[理学]高数(1)ppt课件

1、四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等间隔的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即阐明阐明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 0),(zyxFSzyxo假设曲面 S 与方程 F( x, y, z )

2、 = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的恣意点的坐标都满足此方程;那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.两个根本问题两个根本问题 : :(1) 知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 知方程时 , 研讨它所表示的几何外形( 必要时需作图 ). 故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即依题意间隔为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .R

3、zzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:阐明阐明: : 如下方式的三元二次方程 ( A 0 )都可经过配方研讨它的图形.其图形能够是的曲面. 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.5)2() 1(222zyx定义定义2. 2. 一条平面曲线一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转绕其平面上一条定直线旋转一周所构成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴轴 . .例如例如 :曲线曲线 C 00),(xzyf

4、Cy zo绕绕 z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转曲面旋转一周得旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转曲面旋转一周得旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0y zo S0),(:zyfCoyxz

5、0),(22zxyf的圆锥面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直线面上直线L L 的方程的方程为为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyMxy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x x 轴旋转轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为zx zbyax 双曲线双曲线0y绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲

6、面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线绕绕 x 轴一周轴一周axyo上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax a.xyoz 得单叶旋转双曲面得单叶旋转双曲面122222 byazx.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yozx yoz 0 0 2222 =z=byax两

7、条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.yoz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？ 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo)0()222 rRryRx（ 圆圆z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活

8、中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆xyz引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ryx解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所构成的曲面称为圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对恣意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上一切点的坐标都满足此方程,xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 挪动的直线 l 构

9、成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.xyzooxzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1lxzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含z)M(x,y,z)N

10、 (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故点满足方程，故点M满足方程满足方程母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy012222 byaxabzxyozxy = 0y12222 bzaxopxy22 zxyo三元二次方程 适中选取直角坐标系可得它们的规范方程,下面仅 就几种常见规范型的特点进展引见 .研讨二次曲面特性的根本方法: 截痕法 其根本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次

11、项系数不全为 0 )zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = hz = h截曲面截曲面用用y = my = m截曲面截曲面用用x = nx = n截曲面

12、截曲面abcyx zozqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面鞍形曲面zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyxxzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面用用y = by = b截曲面截曲面用用x = cx = c截曲面截曲面zqypx22222 xzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面用用y = by = b截曲面截曲面用用x = cx = c截曲面截曲面zqypx22222 用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx =

13、 b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 截痕法截痕法xzy0用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法xzy0用用z = az = a截曲面截曲面用用y = 0y = 0截曲面截曲面用用x = bx = b截曲面截曲面zqypx 2222(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线:

14、虚轴平行于x 轴by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆留意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyz1. 空间曲面空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .三元二次方程),(同号qp