 OP OA OB 1）求 m n 的值； （2）求 P 点的轨迹 C的方程，并说明它表示怎样

25、的曲线？ uuur 3EN ，3）若直线 l 过点 E（2, 0） 交（ 2）中曲线 C 于 M 、uuurN 两点，且 ME求 l 的方程uuur uuur解：（ 1）由已知得 OA OB(m, 3m) (n, 3n)2）设 P 点坐标为 （x,y）uuurx 0 )，由 OPuuurOA2mn 12 uuur OB 得mn(x,y) (m, 3m)m n,m3(nm, n) 消去 m ，(n, 3n)2 n 可得 x2又因 mn 14 ， P 点的轨迹方程为 x2(mn, 3(m n) ，4mn，1(x 0) 它表示以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，且实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线3

26、）设直线 l 的方程为 x ty 2 ，将其代入 C 的方程得3(ty 2)2 y2 3即 (3t2 1)y2 12ty 9 0 ，易知 （3t2 1） 0 （否则，直线 l 的斜率为 3 ，它与渐近线平行，不符合题意）2 2 2又144t2 36(3t 2 1) 36(t2 1) 0 ，设 M (x1, y1),N(x2,y2) ，则 y1 y2 3t212t1,y1y2293t2 1l 与 C 的两个交点 M ,N 在 y 轴的右侧22x1x2 (ty1 2)(ty2 2) t2 y1y2 2t(y1 y2) 4 t2923t2 12t 3t212t1 423t2 423t2 10，2 3

27、t2 10，即 0 t2 31 ，又由 x1 x2 0同理可得0t13，uuur 由 MEuuur3EN 得 (2 x1, y1)3(2 x2,y2) ，x1y13(23y2x2)由 y1y23y2 y22y2由 y1y2 (3y2)y23y22122t 得 y23t 2 1 2 93t21得2y226t3t 2 13， 2， 3t 2 1消去 y2 得36t2(3t 2 1)233t 2 1解之得： t2 115，满足 0t213故所求直线l 存在，其方程为： 15x2 5 0 或 15x012设 A ，B 分别是直线 y 2 5 x 和52 5 x 上的两个动点，并且5uuur| AB |

28、20 ，动点 P 满足uuur uuurOP OAuuurOB 记动点 P 的轨迹为 CI ） 求轨迹 C 的方程；II）若点 D 的坐标为（ 0，16）， M 、 N 是曲线uuuurC 上的两个动点，且 DMuuurDN ，求实数的取值范围解：（ I）设 P（x,y） ，因为 A 、B 分别为直线2 5 x和 y52 5 x 上的点，故可设525A(x1,x1) ，5B(x2,255x2)5uuur uuur OP OAuuurOB ，x1 x2,252 5 (x1 x2 )5x1x1x2x2x,52 yuuur 又 AB20 ， (x1 x2)2 4(x15x2)220524y42x52

29、0即曲线C 的方程为2 x 251y621II） 设 N（s，t），M（x，y），则由DMDN ，可得（ x，y-16）= （s，t-16） 16 (t 16) M 、 N 在曲线 C 上，22s2 t2 1,25 162s2 ( t 16 16)225161.消去 s得 2(16t2)(t1616)211616由题意知0，且1，解得4 ， 4解得(253故实数 的取值范围是35(1)531)2213设双曲线 ay2 x3 1的两个焦点分别为F1、 F2 ，离心率为 21)求此双曲线的渐近线l1、 l2的方程；( yx)2)若 A、B 分别为 l1、l 2上的动点，且

30、 2|AB |5|F1F2 |，求线段AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明是什么曲线x2 3y275 251)提示： | AB| 10(x1 x2)2 y1 y210，又 y133 x1，y233x2，则 y1y2 33(x2x1) ， y2y1又 2x x1 x2 ， 2y y1 y2代入距离公式即可3)过点 N(1, 0) 是否存在直线 l ，使l与双曲线交于 P、uuur uuurQ 两点， 且 OP OQ0 ，若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由( 不存在 )14已知点 F(1, 0 )，直线 l : x 2，设动点2 2 3 |PF| 22d，且 23 d 321)求动

31、点 P 的轨迹方程；P 到直线 l 的距离为 d ，已知2215如图，直线 l : y kx 1与椭圆 C:ax2 y2 2（a 1）交于 A 、B两点，以 OA、OB 为邻边作平行 四边形 OAPB （O 为坐标原点）（1）若 k 1，且四边形 OAPB 为矩形，求 a 的值；（ a 3）（2）若 a 2，当 k 变化时（ k R），求点 P的轨迹方程（ 2x2 y2 2y 0（ y 0 ）2216双曲线 C： x2 y2 1( a 0， b 0)的离心率为 2，其中 A(0, b) ， B(a, 0) ，且 abuuur uuur 4 uuur uuur|OA|2 |OB|2|OA|2 |

32、 OB |2 ( 1)求双曲线 C 的方程；2）若双曲线 C上存在关于直线 l： y kx 4对称的点，求实数 k 的取值范围c a2,解：（ I）依题意有：2 ab24 2 2 ab3222abc.解得： a 1,b 3,c 2.所求双曲线的方程为 x2 y1.6 分3（）当 k=0 时，显然不存在 7 分1当 k0时，设双曲线上两点 M、N 关于直线 l 对称由 lMN ，直线 MN 的方程为 y x b则 kM 、 N 两点的坐标满足方程组由yk1 x b,22消去 y得 (3k2 1)x2 2kbx22(b 2 3)k209分3x2y2 3.显然 3k 2 1 0，(2kb)2 4(3

33、k2 1) (b2 3)k20即 k2b2 3k 2 1 0设线段 MN 中点 D（ x0,y0）x0 则y0kb3k 2 13k2b3k 2 1x 0, y0 ）在直线l 上，3k2b3k 2 1k2b3k 2 14即 k 2b=3k 2把带入中得k2b2+bk2 0，解得 b 0或 b 1 3k 2 1 0 或 3k 2 1<-1 即 k 3 或 k 1 ，且 k0k2k23 23113k 的取值范围是 ( , )U( ,0) U(0, )U( , )322314分17已知向量uuur uuurOA =(2，0)， OC = AB =(0， 1)，动点 M 到定直线y =1 的距离等

34、于d，并且满足uuuur uuuur uuuur uuuur 2OM ·AM =K( CM ·BM - d2)，其中 O为坐标原点， K 为参数 .）求动点 M 的轨迹方程，并判断曲线类型；）如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足 3 e 2 ，求实数 K 的取值范围322 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur18 过 抛 物 线 y2 4x 的 焦 点 作 两 条 弦 AB 、 CD ， 若 AB CD 0 ， OM 2（OA OB） ， uuur 1 uuur uuurON （OC OD） （1）求证：直线 MN 过定点；（ 2）记（ 1）中的定点为 Q，求证 AQB 为钝角；（3）分别以 AB 、 CD为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求 H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线219（ 05 年江西）如图，M 是抛物线上 y2 x上的一点，动弦 ME 、MF 分别交 x轴于 A、 B两点，且MA M